Лицей №1568 из 4 в 5 класс 2017 год вариант 1

1. Если сумму натуральных чисел, делящихся на 2 и расположенных между числами 2000 и 2015, разделить на их количество, то полученное частное, уменьшенное в 8 раз, покажет, сколько монет закопал Буратино на Поле Чудес.
   
   
2. Вычислите: \[ (84706 - (203 - 407 + 957)) \;-\; (192150 : 549 - 71). \]
   
   
3. Решите уравнение, сделайте проверку и запишите ответ: \[ 8000 : (28 \cdot m + 4) - 15 = 25. \]
   
   
4. Три машины израсходовали за 660 минут 269 литров горючего. Известно, что за это время первая машина израсходовала 60 литров, а вторая — каждые 2 часа тратила 26 литров. Найдите, сколько литров горючего расходовала третья машина за час.
   
   
5. У хозяйки в огороде на грядке росли 35 красных и розовых помидоров. После того как 8 красных помидоров сорвали, а 2 розовых помидора покраснели, красных помидоров стало вдвое больше, чем розовых. Сколько красных и сколько розовых помидоров росло в огороде у хозяйки первоначально?
   
   
6. Сторона квадрата на 6 см меньше длины прямоугольника и на 40 мм больше его ширины. Периметр прямоугольника равен 2 дм 8 см. Найдите площадь квадрата. Ответ запишите в см\(^2\).
   
   
7. Галя, Оля и их мама играют в «догонялки». Вначале девочки находятся на расстоянии 2 км друг от друга, а мама — ровно посередине между ними. Затем Галя и Оля побежали навстречу друг другу, а мама — навстречу Гале. Бег продолжался 5 минут. Если мама окажется ровно посередине между девочками, то они пойдут учить уроки, а если нет — будут играть в компьютерную игру. Скорость Гали — 150 м/мин, Оли — 240 м/мин, мамы — 45 м/мин. Чем займутся девочки после «догонялок»? Ответ подтвердите расчётом.

Решения задач

1. Натуральные числа, делящиеся на 2 между 2000 и 2015:
   2002, 2004, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014 — всего 7 чисел.
   Сумма: $\frac{(2002 + 2014) \cdot 7}{2} = 14056$.
   Среднее арифметическое: $\frac{14056}{7} = 2008$.
   Уменьшенное в 8 раз: $2008 : 8 = 251$ монета.
   Ответ: 251.
   
   
2. Вычислим выражение:
   $(84706 - (203 - 407 + 957)) - (192150 : 549 - 71)$.
   Внутренние скобки: $203 - 407 = -204;$
   $-204 + 957 = 753.$
   Тогда $84706 - 753 = 83953.$
   Считаем вторые скобки:
   $192150 : 549 = 350;$
   $350 - 71 = 279.$
   Итог: $83953 - 279 = 83674.$
   Ответ: 83674.
   
   
3. Решим уравнение:
   $8000 : (28m + 4) - 15 = 25.$
   Добавим 15: $8000 : (28m + 4) = 40.$
   Перепишем: $(28m + 4) = 8000 : 40 = 200.$
   Вычтем 4: $28m = 196.$
   Разделим: $m = 196 : 28 = 7.$
   Проверка: $\frac{8000}{28 \cdot 7 + 4} -15 = \frac{8000}{200} -15 = 40 -15 = 25$ — верно.
   Ответ: $m=7$.
   
   
4. Переведем 660 минут в часы: $660 : 60 = 11$ часов.
   Всего горючего: 269 л. Первая машина израсходовала 60 л. Вторая машина тратила 26 л каждые 2 часа, значит за час она расходовала $26 : 2 = 13$ л. Всего за 11 часов: $13 \cdot 11 = 143$ л.
   Третья машина: $269 - 60 - 143 = 66$ л за 11 часов.
   За час: $66 : 11 = 6$ л/час.
   Ответ: 6 л.
   
   
5. Пусть первоначально было K красных и Р розовых помидоров.
   После изменений:
   Красных стало: $K - 8 + 2 = K - 6.$
   Розовых стало: $P - 2.$
   Уравнение: $K - 6 = 2(P - 2).$
   Общее количество: $K + P = 35.$
   Подставим $K = 35 - P$ в первое уравнение:
   $35 - P - 6 = 2P - 4.$
   $29 - P = 2P - 4.$
   $33 = 3P \Rightarrow P=11.$
   Тогда $K=35 -11=24.$
   Ответ: 24 красных, 11 розовых.
   
   
6. Периметр прямоугольника 28 см ($2$ дм $8$ см).
   Пусть длина прямоугольника — $L$, ширина — $W$.
   Сторона квадрата: $a = L - 6$ см; $a = W + 4$ см.
   Периметр: $2(L + W) = 28 \Rightarrow L + W = 14.$
   Решим систему:
   $L = a + 6,$ $W = a - 4.$
   Подставляем в сумму длин: $(a +6) + (a -4) = 14 \Rightarrow 2a +2 =14 \Rightarrow a=6$ см.
   Площадь квадрата: $6^2=36$ см$^2$.
   Ответ: 36.
   
   
7. За 5 минут:
   Галя прошла: $150 \cdot 5 = 750$ м.
   Оля прошла: $240 \cdot 5 = 1200$ м.
   Новое расстояние между Галей и Олей:
   $2000 - (750 +1200) = 50$ м.
   Мама бежала навстречу Гале со скоростью 45 м/мин:
   Прошла $45 \cdot5 =225$ м.
   Начальное положение мамы — 1000 м от Гали. После движения:
   Новое расстояние:
   Мама находится в точке $1000 -225 =775$ м от старта.
   Галя после движения в точке $750$ м от старта.
   Расстояние между мамой и Галей: $775 -750 =25$ м.
   Средняя точка между Галей и Олей ($750$ м и $1200$ м):
   $(750 + (2000 -1200)) :2= (750 +800) :2=775$ м от старта Галей
   Посередине будет на расстоянии $25$ м от стартовой точки Галей. Мама на $775$ м, что совпадает с серединой. Значит, мама оказалась посередине. Девочки пойдут учить уроки.
   Ответ: пойдут учить уроки.