Школа №153 из 9 в 10 класс Вариант 3

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{1}{a-\sqrt{2}} -\frac{a^2+4}{a^3-\sqrt{8}}\Bigr) :\Bigl(\frac{a}{\sqrt{2}}+1+\frac{\sqrt{2}}{a}\Bigr)^{-1}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{(x+1)(x+2)} +\frac{8}{(x-1)(x+4)} =1. \]
   
   
3. Третий член арифметической прогрессии равен 25, а десятый — 4. Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.
   
   
4. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CH$, причём $AC:CB=5:12$ и $AB=130$. Найдите $AH$.
   
   
5. Из пункта $A$ в пункт $B$ отправился скорый поезд. Одновременно навстречу ему из $B$ в $A$ вышел товарный поезд, который встретился со скорым через $\tfrac{2}{3}$ часа после отправления. Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 80 км, поезда двигались с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он шёл на $\tfrac{3}{8}$ часа дольше, чем товарный поезд шёл 5 км?
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x+1}{x-1} \;\ge\;\dfrac{x+5}{x+1},\\[6pt] \bigl(x^2+2x\bigr)\,(x^2-4)\le0. \end{cases} \]
   
   
7. Упростите выражение для функции \[ f(x)=\frac{x^3+3x-4}{2-2x}-3,5x+6 \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении $x$.
   
   
8. Внешний угол правильного $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$ равен $30^\circ$. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины $A_5$ на диагональ $A_1A_7$, если этот многоугольник вписан в окружность радиуса $12\sqrt3$. (В ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)
   
   
9. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны 2 см и 4 см. Найдите площадь четырёхугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
   
   
10. При каком значении $m$ сумма квадратов корней уравнения \[ x^2+(m-1)x+m^2-1,5=0 \] наибольшая?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{1}{a-\sqrt{2}} - \frac{a^2+4}{a^3-\sqrt{8}}\Bigr) : \Bigl(\frac{a}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{a}\Bigr)^{-1}. \] Решение: Разложим знаменатель второй дроби: \[ a^3 - \sqrt{8} = a^3 - 2\sqrt{2} = (a - \sqrt{2})(a^2 + a\sqrt{2} + 2). \] Подставим в выражение и приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{a - \sqrt{2}} - \frac{a^2 + 4}{(a - \sqrt{2})(a^2 + a\sqrt{2} + 2)} = \frac{a^2 + a\sqrt{2} + 2 - a^2 - 4}{(a - \sqrt{2})(a^2 + a\sqrt{2} + 2)} = \frac{a\sqrt{2} - 2}{(a - \sqrt{2})(a^2 + a\sqrt{2} + 2)}. \] Упростим числитель: \[ a\sqrt{2} - 2 = \sqrt{2}(a - \sqrt{2}). \] Тогда дробь сократится: \[ \frac{\sqrt{2}}{\cancel{a - \sqrt{2}}}} \cdot \frac{\cancel{a - \sqrt{2}}}{a^2 + a\sqrt{2} + 2} = \frac{\sqrt{2}}{a^2 + a\sqrt{2} + 2}. \] Упростим вторую скобку: \[ \frac{a}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{a^2 + a\sqrt{2} + 2}{a\sqrt{2}}. \] Обратная величина: \[ \frac{a\sqrt{2}}{a^2 + a\sqrt{2} + 2}. \] Общий результат: \[ \frac{\sqrt{2}}{a^2 + a\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{a^2 + a\sqrt{2} + 2} = \frac{2a}{(a^2 + a\sqrt{2} + 2)^2}. \] Ответ: $\frac{2a}{(a^2 + a\sqrt{2} + 2)^2}$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{8}{(x-1)(x+4)} = 1. \] Решение: Разложим дроби на простейшие: \[ \frac{6}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}, \quad A = 6, B = -6. \] \[ \frac{8}{(x-1)(x+4)} = \frac{C}{x-1} + \frac{D}{x+4}, \quad C = 2, D = -2. \] Подставляем: \[ \frac{6}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{2}{x-1} - \frac{2}{x+4} = 1. \] Умножаем обе части на $(x+1)(x+2)(x-1)(x+4)$ и упрощаем: \[ 6(x-1)(x+4) -6(x-1)(x+1) +2(x+2)(x+4) -2(x+1)(x+2) = (x+1)(x+2)(x-1)(x+4). \] После раскрытия скобок и приведения подобных: \[ 2x^2 + 18x -32 = 0 \Rightarrow x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 64}}{2} = \frac{-9 \pm 12}{2}. \] Корни: $x = \frac{3}{2}$ и $x = -\frac{21}{2}$. Проверка на ОДЗ показывает, что все корни допустимы. Ответ: $\frac{3}{2}$ и $-\frac{21}{2}$.
   
   
3. Третий член арифметической прогрессии равен 25, а десятый — 4. Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии. Решение: Запишем уравнения для членов: \[ a_3 = a_1 + 2d = 25, \quad a_{10} = a_1 + 9d = 4. \] Вычитаем уравнения: \[ 7d = -21 \Rightarrow d = -3, \quad a_1 = 25 - 2(-3) = 31. \] Сумма первых 16 членов: \[ S_{16} = \frac{2a_1 + 15d}{2} \cdot 16 = \frac{62 -45}{2} \cdot 16 = 17 \cdot 8 = 136. \] Ответ: 136.
   
   
4. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CH$, причём $AC:CB=5:12$ и $AB=130$. Найдите $AH$. Решение: Пусть $AC = 5k$, $BC = 12k$. По теореме Пифагора: \[ (5k)^2 + (12k)^2 = 130^2 \Rightarrow 169k^2 = 16900 \Rightarrow k = 10. \] Значит, $AC = 50$, $BC = 120$. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 120 = 3000. \] Высота $CH = \frac{2S}{AB} = \frac{6000}{130} = \frac{600}{13}$. Длина $AH$ находится через подобие треугольников: \[ AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{2500}{130} = \frac{250}{13}. \] Ответ: $\frac{250}{13}$.
   
   
5. Из пункта $A$ в пункт $B$ отправился скорый поезд. Одновременно навстречу ему из $B$ в $A$ вышел товарный поезд, который встретился со скорым через $\tfrac{2}{3}$ часа после отправления. Расстояние между пунктами 80 км, поезда двигались с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он шёл на $\tfrac{3}{8}$ часа дольше, чем товарный поезд шёл 5 км? Решение: Пусть скорость скорого $v$ км/ч, товарного $u$ км/ч. Встреча через $\frac{2}{3}$ часа: \[ \frac{2}{3}(v + u) = 80 \Rightarrow v + u = 120. \] Условие про время: \[ \frac{40}{v} = \frac{5}{u} + \frac{3}{8}. \] Система уравнений: \[ \begin{cases} v + u = 120, \\ \frac{40}{v} - \frac{5}{u} = \frac{3}{8}. \end{cases} \] Подставляем $u = 120 - v$ во второе уравнение: \[ \frac{40}{v} - \frac{5}{120 - v} = \frac{3}{8}. \] Умножаем на $8v(120 - v)$: \[ 320(120 - v) - 40v = 3v(120 - v) \Rightarrow 38400 - 360v = -3v^2 + 360v. \] Приводим к квадратному уравнению: \[ 3v^2 -720v +38400 =0 \Rightarrow v^2 -240v +12800=0. \] Решаем: \[ D = 240^2 -4 \cdot12800=57600 -51200=6400 \Rightarrow v = \frac{240 \pm80}{2}. \] Получаем $v = 160$ км/ч (не подходит) или $v=80$ км/ч. Ответ: 80 км/ч.
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x+1}{x-1} \ge \dfrac{x+5}{x+1}, \\ \bigl(x^2+2x\bigr)\,(x^2-4)\le0. \end{cases} \] Решение: Первое неравенство: \[ \frac{x+1}{x-1} - \frac{x+5}{x+1} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x+1)^2 - (x+5)(x-1)}{(x-1)(x+1)} \ge0. \] Упрощаем числитель: \[ x^2 +2x +1 -x^2 -4x +5 = -2x +6. \] Неравенство: \[ \frac{-2x +6}{(x-1)(x+1)} \ge0 \Rightarrow (x-3)(x+1)(x-1) \le0. \] Метод интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup [1;3]$.
   
   Второе неравенство: \[ x(x+2)(x-2)(x+2) \le0 \Rightarrow x(x+2)^2(x-2) \le0. \] Корни: $x=0$, $x=-2$ (кратность 2), $x=2$. Решение: $x \in (-\infty; 0] \cup \{ -2 \} \cup [2;+\infty)$.
   
   Пересечение решений: \[ (-\infty; -1) \cup [1;3] \ \cap \ (-\infty; 0] \cup \{ -2 \} \cup [2;+\infty) \ \Rightarrow \ x \in (-\infty; -1) \cup ( \{ -2 \} \cap (-\infty; -1) ) \cup [2;3]. \] Но $-2 \in (-\infty; -1)$, поэтому итоговый ответ: \[ x \in (-\infty; -1] \cup [2;3]. \] Учитывая ОДЗ первого неравенства ($x \neq 1$, $x \neq -1$), получаем: \[ x \in (-\infty; -1) \cup [2;3]. \] Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [2; 3]$.
   
   
7. Упростите выражение для функции \[ f(x)=\frac{x^3+3x -4}{2-2x} -3,5x +6 \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении $x$. Решение: Разделим многочлен в числителе на знаменатель: \[ x^3 +3x -4 = (x-1)(x^2 +x +4). \] Делим на $2(1 -x)$: \[ \frac{(x-1)(x^2 +x +4)}{2(1 -x)} = -\frac{x^2 +x +4}{2}. \] Упрощаем функцию: \[ f(x) = -\frac{x^2 +x +4}{2} - 3,5x +6 = -\frac{x^2 +x +4 +7x -12}{2} = -\frac{x^2 +6x -8}{2} = -\frac{1}{2}x^2 -3x +4. \] График — парабола ветвями вниз. Экстремум в точке $x = -\frac{b}{2a} = -3/( -1) = 3$; $f(3) = -\frac{9}{2} -9 +4 = -\frac{15}{2}$. Значения функции: при $x=3$ максимум $-\frac{15}{2}$. Функция принимает каждое значение меньше $-\frac{15}{2}$ дважды, значение $-\frac{15}{2}$ — один раз.
   
   Ответ: Все действительные числа, кроме $y \ge -\frac{15}{2}$.
   
   
8. Внешний угол правильного $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$ равен $30^\circ$. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины $A_5$ на диагональ $A_1A_7$, если этот многоугольник вписан в окружность радиуса $12\sqrt3$. Решение: Внешний угол $30°$ $\Rightarrow$ $n = 360/30 = 12$. Многоугольник — 12-угольник. Радиус $R =12\sqrt3$. Координаты вершин: \[ A_k(12\sqrt3 \cos \theta_k, 12\sqrt3 \sin \theta_k), \quad \theta_k = \frac{2\pi(k-1)}{12}. \] Вершины $A_1$ и $A_7$ противоположны, диагональ $A_1A_7$ — диаметр. Пусть $A_1(12\sqrt3, 0)$, $A_7(-12\sqrt3, 0)$. Вершина $A_5$ соответствует углу $\theta_5 = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}$: \[ A_5\left(12\sqrt3 \cos \frac{2\pi}{3}, 12\sqrt3 \sin \frac{2\pi}{3}\right) = (-6\sqrt3, 18). \] Расстояние от $A_5$ до прямой $A_1A_7$ (оси x) равно ординате $A_5$: $18$. Ответ: 18.
   
   
9. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны 2 см и 4 см. Найдите площадь четырёхугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. Решение: Отрезок между серединами сторон равен $\frac{AC - BD}{2}$ по теореме Вариньона. Условие $|AC - BD| = 0$ $\Rightarrow$ $AC = BD$, но $2 \ne 4$ — противоречие. Возможно, условие подразумевает, что длины средних линий равны. Тогда по теореме сумма квадратов средних линий: \[ m_1^2 + m_2^2 = \frac{AC^2 + BD^2}{4}. \] Если они равны и сумма квадратов диагоналей $4 + 16 = 20$, тогда каждая средняя линия: \[ m^2 = \frac{20}{8} \Rightarrow m = \sqrt{\frac{5}{2}}. \] Площадь четырёхугольника: \[ S = AC \cdot BD \cdot \sin \theta /2. \] Если диагонали перпендикулярны, $\sin\theta=1$, тогда $S=4$, но это не обязательно. Однако условие о равенстве средних линий не дает информации для нахождения $\theta$. Предположим, что площадь максимальна при $\theta=90^\circ$: Ответ: 4 см².
   
   
10. При каком значении $m$ сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 + (m -1)x + m^2 -1,5=0 \] наибольшая? Решение: Сумма квадратов корней: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (1 -m)^2 - 2(m^2 -1,5) = 1 -2m +m^2 -2m² +3 = -m^2 -2m +4. \] Квадратичная функция относительно $m$ с вершиной при $m = -\frac{b}{2a} = -1$. Значение в вершине: \[ -(-1)^2 -2(-1) +4 = -1 +2 +4 =5. \] Ответ: $m = -1$.