8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №153 из 9 в 10 класс Вариант 6

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©
Вариант 6


  1. Упростите выражение: \[ \Bigl( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} \;-\; \frac{a}{\sqrt{a^3}+8}\,\cdot\, \frac{a-2\sqrt{a}+4}{\sqrt{a}-2} \Bigr) : \frac{8}{a-4\sqrt{a}+4} \;-\; \frac{a+\sqrt{a}+6}{4\sqrt{a}+8}. \]

  2. Решите уравнение: \[ 6 + x^2 \;=\; \frac{21}{x^2 - 2(2x-5)} \;+\; 4x. \]

  3. Третий член арифметической прогрессии на 12 меньше шестого. Сумма восьмого и второго членов равна 4. Найдите второй и третий члены этой прогрессии.

  4. В прямоугольном $\triangle DCK\,$ $(\angle C=90^\circ)$ проведена высота $CH$, при этом $\angle K = 30^\circ$ и $KH = 5$. Найдите гипотенузу $DK$ треугольника $DCK$.

  5. Два автомобиля вышли одновременно из городов $A$ и $B$ навстречу друг другу. Через час они встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый прибыл в $B$ на 27 минут позже, чем второй прибыл в $A$. Определите скорости автомобилей, если расстояние между городами равно 90~км.

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{20}{x^2 - 7x + 12} \;+\; \dfrac{10}{x - 4} \;+\; 1 < 0,\\[6pt] (x - 1)\,(4x^2 + 12x + 9) \ge 0. \end{cases} \]

  7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{2x^3 - x^2 - 1}{2x - 2} \;-\; \frac{5}{2}\,(x + 1) \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении~$x$.

  8. Дан правильный многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$ со внутренним углом $135^\circ$, вписанный в окружность радиуса $4\sqrt{2}$. Найдите площадь треугольника $A_2A_5A_6$. (В ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)

  9. В трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC = 7$. Через вершины $A$, $C$ и $D$ проведена окружность, пересекающая продолжение основания $BC$ в точке $E$. Известно, что $ED = 7\sqrt{3}$ и $\angle EDA = 30^\circ$. Найдите длину боковой стороны $AB$.

  10. При каком значении параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 + 2ax + 2a^2 + 4a + 3 = 0 \] будет наибольшей?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} \;-\; \frac{a}{\sqrt{a^3}+8}\,\cdot\, \frac{a-2\sqrt{a}+4}{\sqrt{a}-2} \Bigr) : \frac{8}{a-4\sqrt{a}+4} \;-\; \frac{a+\sqrt{a}+6}{4\sqrt{a}+8}. \] Решение:
    Упростим выражение по частям: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} - \frac{a}{(\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4)} \cdot \frac{a-2\sqrt{a}+4}{\sqrt{a}-2} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} - \frac{a}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2) - a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a + 2\sqrt{a} - a}{a - 4} = \frac{2\sqrt{a}}{a - 4} \] Умножим на обратное выражение: \[ \frac{2\sqrt{a}}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4\sqrt{a} + 4)}{8} = \frac{2\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} - 2)^2}{8(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)}{4(\sqrt{a} + 2)} \] Вычтем вторую дробь: \[ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)}{4(\sqrt{a} + 2)} - \frac{a + \sqrt{a} + 6}{4(\sqrt{a} + 2)} = \frac{a - 2\sqrt{a} - a - \sqrt{a} - 6}{4(\sqrt{a} + 2)} = \frac{-3\sqrt{a} -6}{4(\sqrt{a} + 2)} = -\frac{3}{4} \] Ответ: $-\dfrac{3}{4}$.

  2. Решите уравнение: \[ 6 + x^2 \;=\; \frac{21}{x^2 - 2(2x-5)} \;+\; 4x. \] Решение:
    Упростим знаменатель:
    $x^2 - 4x + 10 = (x-2)^2 +6 \ne 0$ (всегда положителен).
    Переносим все члены влево: \[ x^2 +6 -4x - \frac{21}{x^2 -4x +10} =0 \] Пусть $y = x^2 -4x +10$, уравнение примет вид: \[ y -4 - \frac{21}{y} = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 -4y -21 =0 \] Корни: $y=7$ и $y=-3$ (отбрасываем, $y>0$).
    Возвращаемся к $x$: \[ x^2 -4x +10 =7 \Rightarrow x^2 -4x +3=0 \Rightarrow x=1;\;x=3 \] Проверка: оба корня подходят.
    Ответ: $1;\;3$.

  3. Третий член арифметической прогрессии на 12 меньше шестого. Сумма восьмого и второго членов равна 4. Найдите второй и третий члены этой прогрессии.
    Решение:
    Пусть $a_1$ — первый член, $d$ — разность. Тогда: \[ a_3 = a_6 -12 \quad \Rightarrow \quad a_1 +2d = a_1 +5d -12 \quad \Rightarrow \quad d=4 \] \[ a_8 +a_2 =4 \quad \Rightarrow \quad (a_1 +7d) + (a_1 +d) =4 \quad \Rightarrow \quad 2a_1 +32 =4 \quad \Rightarrow \quad a_1 =-14 \] Тогда: \[ a_2 = a_1+d =-10; \quad a_3 =a_2 +d=-6 \] Ответ: $a_2=-10;\;a_3=-6$.

  4. В прямоугольном $\triangle DCK\,$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CH$, при этом $\angle K = 30^\circ$ и $KH = 5$. Найдите гипотенузу $DK$ треугольника $DCK$.
    Решение:
    В $\triangle HKC$: \[ CH = KH \cdot \tg30^\circ =5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \] В $\triangle DCK$: \[ DK = \frac{CH}{\sin K} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{\sin30^\circ} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5,77 \] Ответ: $\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$.

  5. Два автомобиля вышли одновременно из городов $A$ и $B$ навстречу друг другу. Через час они встретились и продолжили путь. Первый прибыл в $B$ на 27 минут позже, чем второй в $A$. Расстояние 90 км. Определите скорости.
    Решение:
    Пусть $v_1$, $v_2$ — скорости. Встреча через 1 час: \[ v_1 +v_2 =90 \] Время первого после встречи: $\dfrac{90 -v_1}{v_1}$; второго: $\dfrac{90 -v_2}{v_2}$. Разница: \[ \frac{90 -v_1}{v_1} -\frac{90 -v_2}{v_2} =0,45 \] Подставляя $v_2=90 -v_1$ и решая, получаем: \[ v_1=30 \text{ км/ч}, \; v_2=60 \text{ км/ч} \] Ответ: 30 км/ч и 60 км/ч.

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{20}{x^2 - 7x + 12} + \dfrac{10}{x - 4} +1 <0, \\[6pt] (x -1)(4x^2 +12x +9) \ge 0. \end{cases} \] Решение:
    Преобразуем первое неравенство: \[ \frac{(x+1)(x+2)}{(x-3)(x-4)} <0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-2; -1) \cup(3;4) \] Второе неравенство: \[ 4x^2 +12x +9= (2x+3)^2 \ge0 \quad \Rightarrow \quad x \ge1 \text{ или }x=-1,5 \] Пересечение решений:
    $\varnothing$ (нет общих точек).
    Ответ: решений нет.

  7. Упростите выражение для функции: \[ f(x) = \frac{2x^3 -x^2 -1}{2x -2} - \frac{5}{2}(x +1) \] Решение:
    Разложим числитель: \[ 2x^3 -x^2 -1 = (x-1)(2x^2 +x +1) \] Упростим: \[ f(x) = \frac{2x^2 +x +1}{2} - \frac{5}{2}(x+1) = x^2 -2x -2 \quad (x \ne1) \] График — парабола с выколотой точкой $(1, -3)$. Функция принимает все значения при $x \ne1$, кроме $y=-3$.
    Ответ: $y \in (-3; +\infty)$, каждое значение принимается ровно один раз.

  8. Дан правильный восьмиугольник со стороной, вписанный в окружность радиуса $4\sqrt{2}$. Найдите площадь треугольника $A_2A_5A_6$.
    Решение:
    Координаты вершин (радиус $R=4\sqrt{2}$): \[ A_2(4,4);\; A_5(-4\sqrt{2},0); \A_6(-4,-4) \] Используем формулу площади через координаты: \[ S = \frac{1}{2} |4(0 +4) + (-4\sqrt{2})(-4 -4) + (-4)(4 -0)| =16\sqrt{2} \] Ответ: $16\sqrt{2}$.

  9. В трапеции $ABCD$ через вершины $A$, $C$, $D$ проведена окружность, пересекающая $BC$ в точке $E$. $\angle EDA=30^\circ$, $ED=7\sqrt{3}$. Найдите $AB$.
    Решение:
    Из $\triangle EDA$ по теореме синусов: \[ \frac{ED}{\sin \angle EAD} = \frac{EA}{\sin30^\circ} \quad \Rightarrow \quad EA=7 \] По свойству секущих: \[ EB \cdot EC = EA \cdot ED \quad \Rightarrow \quad AB =7 \] Ответ: $7$.

  10. При каком значении параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 +2ax +2a^2 +4a +3=0$ будет наибольшей?
    Решение:
    Сумма квадратов корней: \[ S = (x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2 =( -2a)^2 -2(2a^2 +4a +3) =-8a -6 \] Условие действительных корней: \[ 4a^2 -4(2a^2 +4a +3) \ge0 \quad \Rightarrow \quad a\in [-3; -1] \] Наибольшее $S$ при $a=-3$: \[ S_{max} =24 -6=18 \] Ответ: $a=-3$.
Материалы школы Юайти