Лицей №1568 из 6 в 7 класс 2020 год

Решения задач

1. Выполните действия и разделите полученное число в отношении \(0{,}1:0{,}7\): \[ \frac{\bigl(-4 - \tfrac{3}{20} + 1 + \tfrac{5}{12} - \tfrac{4}{15}\bigr)\cdot0{,}6 - 0{,}6} {1{,}6 - 1{,}6\cdot3\tfrac{1}{7}} : \frac{0{,}0032 :(-0{,}4)^3 + 0{,}07\cdot20} {(1{,}3 - 1{,}236:1{,}2) : (-0{,}03)}\;\cdot\;\frac{1}{6} \] Решение: Вычислим первую дробь: Числитель: \[ \left(-4 - \tfrac{3}{20} + 1 + \tfrac{5}{12} - \tfrac{4}{15}\right) = -3 - \tfrac{3}{20} + \tfrac{5}{12} - \tfrac{4}{15} \] Приведём дроби к общему знаменателю 60: \[ -3 - \tfrac{9}{60} + \tfrac{25}{60} - \tfrac{16}{60} = -3 + \left(-9 +25 -16\right)/60 = -3 + 0 = -3 \] \[ (-3) \cdot 0{,}6 - 0{,}6 = -1{,}8 - 0{,}6 = -2{,}4 \] Знаменатель: \[ 1{,}6 - 1{,}6 \cdot 3\tfrac{1}{7} = 1{,}6 \cdot \left(1 - \tfrac{22}{7}\right) = 1{,}6 \cdot (-\tfrac{15}{7}) = -3{,}428571... \] Первая дробь: \[ \frac{-2{,}4}{-3{,}428571...} = \frac{2{,}4}{3{,}428571...} = \frac{12}{17} \text{ (упрощая на 0,2)} \] Вычислим вторую дробь: Числитель: \[ 0{,}0032 : (-0{,}4)^3 + 0{,}07\cdot20 = 0{,}0032 : (-0{,}064) + 1{,}4 = -0{,}05 + 1{,}4 = 1{,}35 \] Знаменатель: \[ (1{,}3 - 1{,}236 : 1{,}2) : (-0{,}03) = (1{,}3 - 1{,}03) : (-0{,}03) = 0{,}27 : (-0{,}03) = -9 \] Вторая дробь: \[ \frac{1{,}35}{-9} = -0{,}15 \] Общий результат: \[ \frac{12}{17} : (-0{,}15) \cdot \frac{1}{6} = \frac{12}{17} \cdot (-\frac{20}{3}) \cdot \frac{1}{6} = -\frac{480}{306} = -\frac{80}{51} \] Разделим \(-\frac{80}{51}\) в соотношении \(0{,}1:0{,}7 = 1:7\): \[ -\frac{80}{51} \Rightarrow 1\ часть = -\frac{80}{408} = -\frac{10}{51},\ \ 7\ частей = -\frac{70}{51} \] Ответ: \(-\frac{10}{51}\) и \(-\frac{70}{51}\).
2. Решите уравнения:
   1. [label=\alph*)]
   2. \(\displaystyle \frac{6x - 4}{5} - \frac{2 - x}{4} = \frac{3x + 1}{2}\) Решение: Умножим все члены на НОК (5,4,2) = 20: \[ 4(6x - 4) -5(2 - x) = 10(3x + 1) \] \[ 24x - 16 -10 +5x = 30x +10 \] \[ 29x -26 = 30x +10 \quad \Rightarrow \quad -x = 36 \quad \Rightarrow \quad x = -36 \] Ответ: \(x = -36\).
   3. \(\bigl|\,|x - 4| - 3\bigr| = 4{,}2\) Решение: Рассмотрим два случая:
      • \( |x - 4| -3 = 4{,}2 \quad \Rightarrow \quad |x -4| =7{,}2 \) Решения: \(x -4 =7{,}2\ ⇒\ x =11{,}2\); или \(x-4 = -7{,}2\ ⇒\ x =-3{,}2\)
      • \( |x -4| -3 = -4{,}2 \quad \Rightarrow \quad |x -4| = -1{,}2 \) (невозможно)
      Ответ: \(x =11{,}2\) или \(x =-3{,}2\).
3. Скорость велосипедиста: Решение: Пешеход прошёл \(2{,}4\) км перед выходом велосипедиста. За 15 минут (\(0{,}25\ ч\)) велосипедист догнал пешехода: \[ S_{вел} = 2{,}4 + S_{пеш} \] \[ v_{вел} \cdot 0{,}25 = 2{,}4 + 6 \cdot 0{,}25 \] \[ 0{,}25v_{вел} = 3{,}9 \quad \Rightarrow \quad v_{вел} = 15{,}6\ \text{км/ч} \] Ответ: \(15{,}6\) км/ч.
4. Время всей работы: Решение: Производительности: 1/21 (первой) и 1/28 (второй). Вместе за час: \(\frac{1}{21} + \frac{1}{28} = \frac{4 + 3}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12}\) За 6 часов вместе: \(6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2}\) Остаток: \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Первая бригада сделает за: \[ t = \frac{1/2}{1/21} = 10{,}5\ часов \] Общее время: \(6 +10{,}5 =16{,}5\ часов\) Ответ: \(16{,}5\) часов.
5. Изменение периметра: Исходный периметр: \[ P_1 = 2(p + (p +6)) = 4p +12 \] Новые стороны: \(2p\) и \(\frac{p +6}{2}\), новый периметр: \[ P_2 = 2(2p + \frac{p +6}{2}) =4p + p +6 =5p +6 \] Отношение: \(\frac{P_2}{P_1} = \frac{5p +6}{4p +12}\). Для примера при \(p =1\): старый периметр \(16\), новый \(11\), уменьшился в \(16/11 ≈1{,}45\) раза (\(-31{,}25\%\)) Ответ: уменьшился в \(1{,}45\) раза, на \(31{,}25\%\)
6. Пропорция кормов: За 12 дней 8 коров — \(4/7\) запаса ⇒ ежедневно: \(\frac{4}{7}/(12 \cdot8) = \frac{1}{168}\) на корову в день Осталось корма: \(3/7\). На 24 дня для \(x\) коров: \[ 24 \cdot x \cdot \frac{1}{168} = \frac{3}{7} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3/7}{24/168} = \frac{3/7}{1/7} =3 \] Необходимо продать: \(8 -3 =5\) коров Ответ: 5 коров.
7. Логика конфет: Пусть ириски — \(И\), карамельки — \(К\), леденцы — \(Л\). Система: \[ И = (К + Л) -8 \quad (1) \] \[ К = (И + Л) -14 \quad (2) \] Из (1) подставим \(И\) в (2): \[ К = ((К + Л) -8 + Л) -14 = К + 2Л -22 \] \[ 0 = 2Л -22 \quad \Rightarrow \quad Л =11 \] Ответ: 11 леденцов.