Лицей №1568 из 6 в 7 класс 2013 год вариант 1

1. Разложите число \(3150\) на простые множители.
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(0{,}5(x + 1{,}6) + 1{,}4(3x - 2{,}4) = 9{,}8;\)
   2. \(\displaystyle \frac{4x + 9}{2\tfrac{1}{3}} = \frac{3x}{0{,}5}.\)
   
   
   
3. Вычислите: \[ \frac{\Bigl(\bigl(1\tfrac{1}{3}\bigr)^2 + 0{,}5^2\Bigr)\cdot(0{,}6:0{,}01)^2 \;-\; \Bigl(\tfrac{2}{5}\cdot0{,}375:0{,}03\Bigr)^2} {0{,}06\cdot1\tfrac{11}{48} + 0{,}06\cdot\tfrac{3}{16} + 2\tfrac{7}{12}\cdot0{,}06}. \]
   
   
4. Диаметр окружности равен \(12\) см. Найдите длину дуги, составляющей \(\tfrac{3}{4}\) окружности.
   
   
5. Скорость теплохода против течения реки равна \(28{,}5\) км/ч, а его скорость по течению реки равна \(31\tfrac{3}{5}\) км/ч. Найдите скорость течения.
   
   
6. За одно и то же время пешеход прошёл \(6\) км, а велосипедист проехал \(18\) км. Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдёт за \(2\) часа?
   
   
7. В магазин привезли \(120\) т арбузов. На первой неделе продали \(\tfrac{11}{24}\) всех арбузов, а на следующей неделе — \(\tfrac{6}{13}\) оставшихся арбузов. Сколько тонн арбузов осталось продать?
   
   
8. Разделите число \(4{,}8\) в отношении \(7:9\).
   
   
9. Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом ещё \(10\) страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?
   
   
10. Все стороны прямоугольника увеличили на \(30\%\). На сколько процентов увеличилась его площадь?

Решения задач

1. Разложите число \(3150\) на простые множители.
   Решение: Последовательно делим число на простые множители:
   $3150 \div 2 = 1575$
   $1575 \div 3 = 525$
   $525 \div 3 = 175$
   $175 \div 5 = 35$
   $35 \div 5 = 7$
   $7$ — простое число
   Ответ: \(3150 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7\).
   
   
2. Решите уравнения:
   1. [label=\alph*)]
   2. \(0{,}5(x + 1{,}6) + 1{,}4(3x - 2{,}4) = 9{,}8\)
      Решение:
      \(0{,}5x + 0{,}8 + 4{,}2x - 3{,}36 = 9{,}8\)
      \(4{,}7x - 2{,}56 = 9{,}8\)
      \(4{,}7x = 12{,}36\)
      \(x = \frac{12{,}36}{4{,}7} = 2{,}64\)
      Ответ: \(2{,}64\).
      
      
   3. \(\displaystyle \frac{4x + 9}{2\tfrac{1}{3}} = \frac{3x}{0{,}5}\)
      Решение:
      \(2\tfrac{1}{3} = \frac{7}{3}\), тогда уравнение преобразуется:
      \(\frac{4x + 9}{\frac{7}{3}} = 6x\)
      \((4x + 9) \cdot \frac{3}{7} = 6x\)
      \(12x + 27 = 42x\)
      \(27 = 30x\)
      \(x = \frac{27}{30} = 0{,}9\)
      Ответ: \(0{,}9\).
   
   
   
3. Вычислите: \[ \frac{\Bigl(\bigl(1\tfrac{1}{3}\bigr)^2 + 0{,}5^2\Bigr)\cdot(0{,}6:0{,}01)^2 \;-\; \Bigl(\tfrac{2}{5}\cdot0{,}375:0{,}03\Bigr)^2} {0{,}06\cdot1\tfrac{11}{48} + 0{,}06\cdot\tfrac{3}{16} + 2\tfrac{7}{12}\cdot0{,}06}. \]
   Решение:
   Числитель:
   \((1\tfrac{1}{3})^2 + 0{,}5^2 = (\frac{4}{3})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{16}{9} + \frac{1}{4} = \frac{73}{36}\)
   \((0{,}6 :0{,}01)^2 = 60^2 = 3600\)
   \((\frac{2}{5} \cdot 0{,}375 :0{,}03)^2 = (\frac{0{,}075}{0{,}03})^2 = 5^2 = 25$ \\ Числитель: \(\frac{73}{36} \cdot 3600 - 25 = 7300 - 25 = 7275\)
   Знаменатель:
   \(0{,}06 \cdot (\frac{59}{48} + \frac{9}{48}) = 0{,}06 \cdot \frac{68}{48} = 0{,}085\)
   \(2\tfrac{7}{12} \cdot 0{,}06 = \frac{31}{12} \cdot 0{,}06 = 0{,}155\)
   Знаменатель: \(0{,}085 + 0{,}155 = 0{,}24\)
   Ответ: \(\frac{7275}{0{,}24} = 30312{,}5\).
   
   
4. Диаметр окружности равен \(12\) см. Найдите длину дуги, составляющей \(\tfrac{3}{4}\) окружности.
   Решение:
   Длина полной окружности: \(\pi \cdot 12 = 12\pi\) см
   Длина дуги: \(\frac{3}{4} \cdot 12\pi = 9\pi\) см
   Ответ: \(9\pi\) см.
   
   
5. Скорость теплохода против течения реки равна \(28{,}5\) км/ч, а его скорость по течению реки равна \(31\tfrac{3}{5}\) км/ч. Найдите скорость течения.
   Решение:
   \(31\tfrac{3}{5} = 31{,}6\) км/ч
   \(\begin{cases} V - u = 28{,}5 \\ V + u = 31{,}6 \end{cases}\)
   Вычитаем уравнения: \(2u = 3{,}1 \Rightarrow u = 1{,}55\) км/ч
   Ответ: \(1{,}55\) км/ч.
   
   
6. За одно и то же время пешеход прошёл \(6\) км, а велосипедист проехал \(18\) км. Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдёт за \(2\) часа?
   Решение:
   Скорость пешехода: \(\frac{6}{t}\), велосипедиста: \(\frac{18}{t}\)
   Путь пешехода за 2 часа: \(12/t\) км
   Время велосипедиста: \(\frac{12/t}{18/t} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\) ч
   Ответ: \(\frac{2}{3}\) ч (40 мин).
   
   
7. В магазин привезли \(120\) т арбузов. На первой неделе продали \(\tfrac{11}{24}\) всех арбузов, а на следующей неделе — \(\tfrac{6}{13}\) оставшихся арбузов. Сколько тонн арбузов осталось продать?
   Решение:
   Продажи на первой неделе: \(120 \cdot \frac{11}{24} = 55\) т
   Остаток: \(120 - 55 = 65\) т
   Продажи на второй неделе: \(65 \cdot \frac{6}{13} = 30\) т
   Остаток: \(65 - 30 = 35\) т
   Ответ: \(35\) т.
   
   
8. Разделите число \(4{,}8\) в отношении \(7:9\).
   Решение:
   Сумма частей: \(7 + 9 = 16\)
   Одна часть: \(4{,}8 \div 16 = 0{,3}\)
   Результат деления: \(7 \cdot 0{,}3 = 2{,1}\) и \(9 \cdot 0{,3} = 2{,7}\)
   Ответ: \(2{,1\) и \(2{,7}\).
   
   
9. Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом ещё \(10\) страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?
   Решение:
   Пусть всего страниц \(x\). Уравнение:
   \(\frac{x}{3} + 10 = \frac{x}{2}\)
   умножим на 6: \(2x + 60 = 3x \Rightarrow x = 60\)
   Ответ: \(60\) страниц.
   
   
10. Все стороны прямоугольника увеличили на \(30\%\). На сколько процентов увеличилась его площадь?
    Решение:
    Коэффициент увеличения стороны: \(1{,}3\)
    Новые размеры: \(1{,}3a \cdot 1{,}3b = 1{,}69ab\)
    Увеличение площади: \(1{,}69ab - ab = 0{,}69ab\)
    Ответ: на \(69\%\).