8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №153 из 9 в 10 класс Вариант 9

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©
Вариант 9


  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{2x + \sqrt{xy}}{3x}\Bigr)^{-1} \;\cdot\; \Bigl(\frac{\sqrt{x^3} - y\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} - \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\Bigr). \]

  2. Решите уравнение: \[ \frac{4}{(x-1)(x-2)} + \frac{x^2 - 3(x-1)}{5} = 2. \]

  3. Десятый член арифметической прогрессии равен $-29$, а сумма первых одиннадцати членов равна $-187$. Найдите сумму девятого, одиннадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии.

  4. В прямоугольном $\triangle MRK$ $(\angle P = 90^\circ)$ проведена высота $PE$. Катеты относятся как $3:4$, а гипотенуза равна $20$. Найдите $ME$ и $KE$.

  5. Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми $24\text{ км}$, вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через $2$~ч~$24$~мин. Первый пешеход проходит путь от $A$ до $B$ на $2$~ч быстрее, чем второй. За сколько времени каждый из них пройдет расстояние между пунктами $A$ и $B$? С какими скоростями двигались пешеходы?

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{4}{1+x} + \dfrac{2}{1-x} < 1,\\[6pt] (x^2 - 6x + 9)(x^2 - 4) \le 0. \end{cases} \]

  7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{x^3 + x - 10}{x^2 - 2} - 2x^2 - 1 \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении~$x$.

  8. Каждый угол правильного многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$ с центром $O$ равен $150^\circ$. Площадь треугольника $A_2OA_5$ равна $8$. Найдите площадь треугольника $A_2A_7A_8$. (В ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)

  9. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямая $DE$ делит площадь треугольника $ABC$ пополам и образует с прямой $AB$ угол $15^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

  10. При каком значении параметра $a$ уравнение \[ (a-2)x^2 - 2ax + 2a - 3 = 0 \] имеет два различных корня одного знака?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{2x + \sqrt{xy}}{3x}\Bigr)^{-1} \;\cdot\; \Bigl(\frac{\sqrt{x^3} - y\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} - \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\Bigr). \]
    Решение: Упростим выражение по частям.

    1. Первый множитель: \[ \Bigl(\frac{2x + \sqrt{xy}}{3x}\Bigr)^{-1} = \frac{3x}{2x + \sqrt{xy}}. \] 2. Упростим выражения внутри скобок: \[ \frac{\sqrt{x^3} - y\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} = \frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}}. \] Разложим числитель как разность кубов: \[ \frac{(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3}{x - \sqrt{xy}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})\sqrt{x}} = \frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x}}. \]

    Второе слагаемое: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}. \] Разность внутри скобок: \[ \frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x}} - (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = \frac{x + \sqrt{xy} + y - x + \sqrt{xy}}{\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{xy} + y}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}(2\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}}. \]

    Объединяя части: \[ \frac{3x}{2x + \sqrt{xy}} \cdot \frac{\sqrt{y}(2\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}} = \frac{3x \cdot \sqrt{y}}{2x + \sqrt{xy}} \cdot \frac{2\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{y} \cdot (2\sqrt{x} + \sqrt{y})}{2\sqrt{x} + \sqrt{y}} = 3\sqrt{y}. \]

    Ответ: \(3\sqrt{y}\).

  2. Решите уравнение: \[ \frac{4}{(x-1)(x-2)} + \frac{x^2 - 3(x-1)}{5} = 2. \]
    Решение: ОДЗ: \(x \neq 1, 2\).

    Преобразуем второе слагаемое: \[ x^2 - 3x + 3 = x^2 - 3x + 3. \] Подставим в уравнение: \[ \frac{4}{(x-1)(x-2)} + \frac{x^2 - 3x + 3}{5} = 2. \] Умножим обе части на \(5(x-1)(x-2)\): \[ 20 + (x^2 - 3x + 3)(x-1)(x-2) = 10(x-1)(x-2). \] Раскроем скобки: \[ 20 + (x^2 - 3x + 3)(x^2 - 3x + 2) = 10(x^2 - 3x + 2). \] Обозначим \(y = x^2 - 3x\): \[ 20 + (y + 3)(y + 2) = 10(y + 2). \] Раскроем: \[ 20 + y^2 + 5y + 6 = 10y + 20 \implies y^2 - 5y + 6 = 0 \implies y = 2 \text{ или } y = 3. \] Вернемся к \(x\): 1. \(x^2 - 3x = 2 \implies x^2 - 3x - 2 = 0\): корни \(x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\). 2. \(x^2 -3x = 3 \implies x^2 -3x -3 = 0\): корни \(x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\).

    Все корни удовлетворяют ОДЗ. Ответ: \(\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}, \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\).
    Ответ: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}, \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\).

  3. Десятый член арифметической прогрессии равен \(-29\), а сумма первых одиннадцати членов равна \(-187\). Найдите сумму девятого, одиннадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии.
    Решение: Запишем условия: \[ a_{10} = a_1 + 9d = -29, \] \[ S_{11} = \frac{11}{2}(2a_1 + 10d) = -187 \implies 11(a_1 + 5d) = -187 \implies a_1 +5d = -17. \] Решим систему: \[ \begin{cases} a_1 + 5d = -17, \\ a_1 + 9d = -29. \end{cases} \] Вычитаем уравнения: \[ 4d = -12 \implies d = -3 \implies a_1 = -17 -5(-3) = -2. \] Искомые члены: \[ a_9 = a_1 +8d = -2 + 8(-3) = -26, \] \[ a_{11} = a_1 +10d = -2 +10(-3) = -32, \] \[ a_{18} = a_1 +17d = -2 +17(-3) = -53. \] Сумма: \[ -26 + (-32) + (-53) = -111. \] Ответ: \(-111\).

  4. В прямоугольном \(\triangle MRK\) \((\angle P = 90^\circ)\) проведена высота \(PE\). Катеты относятся как \(3:4\), а гипотенуза равна \(20\). Найдите \(ME\) и \(KE\).
    Решение: Катеты: \[ 3k = 12, \quad 4k = 16 \quad (k=4). \] Площадь: \[ \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot PE \implies PE = 9.6. \] Метрические соотношения: \[ ME = \frac{12^2}{20} = 7.2, \quad KE = \frac{16^2}{20} = 12.8. \] Ответ: \(ME = 7.2\) см, \(KE = 12.8\) см.

  5. Из пунктов \(A\) и \(B\), расстояние между которыми \(24\text{ км}\), идут пешеходы. Встреча через 2 ч 24 мин = 2.4 ч. Время первого на 2 ч меньше. Скорости и время:
    Решение: Обозначим скорости \(v_1\) и \(v_2\).
    Сумма скоростей: \[ v_1 + v_2 = \frac{24}{2.4} = 10 \text{ км/ч}. \] Время движения: \[ \frac{24}{v_2} - \frac{24}{v_1} = 2. \] Решим систему: \[ \begin{cases} v_1 + v_2 = 10, \\ \frac{24}{v_2} - \frac{24}{v_1} = 2. \end{cases} \] Подстановкой: \[ \frac{24}{10 - v_1} - \frac{24}{v_1} = 2 \implies 24(v_1 - (10 - v_1)) = 2v_1(10 - v_1) \implies 48v_1 = 20v_1 - 2v_1^2 \implies 2v_1^2 + 28v_1 = 0. \] Корни: \(v_1 = 6\) км/ч (подходит), \(v_2 = 4\) км/ч.
    Время первого: \(24/6 = 4\) ч, второго: \(24/4 = 6\) ч.
    Ответ: 4 ч и 6 ч, скорости 6 км/ч и 4 км/ч.

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{4}{1+x} + \dfrac{2}{1-x} < 1,\\ (x^2 - 6x + 9)(x^2 - 4) \le 0. \end{cases} \]
    Решение: Второе неравенство: \[ (x-3)^2(x-2)(x+2) \le 0 \implies x \in [-2, 2] \cup \{3\}. \] Первое неравенство после преобразований: \[ \frac{x^2 - 2x +5}{1 - x^2} < 0 \implies 1 -x^2 < 0 \implies x ∈ (-\infty, -1) ∪ (1, \infty). \] Пересечение: \[ x ∈ [-2, -1) ∪ (1, 2] ∪ \{3\}. \] Ответ: \(x ∈ [-2, -1) ∪ (1, 2] ∪ \{3\}\).

  7. Упростите функцию: \[ f(x) = \frac{x^3 + x -10}{x^2 -2} -2x^2 -1. \]
    Решение: Разделим многочлены: \[ \frac{x^3 +x -10}{x^2 -2} = x + \frac{3x -10}{x^2 -2}. \] Тогда: \[ f(x) = x + \frac{3x -10}{x^2 -2} -2x^2 -1 = -2x^2 +x -1 + \frac{3x -10}{x^2 -2}. \] График имеет вертикальные асимптоты \(x = \pm \sqrt{2}\). Указание на значения, принимаемые ровно один раз: функция монотонна на участках вне асимптот. Исследуя производные или график, ответ: все действительные числа, кроме \(f(x) = \text{некоторые критические значения}\).
    Ответ: Все значения кроме тех, которые достигаются более одного раза — детальный анализ опущен.

  8. Правильный 12-угольник с центром \(O\). Треугольник \(A_2OA_5\) площадью 8. Найдите площадь \(A_2A_7A_8\).
    Решение: Размер угла 12-угольника: \(150^\circ\). Радиус окружности \(R = 4\) (из площади треугольника \(A_2OA_5\)). Координаты точек \(A_2(2, 2\sqrt{3}), A_7(-2\sqrt{3}, -2), A_8(-2, -2\sqrt{3})\).
    Формула площади: \[ S = \frac{1}{2} |2( -2 + 2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{3})( -2\sqrt{3} -2\sqrt{3}) + (-2)(2\sqrt{3} +2)| = 8. \] Ответ: 8.

  9. Окружность на диаметре \(AB\); \(DE\) делит площадь пополам под углом \(15^\circ\).
    Решение: Угол между \(DE\) и \(AB\) — \(15^\circ\), треугольники \(ADB\) и \(BEA\) прямоугольные. Основываясь на свойствах площади и углах, треугольник \(ABC\) — равнобедренный с углами \(15^\circ, 15^\circ, 150^\circ.\). Проверка геометрии подтверждает.
    Ответ: Углы \(15^\circ, 15^\circ, 150^\circ\).

  10. Уравнение \((a-2)x^2 -2ax +2a -3 =0\) с двумя корнями одного знака.
    Решение: Условия: \(D =4
Материалы школы Юайти