Лицей №1580 из 10 в 11 класс 2005 вариант 2

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2005 год

Вариант 2

1. Двое рабочих выполнили некоторый заказ, работая вместе 6 дней, а затем второй рабочий ещё 10 дней. За сколько дней каждый из них мог бы выполнить этот заказ в одиночку, если второму потребовалось бы для этого на 6 дней больше, чем первому?
2. Решите уравнение: \[ 2\sqrt{3}\,\cos^2 x = \sin x. \]
3. Решите неравенство: \[ \frac{-7x^2\,(-3 - 2x)^7\,(x - 2)} {(2x + 14)^3\,(-10 + 2x)^2\,(x - 7)^5} \;\le\;0. \]
4. Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 57, а сумма первого и третьего равна 10. Найдите первый член и разность прогрессии.
5. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) по вершине \(C\) опущена высота \(CH\). На этом отрезке (диаметре) построена окружность, которая пересекает катеты в точках, отстоящих от вершины \(C\) на 12 и 18. Найдите длины катетов треугольника.
6. Решите неравенство: \[ \frac{x^2 - \lvert x\rvert - 12}{\,x - 3\,} \;\ge\; 2x. \]
7. Найдите все действительные значения параметра \(a\), при которых корни уравнения \[ (a - 3)x^2 - 2ax + 6a = 0 \] вещественны и положительны.
   
   
8. Точка \(M\), лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние \(a\), а от его сторон — на расстояние \(b\). Найдите расстояние от точки \(M\) до плоскости угла.
   
   
9. Вычислите: \[ \frac{1}{20^{2\log_{x_1}5}} \;\cdot\; (0,25)^{\frac{1}{2\log_{x_1}5}}. \]
   
   
10. Напишите уравнение касательной к графику функции \[ f(x) = -9x + 2\cos^2 x - 2\sin^2 x + 7 \] в точке, у которой абсцисса равна \(0\).

Решения задач

1. Двое рабочих выполнили заказ, работая вместе 6 дней, затем второй 10 дней. Найти время каждого.
   Решение: Пусть первый выполняет заказ за $x$ дней, второй — за $x+6$ дней. Совместная производительность: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$. За 6 дней вместе выполнено $6\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}\right)$. Затем второй выполнил $10 \cdot \frac{1}{x+6}$.
   Уравнение: $6\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}\right)+\frac{10}{x+6}=1$. Решая, получим $x=12$ дней (первый), $x+6=18$ дней (второй).
   Ответ: 12 и 18 дней.
   
   
2. Решить уравнение: $2\sqrt{3}\cos^2 x = \sin x$.
   Решение: Замена $\cos^2x=1-\sin^2x$:
   $2\sqrt{3}(1-\sin^2x)=\sin x \Rightarrow 2\sqrt{3}\sin^2x+\sin x -2\sqrt{3}=0$.
   Корни: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
   Решения: $x=\frac{\pi}{3}+\pi k$, $x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$, $k,n \in \mathbb{Z}$.
   Ответ: $x=\frac{\pi}{3}+\pi k$, $x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$.
   
   
3. Решить неравенство: \[ \frac{-7x^2(-3 - 2x)^7(x - 2)}{(2x + 14)^3(-10 + 2x)^2(x - 7)^5} \le 0 \]
   Решение: Ключевые точки: $x=-7$, $x=-1.5$, $x=2$, $x=5$, $x=7$. Знаки на интервалах: $(-\infty; -7) \cup [-1.5; 2] \cup \{7\}$.
   Ответ: $x \in [-1.5; 2] \cup \{7\}$.
   
   
4. Найти первый член и разность арифметической прогрессии.
   Решение: Система: \[ \begin{cases} \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 57 \\ a_1 + (a_1 + 2d) = 10 \end{cases} \] Решение: $a_1=2$, $d=3$.
   Ответ: $a_1=2$, $d=3$.
   
   
5. Найти длины катетов треугольника.
   Решение: Пусть $AC = a$, $BC = b$. Из свойств секущих: $a \cdot 12 = h \cdot (h - 12)$, $b \cdot 18 = h \cdot (h - 18)$. Решая систему, найдем $h=30$, $a=30\sqrt{3}$, $b=15\sqrt{3}$.
   Ответ: $30\sqrt{3}$ и $15\sqrt{3}$.
   
   
6. Решить неравенство: $\frac{x^2 - |x| - 12}{x - 3} \ge 2x$.
   Решение: Рассмотреть случаи $x \ge 0$ и $x < 0$. После преобразований:
   Ответ: $x \in [-3; 3) \cup [4; +\infty)$.
   
   
7. Найти значения параметра $a$.
   Решение: Условия: $D \ge 0$, корни положительны. Решение: $a \in (0; 2] \cup (3; 4.5]$.
   Ответ: $a \in (0; 2] \cup (3; 4.5]$.
   
   
8. Найти расстояние до плоскости.
   Решение: Расстояние равно $b$, так как проекция точки на плоскость угла удалена на $b$.
   Ответ: $b$.
   
   
9. Вычислить выражение.
   Решение: Упрощение через свойства логарифмов: результат $\frac{1}{5}$.
   Ответ: $\frac{1}{5}$.
   
   
10. Уравнение касательной.
    Решение: $f(0) = 7$, $f'(x) = -9 -4\sin x \cos x$. $f'(0) = -9$. Уравнение: $y = -9x + 7$.
    Ответ: $y = -9x + 7$.