Лицей №1580 из 10 в 11 класс 2005 вариант 1

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2005 год

Вариант 1

1. Два каменщика, работая вместе, сложили стену за 20 дней. За сколько дней выполнил бы эту работу каждый из них в отдельности, если известно, что первый должен работать на 9 дней больше второго?
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{2}\,\sin^2 x + \cos x = 0. \]
3. Решите неравенство: \[ \frac{(-x-1)^2\,(x-1)^3\,(2x-8)^5}{(-x-8)\,(2x+6)^3\,(4-2x)^2} \;\ge\; 0. \]
4. Сколько членов последовательности \(26,24,22,\dots\), начиная с первого, нужно сложить, чтобы получить сумму 176?
5. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной окружности делит один из катетов на отрезки длины \(m\) и \(n\).
6. Решите неравенство: \[ \frac{x^2 - 3\,\lvert x\rvert - 3}{\lvert x\rvert + 2} \;\le\; 1. \]
7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (1 - a^2)x^2 + 2(a + 1)x - 3 < 0 \] выполняется для всех \(x < 0\).
8. В равнобедённом треугольнике основание и высота равны \(4\) м. Дана точка, находящаяся на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и равноудалённая от его вершин. Найдите это расстояние.
9. Вычислить: \[ \Bigl(81^{\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125}8}\Bigr)\;\cdot\;49^{\log_7 2}. \]
10. Напишите уравнение касательной к графику функции \[ f(x) = \sin\frac{3x}{2}\;\cos\frac{3x}{2} + x + 1 \] в точке, у которой абсцисса равна \(0\).

Решения задач

1. Два каменщика, работая вместе, сложили стену за 20 дней. За сколько дней выполнил бы эту работу каждый из них в отдельности, если известно, что первый должен работать на 9 дней больше второго?
   Решение: Пусть второй каменщик выполнит работу за \(x\) дней, тогда первый — за \(x + 9\) дней. Их совместная производительность: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{20} \] Решаем уравнение: \[ 20(x + 9 + x) = x(x + 9) \] \[ 40x + 180 = x^2 + 9x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 31x - 180 = 0 \] \(D = 961 + 720 = 1681\), \(x = \frac{31 \pm 41}{2}\). Положительный корень: \(x = 36\) дней.
   Ответ: первый — 45 дней, второй — 36 дней.
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{2}\,\sin^2 x + \cos x = 0 \] Решение: Замена \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[ \sqrt{2}(1 - \cos^2 x) + \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2}\cos^2 x - \cos x - \sqrt{2} = 0 \] Дискриминант \(D = 1 + 8 = 9\), корни: \[ \cos x = \frac{1 \pm 3}{2\sqrt{2}} \] Подходит \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Решение: \[ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\, n \in \mathbb{Z}\).
3. Решите неравенство: \[ \frac{(-x-1)^2\,(x-1)^3\,(2x-8)^5}{(-x-8)\,(2x+6)^3\,(4-2x)^2} \;\ge\; 0 \] Решение: Корни числителя: \(x = -1\) (кратность 2), \(x = 1\) (3), \(x = 4\) (5). Корни знаменателя: \(x = -8\), \(x = -3\) (3), \(x = 2\) (2). Расставляем знаки на интервалах: \(-\infty\)(-8)(-3)(-1)(1)(2)(4)+∞. Учитываем кратности и нестрогое неравенство.
   Ответ: \(x \in [-8, -3) \cup (-3, -1] \cup \{1\} \cup [4, +\infty)\).
4. Сколько членов последовательности \(26,24,22,\dots\), начиная с первого, нужно сложить, чтобы получить сумму 176?
   Решение: Арифметическая прогрессия с \(a_1 = 26\), \(d = -2\). Формула суммы: \[ S_n = \frac{2\cdot26 + (n-1)(-2)}{2} \cdot n = 176 \] \[ 26n - n(n - 1) = 176 \quad \Rightarrow \quad n^2 - 27n + 176 = 0 \] Дискриминант \(D = 729 - 704 = 25\), корни \(n = \frac{27 \pm 5}{2}\). \(n = 16\).
   Ответ: 16 членов.
5. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной окружности делит один из катетов на отрезки длины \(m\) и \(n\).
   Решение: Пусть катет \(a = m + n\), радиус \(r = m\). Второй катет \(b = r + k = m + k\), гипотенуза \(c = n + k\). Из системы: \[ \begin{cases} (m + n)^2 + (m + k)^2 = (n + k)^2 \\ r = \frac{a + b - c}{2} = m \end{cases} \] Решая относительно \(k\), получаем: \[ a = m + n,\quad b = m + \frac{m^2}{n},\quad c = n + \frac{m^2}{n} \] Ответ: Катеты \(m + n\) и \(\frac{m(m + n)}{n}\), гипотенуза \(\frac{n^2 + m^2}{n}\).
6. Решите неравенство: \[ \frac{x^2 - 3\,\lvert x\rvert - 3}{\lvert x\rvert + 2} \;\le\; 1 \] Решение: Рассмотрим два случая \(x \ge 0\) и \(x < 0\). После преобразования получаем: \[ x^2 - 3x - 3 \le x + 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x - 5 \le 0 \] Корни \(x = -1\) и \(x = 5\). Учитывая модуль, ответ для \(x \ge 0\): \([0,5]\); для \(x < 0\): аналогично \([-1,0)\).
   Ответ: \(x \in [-1,5]\).
7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (1 - a^2)x^2 + 2(a + 1)x - 3 < 0 \] выполняется для всех \(x < 0\).
   Решение: Коэффициент при \(x^2\) должен быть положительным, а вершина параболы правее \(x=0\): \[ \begin{cases} 1 - a^2 > 0 \\ \frac{-B}{2A} \ge 0 \\ f(0) \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |a| < 1 \\ \frac{-(a + 1)}{1 - a^2} \ge 0 \\ -3 < 0 \end{cases} \] Решая второе неравенство, получаем \(a \le -1\), что противоречит \(|a| < 1\). Ответ: \(a \in (-1,1)\).
8. В равнобедрённом треугольнике основание и высота равны \(4\) м. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника, если точка равноудалена от вершин и находится на расстоянии 6 м от вершины.
   Решение: Центр описанной окружности треугольника совпадает с серединой высоты. Радиус \(R = \frac{5}{2}\). Искомое расстояние по теореме Пифагора: \[ d = \sqrt{6^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{119}}{2} \approx 5,45\ \text{м} \] Ответ: \(\frac{\sqrt{119}}{2}\) м.
9. Вычислить: \[ \Bigl(81^{\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125}8}\Bigr)\;\cdot\;49^{\log_7 2} \] Решение: Упрощаем каждое слагаемое: \[ 81^{\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4}\log_3 4} = 3^{\log_3 2} = 2;\quad 25^{\log_{5^3}2^3} = 5^{2} = 25;\quad 49^{\log_7 2} = 7^{2\log_7 2} = 4 \] Итог: \((2 + 25) \cdot 4 = 108\). Ответ: 108.
10. Уравнение касательной к графику функции \(f(x) = \sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2} + x + 1\) в точке \(x=0\):
    Решение: \(f(0) = 0 + 0 + 1 = 1\). Производная: \[ f'(x) = \frac{3}{2}\cos 3x + 1 \quad \Rightarrow \quad f'(0) = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \] Уравнение касательной: \(y = 1 + \frac{5}{2}x\). Ответ: \(y = \frac{5}{2}x + 1\).