Школа №153 из 9 в 10 класс Вариант 2

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a - \sqrt{b}}{a^2 + a\sqrt{b} + b} - \frac{1}{a - \sqrt{b}}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\frac{2\sqrt{b} + a}{a} + \frac{2a + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}\Bigr). \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{24}{x(2x-1)} + x = 2x^2 - 2. \]
   
   
3. Сумма второго и шестого членов убывающей арифметической прогрессии равна $-2$, а произведение третьего и пятого её членов равно $-15$. Найдите первый член этой прогрессии.
   
   
4. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена высота $CH$, при этом $\angle A = 30^\circ$ и $CH = 2$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
   
   
5. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $600\text{ км}$. Первый из них приходит на станцию $B$ на 3 часа раньше, чем второй приходит на станцию $A$. В то время как первый поезд проходит $250\text{ км}$, второй проходит $200\text{ км}$. Найдите скорости каждого поезда.
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} \;-\; \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2} \le 0,\\[6pt] (x^2 - 3x)\,(x^2 - 10x + 25) \le 0. \end{cases} \]
   
   
7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{2x^3 - x - 1}{2x - 2} \;-\; 3x \;-\; 1{,}5 \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении $x$.
   
   
8. В окружность вписан правильный девятиугольник $A_1A_2\dots A_9$, у которого диагональ $A_1A_4$ равна 12. В ту же окружность вписан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. (В ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)
   
   
9. В окружность радиуса 5 вписан четырёхугольник $ABCD$, у которого угол $D$ прямой, а $AB : BC = 3 : 4$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$, если его площадь равна 44.
   
   
10. При каком значении параметра $m$ сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0 \] минимальна?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a - \sqrt{b}}{a^2 + a\sqrt{b} + b} - \frac{1}{a - \sqrt{b}}\Bigr) \cdot \Bigl(\frac{2\sqrt{b} + a}{a} + \frac{2a + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}\Bigr) \] Решение:
   Упростим левую скобку: 1. Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{a - \sqrt{b}}{a^2 + a\sqrt{b} + b} - \frac{a^2 + a\sqrt{b} + b}{(a - \sqrt{b})(a^2 + a\sqrt{b} + b)} = \frac{(a - \sqrt{b})^2 - (a^2 + a\sqrt{b} + b)}{(a - \sqrt{b})(a^2 + a\sqrt{b} + b)}\] 2. Вычислим числитель: \[ (a^2 - 2a\sqrt{b} + b) - (a^2 + a\sqrt{b} + b) = -3a\sqrt{b} \] Левый множитель: \(\frac{-3a\sqrt{b}}{(a - \sqrt{b})(a^2 + a\sqrt{b} + b)}\) Упростим правую скобку: 1. Распишем слагаемые: \[ \frac{2\sqrt{b}}{a} + 1 + \frac{2a}{\sqrt{b}} + 1 = 2\left(\frac{\sqrt{b}}{a} + \frac{a}{\sqrt{b}}\right) + 2 \] 2. Преобразуем: \[ 2\left(\frac{b + a^2}{a\sqrt{b}}\right) + 2 = \frac{2(a^2 + b)}{a\sqrt{b}} + 2 = \frac{2(a^2 + b) + 2a\sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \frac{2(a + \sqrt{b})^2}{a\sqrt{b}} \] Общее произведение: \[ \frac{-3a\sqrt{b} \cdot 2(a + \sqrt{b})^2}{(a - \sqrt{b})(a^2 + a\sqrt{b} + b) \cdot a\sqrt{b}} = \frac{-6(a + \sqrt{b})^2}{a(a - \sqrt{b})(a^2 + a\sqrt{b} + b)} \] Заметим, что \(a^3 - b\sqrt{b} = (a - \sqrt{b})(a^2 + a\sqrt{b} + b)\), тогда: \[ \frac{-6(a + \sqrt{b})^2}{a(a^3 - b\sqrt{b})} \] Ответ: \(-\frac{6(a + \sqrt{b})^2}{a(a^3 - b\sqrt{b})}\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{24}{x(2x-1)} + x = 2x^2 - 2 \] Решение:
   1. Умножим всё уравнение на \(x(2x-1)\): \[ 24 + x^2(2x-1) = (2x^2 - 2)x(2x-1) \] 2. Раскроем скобки и упростим: \[ 24 + 2x^3 - x^2 = 4x^4 - 6x^3 + 2x^2 \] 3. Перенесём все члены влево: \[ 4x^4 - 8x^3 + 3x^2 +24 = 0 \] 4. Сгруппируем: \[ (4x^4 - 8x^3) + (3x^2 +24) = 4x^3(x - 2) + 3(x^2 +8) = 0 \] 5. Пробные корни (x=2): Подставим x=2: \(4(16) -8(8) +3(4)+24 = 64 -64 +12+24=36≠0\) 6. Разложим: Используем рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24 7. x=-2: \(4(16) -8(-8)+3(4)+24 = 64+64+12+24=164≠0\) x=3: \(4(81)-8(27)+3(9)+24=324-216+27+24=159≠0\) Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.
   
   
3. Сумма второго и шестого членов убывающей арифметической прогрессии равна $-2$, а произведение третьего и пятого её членов равно $-15$. Найдите первый член этой прогрессии. Решение:
   Пусть \(a_1 = a\), \(d\) — разность. Условия: \[ (a + d) + (a +5d) = 2a +6d = -2 \quad (1) \] \[ (a +2d)(a +4d) = -15 \quad (2) \] Из (1): \(a = -1 -3d\) Подставим в (2): \[ (-1 -3d +2d)(-1 -3d +4d) = (-1 -d)(-1 +d) = (1 -d^2) = -15 \] \[ 1 -d^2 = -15 \Rightarrow d^2 =16 \Rightarrow d = \pm4 \] Т.к. прогрессия убывающая, \(d = -4\) Тогда \(a = -1 -3*(-4) =11\) Ответ: 11.
   
   
4. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ с $\angle C = 90^\circ$ проведена высота $CH = 2$, $\angle A = 30^\circ$. Найдите $AB$. Решение:
   В прямоугольном треугольнике с углом 30°, катет BC = \(\frac{AB}{2}\) Высота CH: \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}\) Пусть AB = x, тогда BC = x/2, AC = \(\frac{\sqrt{3}x}{2}\) Подставим: \[ 2 = \frac{\frac{\sqrt{3}x}{2} \cdot \frac{x}{2}}{x} = \frac{\sqrt{3}x}{4} \Rightarrow x = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] Ответ: \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\).
   
   
5. Два поезда отправляются навстречу. Расстояние 600 км. Первый проходит 250 км за то же время, что второй — 200 км. Первый прибывает на 3 часа раньше. Решение:
   Пусть скорость первого \(v_1\), второго \(v_2\). Соотношение скоростей: \(v_1/v_2 = 250/200 = 5/4\) Время в пути первого: \(600/v_1\), второго: \(600/v_2\). Разница 3 часа: \[ \frac{600}{v_1} = \frac{600}{v_2} -3 \] Подставим \(v_1 = (5/4)v_2\): \[ \frac{600}{5v_2/4} = \frac{480}{v_2} = \frac{600}{v_2} -3 \Rightarrow \frac{120}{v_2} =3 \Rightarrow v_2=40 \] Тогда \(v_1=50\) км/ч. Ответ: 50 км/ч и 40 км/ч.
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \frac{2x -7}{(x-2)(x-7)} - \frac{1}{(x-1)(x-2)} \le0, \\ (x^2 -3x)(x-5)^2 \le0 \end{cases} \] Решение:
   Первое неравенство: Приведём к общему знаменателю и упростим: \[ \frac{(2x -7)(x-1) - (x-7)}{(x-1)(x-2)(x-7)} \le0 \Rightarrow \frac{2x^2 -9x +7 -x +7}{(x-1)(x-2)(x-7)} \le0 \] \[ \frac{2x^2 -10x +14}{(x-1)(x-2)(x-7)} \le0 \] Квадратное уравнение: \(2x² -10x +14 =0\). Дискриминант \(D = 100 -112 = -12 <0\). Значит выражение всегда положительно. Неравенство принимает вид: \[ \frac{+}{(x-1)(x-2)(x-7)} \le0 \Rightarrow (x-1)(x-2)(x-7) <0 \] Метод интервалов: \(x \in (-\infty;1) \cup (2;7)\) Второе неравенство: \[ x(x-3)(x-5)^2 \le0 \] Метод интервалов: \(x \in (-\infty;0] \cup[3;5] \cup\{5\}\) Пересечение решений: С учетом ОДЗ (\(x≠1,2,7\)): \[ x \in (-\infty;0] \cup[3;5) \] Ответ: \(x \in (-\infty;0] \cup[3;5)\).
   
   
7. Упростите функцию: \[ f(x) = \frac{2x^3 -x -1}{2x -2} -3x -1,5 \] Решение:
   Разделим многочлен: \[ 2x^3 -x -1 = (2x-2)(x² +x +1) + (2x-1) \] Остаток: \(2x -1\). Тогда: \[ f(x) = x² +x +1 + \frac{2x -1}{2x -2} -3x -1,5 = x² -2x -0,5 + \frac{2x -1}{2x -2} \] Упростим дробь: \[ \frac{2x -1}{2(x -1)} = 1 + \frac{1}{2(x -1)} \] Тогда: \[ f(x) =x² -2x -0,5 +1 + \frac{1}{2(x -1)} = x² -2x +0,5 + \frac{1}{2(x -1)} \] График — гипербола с вертикальной асимптотой x=1. Функция принимает каждое значение 1 раз для x≠1. Ответ: Функция принимает все действительные значения кроме \(y = x² -2x +0.5\) при x=1.
   
   
8. Девятиугольник с диагональю 12. Найдите радиус вписанной в шестиугольник окружности. Решение:
   Диагональ \(A_1A_4\) в девятиугольнике соответствует 3 сторонам. Центральный угол: \(120^\circ\). Радиус R: \[ A_1A_4 = 2R \sin(60°) = R\sqrt{3} =12 \Rightarrow R=4\sqrt{3} \] Шестиугольник: радиус вписанной окружности \(r = \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} =6\) Ответ: 6.
   
   
9. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса 5, угол D прямой, AB:BC=3:4, площадь 44. Решение:
   Поскольку ABCD вписанный и ∠D=90°, то AC — диаметр окружности (10). Из AB:BC=3:4 ⇒ AB=3k, BC=4k. Площадь четырёхугольника: сумма площадей треугольников ABC и ADC. Для ABC по теореме Пифагора: \(AC=5k =10 ⇒k=2 ⇒ AB=6, BC=8\) Площадь ABC: 0.5*6*8=24 ⇒ADC=44-24=20 Для ADC: высота DC=4. По теореме Пифагора AD² +DC²=AC² ⇒ AD=\(\sqrt{100 -16}=2\sqrt{21}\) Периметр: 6 +8 +4 +\(2\sqrt{21}\) =14 + \(2\sqrt{21}\) Ответ: \(14 + 2\sqrt{21}\).
   
   
10. Найдите m, при котором минимальна сумма квадратов корней: \[ x² + (2 -m)x -m -3 =0 \] Решение:
    Сумма квадратов корней: \(S = (x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2 = (m -2)^2 +2(m +3)\) Упростим: \[ m² -4m +4 +2m +6 =m² -2m +10 \] Минимум достигается при \(m = 1\) Ответ: m=1.