8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №153 из 9 в 10 класс вариант 10

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Печать
youit.school ©
Вариант 10


  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b} -\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr) :\Bigl(\frac{2a+b}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}} -\frac{2\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b}\Bigr) +b. \]

  2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{x(2x-3)} \;-\; 3x \;=\; 5 \;-\; 2x^2. \]

  3. Пятый член арифметической прогрессии на 15 меньше второго. Сумма третьего и седьмого членов равна $-6$. Найдите третий и четвёртый члены этой прогрессии.

  4. В прямоугольном $\triangle ABC$ $(\angle C=90^\circ)$ проведена высота $CH$, $\angle A=60^\circ$, $BH=6$. Найдите $AH$.

  5. Первый поезд отправляется из пункта $A$ в пункт $B$. Одновременно из $B$ в $A$ отправляется второй поезд. Встретившись через 50 минут, поезда следуют дальше, и первый поезд прибывает в пункт $B$ на 75 минут раньше, чем второй — в пункт $A$. Найдите расстояние между $A$ и $B$, если скорость первого поезда равна $120\ \mathrm{км/ч}$.

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{2x-8}{x^2 - 8x + 7} \;\ge\; \dfrac{1}{x-2},\\[6pt] \bigl(4x^2 - 12x + 9\bigr)\,(x-5) \;\ge\; 0. \end{cases} \]

  7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{x^3 - 3x - 2}{2x + 2} + \frac{5}{2}(x - 2) \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значени $x$.

  8. Каждый угол правильного многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$ с центром $O$ равен $135^\circ$, площадь $\triangle A_2OA_4 = 16$. Найдите площадь $\triangle A_2A_4A_6$. (В ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)

  9. Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $\angle AEC = 5\angle BAF$ и $\angle ABC = 72^\circ$, а $AC=6$. Найдите радиус этой окружности.

  10. При каких значениях параметра $b$ уравнение \[ 2x^2 - 4x + 3b - 1 = 0 \] имеет два различных корня, сумма кубов которых меньше 20?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b} -\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr) :\Bigl(\frac{2a+b}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}} -\frac{2\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b}\Bigr) +b. \]
    Решение: Упростим первую скобку: \[ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b} - \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - (a - \sqrt{ab} + b)}{(a - \sqrt{ab} + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{ab} + \sqrt{ab}}{(a^{3/2} + b^{3/2})} = \frac{3\sqrt{ab}}{a^{3/2} + b^{3/2}} \] Вторая скобка: \[ \frac{2a + b}{(a^{3/2} + b^{3/2})} - \frac{2\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - \sqrt{ab} + b} = \frac{2a + b - (2\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a^{3/2} + b^{3/2}} = \frac{2a + b - 2a - \sqrt{ab} - \sqrt{ab} - b}{a^{3/2} + b^{3/2}} = \frac{-2\sqrt{ab}}{a^{3/2} + b^{3/2}} \] Деление и прибавление \(b\): \[ \frac{3\sqrt{ab}}{-2\sqrt{ab}} + b = -\frac{3}{2} + b \]
    Ответ: \(b - \frac{3}{2}\).
  2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{x(2x-3)} \;-\; 3x \;=\; 5 \;-\; 2x^2. \]
    Решение: Умножаем обе части на \(x(2x-3)\): \[ 6 - 3x^2(2x-3) = (5 - 2x^2)x(2x-3) \] Раскрываем скобки и приводим подобные: \[ 6 - 6x^3 + 9x^2 = 10x^2 -15x -4x^3 +6x^2 \] Упрощаем: \[ 2x^3 -7x^2 -15x +6 = 0 \] Подбором находим корень \(x=3\), делим полином на \((x-3)\): \[ (x-3)(2x^2 + 5x -2) = 0 \Rightarrow x = 3, x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{4} \] Проверка ОДЗ: \(x \neq 0, 1.5\). Все корни подходят.
    Ответ: \(3; \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{4}\).
  3. Пятый член арифметической прогрессии на 15 меньше второго. Сумма третьего и седьмого членов равна \(-6\). Найдите третий и четвёртый члены этой прогрессии.
    Решение: Пусть \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность: \[ a_5 = a_2 -15 \Rightarrow a_1 +4d = a_1 +d -15 \Rightarrow d = -5. \] Сумма: \[ a_3 +a_7 = (a_1 +2d) + (a_1 +6d) = 2a_1 +8d = -6 \Rightarrow 2a_1 -40 = -6 \Rightarrow a_1 =17. \] Тогда \(a_3 =17 +2(-5)=7\), \(a_4 =17 +3(-5)=2\).
    Ответ: 7 и 2.
  4. В прямоугольном \(\triangle ABC\) \((\angle C=90^\circ)\) проведена высота \(CH\), \(\angle A=60^\circ\), \(BH=6\). Найдите \(AH\).
    Решение: Из свойств прямоугольного треугольника: \[ \cos60^\circ = \frac{AH}{AC} \Rightarrow AH = \frac{1}{2}AC. \] Для высоты: \[ BH = \frac{BC^2}{AB} \Rightarrow 6 = \frac{(AC\sqrt{3})^2}{2AC} \Rightarrow AC =4. \] Тогда \(AH = \frac{4}{2} =2\).
    Ответ: 2.
  5. Первый поезд отправляется из пункта \(A\) в пункт \(B\). Одновременно из \(B\) в \(A\) отправляется второй поезд. Встретившись через 50 минут, поезда следуют дальше, и первый поезд прибывает в пункт \(B\) на 75 минут раньше, чем второй — в пункт \(A\). Найдите расстояние между \(A\) и \(B\), если скорость первого поезда равна \(120\ \mathrm{км/ч}\).
    Решение: Пусть \(v_2\) — скорость второго поезда. Расстояние: \[ S = 120 \cdot \frac{5}{6} + v_2 \cdot \frac{5}{6} = 100 + \frac{5v_2}{6}. \] Время после встречи: \[ \frac{S -100}{120} = \frac{5v_2}{6v_2} -1.25 \Rightarrow \frac{5v_2}{6 \cdot120} = \frac{100}{v_2} -1.25. \] Решаем и находим \(v_2=80\), \(S =300\) км.
    Ответ: 300 км.
  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{2x-8}{x^2 - 8x + 7} \;\ge\; \dfrac{1}{x-2},\\[6pt] \bigl(4x^2 - 12x + 9\bigr)\,(x-5) \;\ge\; 0. \end{cases} \]
    Решение: Первое неравенство: \[ \frac{2x-8}{(x-1)(x-7)} - \frac{1}{x-2} \ge0 \Rightarrow \frac{x^2 -4x +9}{(x-1)(x-7)(x-2)} \ge0. \] Решение: \(x \in (1;2) \cup(7;\infty)\). Второе неравенство: \[ (2x-3)^2(x-5) \ge0 \Rightarrow x =1.5 \cup [5;\infty). \] Пересечение: \(x \in \{1.5\} \cup[7;\infty)\).
    Ответ: \(x =1.5; x \ge7\).
  7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{x^3 - 3x - 2}{2x + 2} + \frac{5}{2}(x - 2) \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении \(x\).
    Решение: Упрощение дроби: \[ \frac{(x-2)(x+1)^2}{2(x+1)} = \frac{(x-2)(x+1)}{2} = \frac{x^2 -x -2}{2}. \] Тогда: \[ f(x) = \frac{x^2 -x -2}{2} + \frac{5x -10}{2} = \frac{x^2 +4x -12}{2}. \] График — парабола с вершиной в \(x=-2\), значение при \(x=-1\) исключено.
    Ответ: Все значения, кроме \(f(-1) = -\frac{9}{2}\).
  8. Каждый угол правильного многоугольника \(A_1A_2\ldots A_n\) с центром \(O\) равен \(135^\circ\), площадь \(\triangle A_2OA_4 = 16\). Найдите площадь \(\triangle A_2A_4A_6\).
    Решение: Многоугольник — восьмиугольник (\(n=8\)). \(R = \sqrt{32}\). Сторона \(A_2A_4\) — диагональ через две вершины, \(A_2A_6\) — диаметр. Площадь треугольнка: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4R \cdot 2R \cdot \sin45^\circ =16\sqrt{2}. \]
    Ответ: \(16\sqrt{2}\).
  9. Окружность проходит через вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Известно, что \(\angle AEC = 5\angle BAF\) и \(\angle ABC = 72^\circ\), а \(AC=6\). Найдите радиус этой окружности.
    Решение: Пусть \(\angle BAF = \alpha\), тогда \(\angle AEC =5\alpha\). Из теоремы синусов для окружности: \[ \frac{AC}{\sin5\alpha} =2R \Rightarrow R = \frac{3}{\sin5\alpha}. \] Учитывая углы треугольника, находим \(\alpha =12^\circ\), тогда: \[ R = \frac{3}{\sin60^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =2\sqrt{3}. \]
    Ответ: \(2\sqrt{3}\).
  10. При каких значениях параметра \(b\) уравнение \[ 2x^2 - 4x + 3b - 1 = 0 \] имеет два различных корня, сумма кубов которых меньше 20?
    Решение: Дискриминант: \[ D =16 -8(3b -1) >0 \Rightarrow b <1. \] Сумма кубов корней: \[ x_1^3 +x_2^3 =11 -9b -1. \]
    Ответ: \(-1 < b <1\).
Материалы школы Юайти