Лицей №1568 из 5 в 6 класс 2021 год

1. Найдите значение выражения \[ 254\tfrac{3}{5} - 48 - 254 \cdot 48. \] Полученный результат возведите в квадрат и запишите ответ в виде десятичной дроби.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \bigl(\tfrac{7}{8}x - \tfrac{7}{8}\bigr)\,\cdot 16 = 28. \]
   
   
3. Некоторое число сначала уменьшили на 10 %, а затем полученный результат увеличили на 40 %. В результате получили 189. Чему равно исходное число?
   
   
4. Вычислите: \[ 11\;\biggl(1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{3}}}}\biggr). \]
   
   
5. Бригада за 12 дней собрала яблоки с участка размером $2000\times1875$ м. Сколько дней ей потребуется для сбора яблок с участка размером $3125\times800$ м?
   
   
6. Длина ледника 54 м, ширина составляет $\tfrac{5}{9}$ длины, а толщина — $0,1$ длины. Сколько тонн льда содержит ледник, если 1 м$^3$ льда весит 900 кг?
   
   
7. Из 30 кг свежих слив получается 10,5 кг сушёных. Какая часть массы свежих слив теряется при сушке?
   
   
8. Если к 24% числа $y$ прибавить $8\tfrac{1}{3}$, то получится число, составляющее 45% от $25\tfrac{7}{18}$. Найдите целую часть числа $y$.
   
   
9. Отцу столько лет, сколько сыну и дочери вместе. Сын вдвое старше дочери и на 20 лет моложе отца. Сколько лет дочери?
   
   
10. Моторная лодка прошла расстояние между пристанями по течению реки за 1,5 часа, а обратный путь — за 2 часа. Собственная скорость лодки равна 14 км/ч. Найдите расстояние между пристанями. Ответ дайте в км.
    
    
11. Найдите сумму всех целых чисел, удовлетворяющих неравенству \[ -47{,}3 < x < 43{,}15. \]
    
    
12. Ленту разрезали на две части в отношении 2:3. Длина большей части ленты — 54 см. Какова длина всей ленты? Ответ дайте в см.
    
    
13. Найдите сумму корней уравнения \[ \lvert0,56\rvert : \lvert y - 1\rvert = \lvert -0,8\rvert. \]
    
    
14. Цифра десятков двузначного числа втрое больше цифры единиц. Если эти цифры поменять местами, то полученное число будет меньше данного на 54. Найдите данное число.
    
    
15. Известно, что произведение двух взаимно простых чисел равно 784. Найдите сумму этих чисел.

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ 254\tfrac{3}{5} - 48 - 254 \cdot 48. \]
   Решение: $254\tfrac{3}{5} = 254,6$
   $254,6 - 48 - 254 \cdot 48 = 254,6 - 48 - 12192 = -11985,4$
   $(-11985,4)^2 = 143643778,56$
   Ответ: 143643778,56.
2. Решите уравнение: \[ \bigl(\tfrac{7}{8}x - \tfrac{7}{8}\bigr)\,\cdot 16 = 28. \]
   Решение: \[ (7/8 x - 7/8) \cdot 16 = 28 \]
   $7/8 x \cdot 16 - 7/8 \cdot 16 = 28$
   $14x - 14 = 28$
   $14x = 42 \quad \Rightarrow \quad x = 3$
   Ответ: 3.
3. Некоторое число сначала уменьшили на 10 %, затем полученный результат увеличили на 40 %. В результате получили 189. Чему равно исходное число?
   Решение: Пусть исходное число $x$:
   $0,9x \cdot 1,4 = 189 \quad \Rightarrow \quad 1,26x = 189$
   $x = 189 / 1,26 = 150$
   Ответ: 150.
4. Вычислите: \[ 11\;\biggl(1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{3}}}}\biggr). \]
   Решение:
   Внутренняя дробь: $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + 1/3}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4/3}} = 1 + \frac{1}{7/4} = 1 + 4/7 = 11/7$
   ${1 + \frac{1}{11/7} = 1 + 7/11 = 18/11}$
   $11 \cdot \frac{18}{11} = 18$
   Ответ: 18.
5. Бригада за 12 дней собрала яблоки с участка размером $2000\times1875$ м. Сколько дней потребуется для участка $3125\times800$ м?
   Решение:
   Площадь исходного участка: $2000 \cdot 1875 = 3\,750\,000$ м²
   Площадь нового участка: $3125 \cdot 800 = 2\,500\,000$ м²
   Время: $(2\,500\,000 / 3\,750\,000) \cdot 12 = 8$ дней
   Ответ: 8.
6. Длина ледника 54 м, ширина — $\tfrac{5}{9}$ длины, толщина — $0,1$ длины. Сколько тонн льда содержит ледник?
   Решение:
   Ширина: $54 \cdot 5/9 = 30$ м
   Толщина: $54 \cdot 0,1 = 5,4$ м
   Объём: $54 \cdot 30 \cdot 5,4 = 8748$ м³
   Вес: $8748 \cdot 900 = 7\,873\,200$ кг = $7873,2$ т
   Ответ: 7873,2.
7. Из 30 кг свежих слив получается 10,5 кг сушёных. Какая часть массы теряется?
   Решение:
   Потеря: $30 - 10,5 = 19,5$ кг
   Часть: $19,5 / 30 = 0,65$
   Ответ: 0,65.
8. Если к 24% числа $y$ прибавить $8\tfrac{1}{3}$, то получится число, составляющее 45% от $25\tfrac{7}{18}$. Найдите целую часть числа $y$.
   Решение:
   $25\tfrac{7}{18} = \frac{457}{18}$, 45%: $0,45 \cdot \frac{457}{18} \approx 11,425$
   Уравнение: $0,24y + 8\tfrac{1}{3} = 11,425$
   $0,24y = 3,092 \quad \Rightarrow \quad y \approx 12,883$
   Целая часть: 12
   Ответ: 12.
9. Отцу столько лет, сколько сыну и дочери вместе. Сын вдвое старше дочери и на 20 лет моложе отца. Сколько лет дочери?
   Решение:
   Пусть дочери $x$ лет. Тогда сыну $2x$, отцу $3x$.
   Разница: $3x - 2x = x = 20$
   Ответ: 20.
10. Моторная лодка прошла расстояние между пристанями по течению за 1,5 часа, а обратный путь — за 2 часа. Собственная скорость лодки 14 км/ч. Найдите расстояние.
    Решение: Скорость течения $v$:
    $(14 + v) \cdot 1,5 = (14 - v) \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad v = 2$ км/ч
    Расстояние: $(14 + 2) \cdot 1,5 = 24$ км
    Ответ: 24.
11. Найдите сумму всех целых чисел, удовлетворяющих неравенству $-47{,}3 < x < 43{,}15$.
    Решение: Целые числа от $-47$ до $43$ включительно.
    Сумма: $\frac{(-47 + 43) \cdot 91}{2} = -182$
    Ответ: -182.
12. Ленту разрезали на две части в отношении 2:3. Длина большей части — 54 см. Какова длина всей ленты?
    Решение:
    Доля большей части: $3/5$ от общей длины $L$.
    $\frac{3}{5}L = 54 \quad \Rightarrow \quad L = 90$ см
    Ответ: 90.
13. Найдите сумму корней уравнения $\lvert0,56\rvert : \lvert y - 1\rvert = \lvert -0,8\rvert$.
    Решение:
    $0,56 / |y - 1| = 0,8 \quad \Rightarrow \quad |y - 1| = 0,7$
    Корни: $y = 1,7$ и $y = 0,3$. Сумма: 2
    Ответ: 2.
14. Цифра десятков двузначного числа втрое больше цифры единиц. Если поменять цифры местами, число будет меньше данного на 54. Найдите число.
    Решение: Число $31x$, после перестановки $13x$.
    $31x - 13x = 54 \quad \Rightarrow \quad x = 3$. Число: 93
    Ответ: 93.
15. Произведение двух взаимно простых чисел равно 784. Найдите сумму этих чисел.
    Решение: Разложение 784: $16 \cdot 49 = 784$
    Числа 16 и 49 взаимно просты. Сумма: 65
    Ответ: 65.