Школа №153 из 9 в 10 класс Вариант 11

1. Упростить выражение и вычислить его для заданных значений \[ \frac{(2p - q)^2 + 2q^2 - 3pq}{q^2 + \tfrac{7}{2}p} : \frac{4p^2 - 3pq}{2 + pq^2}, \quad p = 0{,}78,\; q = \frac{7}{25}. \] \[ \sqrt{\frac{x^3_1 + x^3_2 - \frac{4}{7}}{49}}. \]
2. Решить уравнение \[ \frac{2x}{x^2 - 2x + 5} + \frac{3x}{x^2 + 2x + 5} = \frac{7}{8}. \]
   
   
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x^2 + 3x - 13}{(x+3)(x-2)} \ge 2,\\[6pt] (x-1)(x^2 + 2x + 1) \ge 0. \end{cases} \]
   
   
4. В арифметической прогрессии 12 членов; сумма их равна 354. Сумма членов с чётными номерами относится к сумме членов с нечётными номерами как $32:27$. Найдите разность прогрессии.
   
   
5. Теплоход отплыл из порта $A$ в порт $B$, а вслед за ним через 7,5~ч отплыл катер. На половине пути от $A$ до $B$ катер догнал теплоход. Когда катер прибыл в $B$, теплоходу оставалось плыть $\tfrac{3}{10}$ всего пути. Сколько времени понадобилось теплоходу на весь путь от $A$ до $B$, если скорости катера и теплохода оставались постоянными?
   
   
6. Не находя корней уравнения $7x^2 - 14x - 2 = 0$, вычислите \[ \sqrt{\frac{x_1^3 + x_2^3 - \tfrac{4}{7}}{49}}. \]
   
   
7. В $\triangle ABC$ дано: $BC = 6$, $\sin C = \frac{\sqrt{65}}{9}$, $\sin A = \frac{3}{5}$. Найдите $AB$.
   
   
8. В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекают сторону $AD$ в точках $L$ и $K$ соответственно. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если известно, что $BL = 6$, $CK = 8$ и $AB:AD = 1:3$.
   
   
9. Продолжение биссектрисы $CD$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точке $E$. Найти $AC$, если $AB = 3$, $BC:AC = 2:1$ и $DE = 1$.
   
   
10. При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \frac{x^2 - (3a - 5)x + 2a^2 - 6a + 4}{x^2 + x - 6} = 0 \] имеет ровно один корень?

Решения задач

1. Упростить выражение и вычислить его для заданных значений \[ \frac{(2p - q)^2 + 2q^2 - 3pq}{q^2 + \tfrac{7}{2}p} : \frac{4p^2 - 3pq}{2 + pq^2}, \quad p = 0{,}78,\; q = \frac{7}{25} \] Решение:
   Упростим выражение: \[ \frac{4p² - 7pq + 3q²}{q² + \frac{7}{2}p} \cdot \frac{2 + pq²}{4p² - 3pq} = \frac{(4p - 3q)(p - q)}{q² + \frac{7}{2}p} \cdot \frac{2 + pq²}{p(4p - 3q)} = \frac{p - q}{q² + \frac{7}{2}p} \cdot \frac{2 + pq²}{p} \] Подставим значения: \[ p = \frac{39}{50},\quad q = \frac{7}{25} \] \[ = \frac{\frac{39}{50} - \frac{7}{25}}{\left(\frac{7}{25}\right)^2 + \frac{7}{2} \cdot \frac{39}{50}} \cdot \frac{2 + \frac{39}{50} \cdot \left(\frac{7}{25}\right)^2}{\frac{39}{50}} \] После вычислений: \[ = \frac{\frac{25}{50}}{\frac{343}{2500} + \frac{273}{100}} \cdot \frac{2 + \frac{1911}{78125}}{\frac{39}{50}} = 3{,}2 \] Ответ: 3,2.
2. Решить уравнение \[ \frac{2x}{x^2 - 2x + 5} + \frac{3x}{x^2 + 2x + 5} = \frac{7}{8} \] Решение:
   Пусть \( t = x^2 +5 \). Уравнение принимает вид: \[ \frac{2x}{(t - 2x)} + \frac{3x}{(t + 2x)} = \frac{7}{8} \] Общий знаменатель: \[ \frac{(2x)(t + 2x) + 3x(t - 2x)}{(t² - 4x²)} = \frac{7}{8} \] Упростив, получим: \[ 8x(5t - 2x²) = 7(t² - 4x²) \] Подставим \( t = x^2 +5 \), решим квадратное уравнение: \[ x = 1 \quad \Rightarrow \quad 2^4 - 8 \cdot 2^3 + 10 \cdot 2^2 = 0 \] Ответ: 1.
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x^2 + 3x - 13}{(x+3)(x-2)} \ge 2,\\[6pt] (x-1)(x^2 + 2x + 1) \ge 0. \end{cases} \] Решение:
   Первое неравенство: \[ \frac{-x² + x - 1}{(x + 3)(x - 2)} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x ∈ (-3; 2) \] Второе неравенство: \[ (x - 1)(x + 1)^2 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x ∈ (-∞; -1] ∪ [1; ∞) \] Пересечение: \( x ∈ (-3; -1] ∪ [1; 2) \)
   Ответ: \( (-3; -1] ∪ [1; 2) \).
4. В арифметической прогрессии 12 членов; сумма их равна 354. Сумма членов с чётными номерами относится к сумме членов с нечётными как \(32:27\). Найдите разность прогрессии.
   Решение:
   Пусть \( S_{\text{чёт}} = 32k \), \( S_{\text{нечёт}} = 27k \), тогда \( 59k = 354 \) ⇒ \( k = 6 \). Получим: \[ \begin{cases} a_1 + 6d = 32 \\ a_1 + 5d = 27 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad d = 5 \] Ответ: 5.
5. Теплоход отплыл из порта A в B, катер — через 7,5 ч. Катер догнал теплоход на середине пути. Скорость теплохода \( v \), время пути \( T \). Система: \[ \begin{cases} \frac{S}{2} = v \cdot t = v_k \cdot (t - 7,5) \\ \frac{7}{10}S = v \cdot (7,5 + \frac{S}{v_k}) \end{cases} \] Решение:
   \( \frac{0.7S}{v} = 7.5 + \frac{S}{v_k} \). После подстановок получим \( T = 25 \) ч.
   Ответ: 25 часов.
6. Не находя корней уравнения \(7x^2 - 14x - 2 = 0\), вычислите \[ \sqrt{\frac{x_1^3 + x_2^3 - \tfrac{4}{7}}{49}} \] Решение:
   По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 2,\quad x_1x_2 = -\frac{2}{7} \] \[ x_1³ + x_2³ = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 8 + \frac{12}{7} = \frac{68}{7} \] \[ \sqrt{\frac{\frac{68}{7} - \frac{4}{7}}{49}} = \frac{8\sqrt{7}}{49} \] Ответ: \( \frac{8\sqrt{7}}{49} \).
7. В \(\triangle ABC\) дано: \(BC = 6\), \(\sin C = \frac{\sqrt{65}}{9}\), \(\sin A = \frac{3}{5}\). Найдите \(AB\).
   Решение:
   По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{65}}{9}}{\frac{3}{5}} = \frac{10\sqrt{65}}{9} \] Ответ: \( \frac{10\sqrt{65}}{9} \).
8. В параллелограмме \(ABCD\) биссектрисы углов \(B\) и \(C\) пересекают \(AD\) в точках \(L\) и \(K\). Найти площадь \(ABCD\), если \(BL = 6\), \(CK = 8\), \(AB:AD = 1:3\).
   Решение:
   Пусть \(AB = x\), \(AD = 3x\). Используя теорему биссектрисы и соотношения, получим: \[ x = 5,\quad AD = 15,\quad S = AB \cdot AD \cdot \sin \theta = 5 \cdot 15 \cdot \frac{24}{25} = 72 \] Ответ: 72.
9. Продолжение биссектрисы \(CD\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность в точке \(E\). Найти \(AC\), если \(AB = 3\), \(BC:AC = 2:1\), \(DE = 1\).
   Решение:
   Пусть \(AC = x\), \(BC = 2x\). По теореме Стюарта: \[ CD = \frac{2x \cdot 3 + x \cdot 2x}{2x + x} = \frac{6x + 2x²}{3x} = \frac{6 + 2x}{3} \] Из подобия \( \triangle CDE \) и \( \triangle CEB \): \[ \frac{CD}{DE} = \frac{CE}{EB} \quad \Rightarrow \quad CE = CD + DE = \frac{6 + 2x}{3} + 1 \] Решив, получим \( x = \sqrt{3} \).
   Ответ: \( \sqrt{3} \).
10. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{x^2 - (3a - 5)x + 2a² - 6a + 4}{x² + x - 6} = 0 \] имеет ровно один корень?
    Решение:
    Корни числителя: \(x = 2a - 4\) и \(x = a - 1\). Знаменатель: \(x ≠ 2, -3\). Уравнение имеет ровно один корень, если один корень числителя совпадает с \(2\) или \(-3\), а другой — нет. \[ \begin{cases} 2a - 4 = 2 ⇒ a = 3 \quad (\text{не подходит}) \\ 2a - 4 = -3 ⇒ a = 0{,}5 \quad (\text{корень } x = -0{,}5) \\ a - 1 = 2 ⇒ a = 3 \quad (\text{не подходит}) \\ a - 1 = -3 ⇒ a = -2 \quad (\text{корень } x = -8) \end{cases} \] Ответ: \(a = 0{,}5\) и \(a = -2\).