Школа №153 из 9 в 10 класс Вариант 7

1. Упростите выражение: \[ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3 + 2a^2:\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}} \;+\; \frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{24}{(x+4)(x-2)} \;-\; \frac{15}{(x-1)(x+3)} = 2. \]
   
   
3. Разность арифметической прогрессии является отрицательным числом. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии, если сумма третьего и седьмого членов равна 18, а их произведение равно 45.
   
   
4. В прямоугольном $\triangle MRK$ $(\angle P=90^\circ)$ проведена высота $PE$, $MK=25$, $RK=24$. Найдите $EK$.
   
   
5. Из пунктов $A$ и $B$, расположенных на расстоянии 100 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через 4 часа они встретились. После встречи скорость первого велосипедиста (из $A$ в $B$) возросла на 5 км/ч, а второго — на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость второго велосипедиста, если первый прибыл в пункт $B$ на 1~час раньше, чем второй в пункт $A$.
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{14x}{x+1} \;-\; \dfrac{9x-30}{x-4} < 0,\\[6pt] (x-2)\,(x^2 - 10x + 25) \le 0. \end{cases} \]
   
   
7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{2 - 2x} + 6x - 1 \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении~$x$.
   
   
8. Угол правильного многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$ равен $140^\circ$. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на диагональ $A_4A_7$, если радиус описанной около этого многоугольника окружности равен 6. (В ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)
   
   
9. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов боковой стороны на расстояния 8 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.
   
   
10. При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ x^2 - 4x + 10a + 2 = 0 \] имеет два различных корня, сумма кубов которых меньше 40?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3 + 2a^2:\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}} + \frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b} \] Решение: Замена \( x = \sqrt{a} \), \( y = \sqrt{b} \). Числитель первой дроби: \[ (x - y)^3 + 2x^4/x + y^3 = 3x^3 - 3x^2y + 0 = 3x(x^2 - xy) \] Знаменатель: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \). После сокращения: \[ \frac{3x}{x + y} + \frac{3y}{x + y} = 3 \] Ответ: \( 3 \).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{24}{(x+4)(x-2)} - \frac{15}{(x-1)(x+3)} = 2 \] Решение: После приведения к общему знаменателю и упрощения: \[ 9x^2 + 18x + 48 = 2(x+4)(x-2)(x-1)(x+3) \] Корни: \( x = 0 \), \( x = -2 \), \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{66}}{2} \). Проверка ОДЗ.
   Ответ: \( 0; -2; \frac{-2 \pm \sqrt{66}}{2} \).
   
   
3. Разность арифметической прогрессии \( d < 0 \). Сумма 3-го и 7-го членов равна 18, произведение — 45.
   Решение: \( a_3 = a_1 + 2d \), \( a_7 = a_1 + 6d \). Система: \[ \begin{cases} 2a_1 + 8d = 18 \\ (a_1 + 2d)(a_1 + 6d) = 45 \end{cases} \] Решение: \( d = -3 \), \( a_1 = 21 \). Сумма \( S_7 = \frac{14 \cdot (2 \cdot 21 + 6 \cdot (-3))}{2} = 84 \).
   Ответ: 84.
   
   
4. В прямоугольном \( \triangle MRK \) (\( \angle R = 90^\circ \)) высота \( RE \), \( MK = 25 \), \( RK = 24 \). Найти \( EK \).
   Решение: \( RM = 7 \) (по т. Пифагора), высота \( RE = \frac{7 \cdot 24}{25} = 6.72 \). По свойству проекций: \( EK = \frac{24^2}{25} = 23.04 \).
   Ответ: \( 23.04 \).
   
   
5. Велосипедисты. Первоначальная скорость второго \( v = 10 \) км/ч.
   Ответ: \( 10 \) км/ч.
   
   
6. Система неравенств: \[ \begin{cases} \frac{14x}{x+1} - \frac{9x-30}{x-4} < 0 \\ (x-2)(x-5)^2 \leq 0 \end{cases} \] Решение: Первое неравенство: \( x \in (1, 4) \cup (4, 6) \). Второе: \( x \in (-\infty, 2] \cup \{5\} \). Пересечение: \( (1, 2] \cup \{5\} \).
   Ответ: \( x \in (1, 2] \cup \{5\} \).
   
   
7. Упрощение функции \( f(x) = -\frac{x^2}{2} + 4x - 3 \) при \( x \neq 1 \). Значения, принимаемые один раз: \( y = 5 \).
   Ответ: \( y = 5 \).
   
   
8. Угол правильного 9-угольника. Длина перпендикуляра: \( 3\sqrt{3} \).
   Ответ: \( 3\sqrt{3} \).
   
   
9. Средняя линия трапеции: \( 12 \) см.
   Ответ: \( 12 \) см.
   
   
10. Параметр \( a \): \( 0 < a < 0.2 \).
    Ответ: \( a \in (0; 0.2) \).