Школа №153 из 9 в 10 класс Вариант 5

1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\biggr) : (a-b) \;+\; \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{15}{(x+2)(x-7)} \;-\; \frac{15}{(x-2)(x-3)} = 1. \]
   
   
3. В арифметической прогрессии произведение второго и пятого членов равно 45, а сумма первых пяти членов равна 35. Найдите разность прогрессии.
   
   
4. В прямоугольном $\triangle ABC$ $(\angle C=90^\circ)$ проведена высота $CH$, $AC=5$, $AB=13$. Найдите $BH$.
   
   
5. Расстояние между двумя городами равно 360 км. Из этих городов навстречу друг другу выезжают одновременно два автомобиля и встречаются через 2 часа. Они встретятся на середине пути, если первый выйдет на 27 минут раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x+7}{x-5} + \dfrac{3x+1}{2} \ge 0,\\[6pt] \bigl(x^2 - 4x + 4\bigr)\,\bigl(x^2 - 13x + 40\bigr) \le 0. \end{cases} \]
   
   
7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{3x+5}{2} \;-\; \frac{x^3 + 2x + 3}{2x + 2}, \] постройте её график и укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении~$x$.
   
   
8. Правильный многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$ вписан в окружность радиуса 10. Внутренний угол этого многоугольника равен $150^\circ$. Найдите проекцию диагонали $A_3A_7$ на диагональ $A_1A_7$. (В ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)
   
   
9. Площадь трапеции $ABCD$ равна 24, а длины оснований $AD$ и $BC$ относятся как $3:1$. Вершины $A$ и $D$ соединены с точкой $N$ — серединой стороны $BC$, а точки $B$ и $C$ — с точкой $M$ — серединой стороны $AD$. Отрезки $AN$ и $BM$ пересекаются в точке $E$, а отрезки $DN$ и $CM$ — в точке $K$. Найдите площадь четырёхугольника $ENKM$.
   
   
10. При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 2x^2 - 4a^2 x - a^2 + 1 = 0 \] имеет два различных корня одного знака?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\biggr) : (a-b) + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \] Решение:
   Упростим первую дробь: \[ \frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = a - \sqrt{ab} + b \] Вычтем $\sqrt{ab}$ и разделим на $a-b$: \[ \frac{a - \sqrt{ab} + b - \sqrt{ab}}{a - b} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a - b} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \] Добавим второе слагаемое: \[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 1 \] Ответ: 1.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{15}{(x+2)(x-7)} - \frac{15}{(x-2)(x-3)} = 1 \] Решение:
   Общий знаменатель: $(x+2)(x-7)(x-2)(x-3)$.
   Умножаем каждое слагаемое на общий знаменатель: \[ 15(x-2)(x-3) - 15(x+2)(x-7) = (x+2)(x-7)(x-2)(x-3) \] Упростим левую часть: \[ 15[(x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 5x - 14)] = 15 \cdot 20 = 300 \] Правая часть: \[ (x^2 - 5x - 14)(x^2 - 5x + 6) \] Пусть $y = x^2 - 5x$, тогда: \[ (y - 14)(y + 6) = y^2 - 8y - 84 = 300 \] Получаем: \[ y^2 - 8y - 384 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{8 \pm \sqrt{1600}}{2} = \frac{8 \pm 40}{2} \] Корни: $y = 24$ и $y = -16$.
   Возвращаемся к замене: \[ x^2 - 5x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 8; -3 \] \[ x^2 - 5x = -16 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5 \pm \sqrt{-39}}{2} \quad \text{(нет действительных корней)} \] Проверка корней: $x=8$ и $x=-3$ не обращают знаменатели в ноль.
   Ответ: $-3; 8$.
   
   
3. В арифметической прогрессии произведение второго и пятого членов равно 45, а сумма первых пяти членов равна 35. Найдите разность прогрессии.
   Решение:
   Пусть $a_1$ — первый член, $d$ — разность. Тогда: \[ \begin{cases} (a_1 + d)(a_1 + 4d) = 45 \\ \frac{(2a_1 + 4d) \cdot 5}{2} = 35 \quad \Rightarrow \quad 2a_1 + 4d = 14 \end{cases} \] Из второго уравнения: $a_1 = 7 - 2d$. Подставляем в первое уравнение: \[ (7 - 2d + d)(7 - 2d + 4d) = (7 - d)(7 + 2d) = 45 \] Раскрываем скобки: \[ 49 + 14d - 7d - 2d^2 = 49 + 7d - 2d^2 = 45 \quad \Rightarrow \quad 2d^2 -7d -4 = 0 \] Корни: \[ d = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4} \quad \Rightarrow \quad d = 4; -\frac{1}{2} \] Проверка:
   Для $d=4$: $a_1 = 7 - 8 = -1$, тогда произведение $(-1 +4)(-1 +16) = 3 \cdot 15 = 45$ — верно.
   Для $d = -\frac{1}{2}$: $a_1 = 7 + 1 = 8$, произведение $(8 -0.5)(8 -2) = 7.5 \cdot 6 = 45$ — верно.
   Ответ: 4 или $-0,5$.
   
   
4. В прямоугольном $\triangle ABC$ $(\angle C=90^\circ)$ проведена высота $CH$, $AC=5$, $AB=13$. Найдите $BH$.
   Решение:
   По теореме Пифагора: \[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{169 -25} = 12 \text{ см}. \] Высота: \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \] Из подобия треугольников: \[ BH = \frac{BC^2}{AB} = \frac{144}{13} \] Ответ: $\frac{144}{13}$ см.
   
   
5. Расстояние между городами 360 км. Автомобили встречаются через 2 часа или на середине пути при раннем выезде первого на 27 минут. Найдите скорость первого автомобиля.
   Решение:
   Пусть скорости автомобилей $x$ и $y$ км/ч. Тогда: \[ x + y = \frac{360}{2} = 180 \quad (1) \] Второй случай: \[ \frac{180}{x} = \frac{180}{y} + \frac{27}{60} \quad (2) \] Из (1): $y = 180 - x$. Подставляем в (2): \[ \frac{180}{x} - \frac{180}{180 - x} = \frac{9}{20} \] Общий знаменатель: \[ \frac{32400 - 180(180 - x) - 180x}{x(180 - x)} = \frac{9}{20} \quad \Rightarrow \quad x = 80 \] Ответ: 80 км/ч.
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x+7}{x-5} + \dfrac{3x+1}{2} \ge 0, \\ (x^2 - 4x + 4)(x^2 - 13x + 40) \le 0. \end{cases} \] Решение:
   Первое неравенство: \[ \frac{2(x+7) + (3x+1)(x-5)}{2(x-5)} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3x^2 - 12x - 18}{2(x-5)} \ge 0 \] Корни числителя: $x = 3 \pm \sqrt{15}$. Знаки: $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{15}] \cup (5; 3 + \sqrt{15}]$.
   Второе неравенство: \[ (x-2)^2(x-5)(x-8) \le 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; 2] \cup [5; 8] \] Пересечение: \[ x \in (-\infty; 3 - \sqrt{15}] \cup [5; 8] \] Ответ: $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{15}] \cup [5;8]$.
   
   
7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{3x+5}{2} - \frac{x^3 + 2x + 3}{2x + 2} \] Решение:
   Упростим вторую слагаемое: \[ \frac{x^3 + 2x +3}{2(x +1)} = \frac{(x+1)(x^2 -x +3)}{2(x+1)} = \frac{x^2 -x +3}{2} \] Тогда: \[ f(x) = \frac{3x+5}{2} - \frac{x^2 -x +3}{2} = \frac{-x^2 +4x +2}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 2x +1 \] График — парабола ветвями вниз. Функция принимает все значения $y \le 3$ ровно при одном $x$, кроме $y=3$.
   Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 +2x +1$; $y \in (-\infty; 3)$.
   
   
8. Правильный 12-угольник вписан в окружность радиуса 10. Проекция диагонали $A_3A_7$ на $A_1A_7$.
   Решение:
   Угол между диагоналями: \[ \angle A_7A_1A_3 = \frac{360^\circ}{12} \cdot 4 = 120^\circ \] Длина диагонали $A_3A_7$: \[ 2R \sin\left(\frac{180^\circ \cdot 4}{12}\right) = 20 \sin60^\circ = 10\sqrt{3} \] Проекция: \[ 10\sqrt{3} \cos30^\circ = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \] Ответ: 15.
   
   
9. Площадь трапеции 24, основания $AD:BC = 3:1$. Площадь четырёхугольника $ENKM$.
   Решение:
   Обозначим длины оснований $AD =3a$, $BC =a$, высота $h$: $\frac{(3a + a)h}{2} =24 \quad \Rightarrow \quad ah =12$.
   Используя свойства средних линий и подобия, находим, что $S_{ENKM} = \frac{1}{4}S_{ABCD} =6$.
   Ответ: 6.
   
   
10. Уравнение $2x^2 -4a^2x -a^2 +1=0$ имеет два различных корня одного знака.
    Решение:
    Условия: \[ \begin{cases} D = 16a^4 +8a^2 -8 >0, \\ x_1x_2 = \frac{-a^2 +1}{2} >0. \end{cases} \] Решаем $x_1x_2 >0$: \[ -a^2 +1 >0 \quad \Rightarrow \quad a^2 0 \quad \Rightarrow \quad 2a^4 +a^2 -1 >0 \] Решаем квадратно-биквадратное уравнение: \[ a^2 = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{1}{2} \] Значит, $a \in (-\infty; -\sqrt{\frac{1}{2}}) \cup (\sqrt{\frac{1}{2}}; +\infty)$. Пересекая с $a \in (-1;1)$: \[ a \in (-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; 1) \] Ответ: $a \in (-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; 1)$.