8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №153 из 9 в 10 класс Вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©
Вариант 1


  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}}{x-y} -\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\sqrt{xy}\,\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\Bigr)^{-1}. \]

  2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{(x-1)(x+3)} \;-\; \frac{24}{(x-2)(x+4)} \;=\; 1. \]

  3. Седьмой член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых девятнадцати членов равна 475. Найдите сумму пятого, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.

  4. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CH$, $AC=15$, $AB=50$. Найдите $AH$.

  5. Легковой и грузовой автомобили движутся по шоссе навстречу друг другу с постоянными скоростями. За $\tfrac12$ часа до встречи расстояние между ними по шоссе равнялось 75 км. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что, чтобы проехать 90 км, ему потребовалось бы на 20 мин больше, чем грузовому автомобилю, чтобы проехать 40 км.

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x-3}{x} \;+\;\dfrac{x+5}{x-3} < 3,\\[6pt] (x^2+3x)(x^2-4x+4) \le 0. \end{cases} \]

  7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - 2}{2x+2} + x - 1 \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении~$x$.

  8. Найдите площадь правильного 12-угольника $ABCDE\ldots$, если длина диагонали $AD$ равна 4. (В ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)

  9. В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $BAC$ равна 4. Окружность, построенная на этой биссектрисе как на диаметре, делит стороны $AB$ и $AC$ в отношениях $2:1$ и $1:1$, считая от точки $A$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

  10. При каких значениях $k$ сумма корней квадратного уравнения \[ x^2 + (k^2 + 4k - 5)x - k = 0 \] равна 0?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}}{x-y} -\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\sqrt{xy}\,\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\Bigr)^{-1}. \]
    Решение: Упростим первую скобку: \[ \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \] \[ = \frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = \frac{(x - \sqrt{xy} + y) - (x - 2\sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \] Умножим на обратную величину из второй скобки: \[ \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \cdot \frac{(x - y)}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{x - y}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = 1 \] Ответ: $1$.

  2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{(x-1)(x+3)} \;-\; \frac{24}{(x-2)(x+4)} \;=\; 1. \]
    Решение: Общий знаменатель: $(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)$.
    После преобразований получим: \[ 6(x-2)(x+4) - 24(x-1)(x+3) = (x-1)(x+3)(x-2)(x+4) \] Раскроем и упростим: \[ x^4 + 4x^3 - 23x^2 - 54x + 108 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 3)(x + 6)(x^2 + 7x - 6) = 0 \] Корни: $x = 3$, $x = -6$, $x = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{2}$.
    Проверка показывает, что все корни подходят.
    Ответ: $-6$; $\frac{-7 - \sqrt{73}}{2}$; $3$; $\frac{-7 + \sqrt{73}}{2}$.

  3. Седьмой член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых девятнадцати членов равна 475. Найдите сумму пятого, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.
    Решение: Из условий: \[ a_1 + 6d = 19, \quad \frac{2a_1 + 18d}{2} \cdot 19 = 475 \quad \Rightarrow \quad a_1 + 9d = 25 \] Решая систему, находим $d = 2$, $a_1 = 7$. Искомая сумма: \[ (a_1 + 4d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 19d) = 3a_1 + 34d = 21 + 68 = 89 \] Ответ: $89$.

  4. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CH$, $AC=15$, $AB=50$. Найдите $AH$.
    Решение: По свойству прямоугольного треугольника: \[ AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{15^2}{50} = 4,5 \] Ответ: $4,5$.

  5. Легковой и грузовой автомобили движутся по шоссе навстречу друг другу с постоянными скоростями. За $\tfrac12$ часа до встречи расстояние между ними по шоссе равнялось 75 км. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что, чтобы проехать 90 км, ему потребовалось бы на 20 мин больше, чем грузовому автомобилю, чтобы проехать 40 км.
    Решение: Пусть $v$ (км/ч) — скорость легкового, $u$ — грузового. Из условий: \[ v + u = \frac{75}{0,5} = 150, \quad \frac{90}{v} - \frac{40}{u} = \frac{1}{3} \] Подставляя $u = 150 - v$ и решая, получим: \[ 90v^2 - 12250v + 675000 = 0 \quad \Rightarrow \quad v = 90 \quad (u = 60) \] Ответ: $90$ км/ч.

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x-3}{x} \;+\;\dfrac{x+5}{x-3} < 3,\\[6pt] (x^2+3x)(x^2-4x+4) \le 0. \end{cases} \]
    Решение: Для первого неравенства после преобразований: \[ \frac{x^2 - 4x - 15}{x(x - 3)} < 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -3) \cup (0; \frac{5}{2}) \cup (3; 5) \] Для второго неравенства: \[ x(x + 3)(x - 2)^2 \le 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-3; 0] \cup \{2\} \] Пересечение решений: $x \in [-3; 0) \cup \{2\}$.
    Ответ: $[-3; 0) \cup \{2\}$.

  7. Упростите выражение для функции \[ f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - 2}{2x+2} + x - 1 \] и постройте её график. Укажите все значения, которые функция принимает ровно при одном значении~$x$.
    Решение: После деления числителя на $x + 1$: \[ f(x) = \frac{(x + 1)(x^2 + 2x - 2)}{2(x + 1)} + x - 1 = \frac{x^2 + 2x - 2}{2} + x - 1 = \frac{x^2 + 4x}{2} - 2 = \frac{x^2}{2} + 2x - 2 \] Квадратичная функция с ветвями вверх. Минимум в вершине: $x = -2$, $f(-2) = -4$.
    Ответ: Все значения кроме $y = -4$.

  8. Найдите площадь правильного 12-угольника $ABCDE\ldots$, если длина диагонали $AD$ равна 4.
    Решение: Диагональ $AD$ соединяет вершины через 3 шага. Для правильного 12-угольника радиус описанной окружности $R = 2$. Площадь равна $12 \cdot \frac{1}{2} R^2 \sin(30^\circ) = 24$.
    Ответ: $24$.

  9. В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $BAC$ равна 4. Окружность, построенная на этой биссектрисе как на диаметре, делит стороны $AB$ и $AC$ в отношениях $2:1$ и $1:1$, считая от точки $A$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
    Решение: Пусть окружность пересекает $AB$ в точке $M$ ($AM:MB = 2:1$) и $AC$ в точке $N$ ($AN:NC = 1:1$). Из свойств окружности: $\angle AML = 90^\circ$, $\angle ANL = 90^\circ$. Через подобие треугольников и теорему Пифагора находим $AB = 6$, $AC = 4$. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ) = 6\sqrt{3} \] Ответ: $6\sqrt{3}$.

  10. При каких значениях $k$ сумма корней квадратного уравнения \[ x^2 + (k^2 + 4k - 5)x - k = 0 \] равна 0?
    Решение: По теореме Виета: \[ -(k^2 + 4k - 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 1; -5 \] Проверка дискриминанта: \[ D = (k^2 + 4k - 5)^2 + 4k \ge 0 \] При $k = 1$: $D = 4 \ge 0$. При $k = -5$: $D = -20 < 0$.
    Ответ: $k = 1$.
Материалы школы Юайти