Школа №1534 из 4 в 5 класс 2014 год

Школа № 1534

2014

1. Вычислите:
   \( (3551 : 53 + 243) \cdot 104 - 11534 \)
   
   
2. Дядя Фёдор купил садовый участок прямоугольной формы, длина которого равна 30 м, а ширина на 5 метров меньше длины.
   а) Какова площадь участка?
   б) Этот участок надо полностью огородить. Сколько надо заплатить за изгородь, если 1 м изгороди стоит 1200 рублей?
   
   
3. Карлсон загадал три числа, их сумма равна 103. Найдите эти числа, если второе число в три раза меньше первого и на 18 меньше третьего.
   
   
4. Расстояние между пристанями А и Б равно 180 км. Из города А в город Б пароход плыл по течению реки. Пароход вышел из города А в 9:00, а прибыл в город Б в 13:00. В пути из-за технических неполадок была сделана остановка продолжительностью 1 час. Найдите скорость парохода на обратном пути, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
   
   
5. На окраску кубика размерами \(3 \times 3 \times 3\) (ребро куба равно 3 см) потребуется 108 г краски. Сколько той же краски потребуется для окраски кубика размерами \(4 \times 4 \times 4\) (ребро куба равно 4 см)? (Ответ обоснуйте.)
   
   
6. Атос записал на доске два числа. Арамис записал рядом их сумму. Портос сложил все три задуманных числа, получил четвёртое число и записал его. Чему равна сумма всех четырёх выписанных чисел, если Арамис записал число 7? (Ответ обоснуйте.)
   
   
7. В футболе команда получает за победу 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. В турнире команда сыграла 26 матчей и набрала 62 очка.
   а) Какое максимальное число матчей могла выиграть команда?
   б) Сколько матчей команда могла при этом проиграть? (Ответ обоснуйте.)

Решения задач

1. Вычислите:
   \( (3551 : 53 + 243) \cdot 104 - 11534 \)
   Решение:
   \(3551 : 53 = 67\) (так как \(53 \cdot 67 = 3551\))
   \(67 + 243 = 310\)
   \(310 \cdot 104 = 32240\)
   \(32240 - 11534 = 20706\)
   Ответ: 20706.
   
   
2. Дядя Фёдор купил садовый участок прямоугольной формы, длина которого равна 30 м, а ширина на 5 метров меньше длины.
   а) Какова площадь участка?
   б) Этот участок надо полностью огородить. Сколько надо заплатить за изгородь1 м из1 м изгороди стоит 1200 рублей?
   Решение:
   а) Ширина участка: \(30 - 5 = 25\) м.
   Площадь: \(30 \cdot 25 = 750\) м².
   Ответ: 750 м².
   б) Периметр участка: \(2 \cdot (30 + 25) = 110\) м.
   Стоимость изгороди: \(110 \cdot 1200 = 132000\) рублей.
   Ответ: 132000 рублей.
   
   
3. Карлсон загадал три числа, их сумма равна 103. Найдите эти числа, если второе число в три раза меньше первого и на 18 меньше третьего.
   Решение:
   Пусть второе число равно \(x\). Тогда:
   Первое число: \(3x\)
   Третье число: \(x + 18\)
   Сумма: \(3x + x + x + 18 = 5x + 18 = 103\)
   \(5x = 85 \quad \Rightarrow \quad x = 17\)
   Числа: \(3 \cdot 17 = 51\), \(17\), \(17 + 18 = 35\).
   Проверка: \(51 + 17 + 35 = 103\).
   Ответ: 51, 17, 35.
   
   
4. Расстояние между пристанями А и Б равно 180 км. Из города А в город Б пароход плыл по течению реки. Пароход вышел из города А в 9:00, а прибыл в город Б в 13:00. В пути из-за технических неполадок была сделана остановка продолжительностью 1 час. Найдите скорость парохода на обратном пути, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
   Решение:
   Время движения: \(13:00 - 9:00 - 1\) час \(= 3\) часа.
   Скорость по течению: \(\frac{180}{3} = 60\) км/ч.
   Собственная скорость парохода: \(60 - 4 = 56\) км/ч.
   Скорость против течения: \(56 - 4 = 52\) км/ч.
   Ответ: 52 км/ч.
   
   
5. На окраску кубика размерами \(3 \times 3 \times 3\) (ребро куба равно 3 см) потребуется 108 г краски. Сколько той же краски потребуется для окраски кубика размерами \(4 \times 4 \times 4\) (ребро куба равно 4 см)? (Ответ обоснуйте.)
   Решение:
   Площадь поверхности куба \(3 \times 3 \times 3\): \(6 \cdot 3^2 = 54\) см².
   Расход краски: \(\frac{108}{54} = 2\) г/см².
   Площадь поверхности куба \(4 \times 4 \times 4\): \(6 \cdot 4^2 = 96\) см².
   Требуемая краска: \(96 \cdot 2 = 192\) г.
   Ответ: 192 г.
   
   
6. Атос записал на доске два числа. Арамис записал рядом их сумму. Портос сложил все три задуманных числа, получил четвёртое число и записал его. Чему равна сумма всех четырёх выписанных чисел, если Арамис записал число 7? (Ответ обоснуйте.)
   Решение:
   Пусть числа Атоса: \(a\) и \(b\).
   Число Арамиса: \(a + b = 7\).
   Число Портоса: \(a + b + (a + b) = 2a + 2b\).
   Сумма всех чисел: \(a + b + (a + b) + (2a + 2b) = 4a + 4b = 4(a + b) = 4 \cdot 7 = 28\).
   Ответ: 28.
   
   
7. В футболе команда получает за победу 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. В турнире команда сыграла 26 матчей и набрала 62 очка.
   а) Какое максимальное число матчей могла выиграть команда?
   б) Сколько матчей команда могла при этом проиграть? (Ответ обоснуйте.)
   Решение:
   а) Максимальное количество побед:
   Пусть команда выиграла \(x\) матчей, сыграла вничью \(y\) матчей.
   Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y \leq 26 \\ 3x + y = 62 \end{cases} \]
   Выразим \(y = 62 - 3x\) и подставим в первое уравнение:
   \(x + (62 - 3x) \leq 26 \quad \Rightarrow \quad -2x \leq -36 \quad \Rightarrow \quad x \geq 18\).
   Максимальное \(x\) при минимальном \(y\): \(x = 18\), тогда \(y = 62 - 3 \cdot 18 = 8\).
   Ответ: 18.
   б) Проигранных матчей: \(26 - 18 - 8 = 0\).
   Ответ: 0.