Школа №153 из 9 в 10 класс Программа 2

1. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{5c^2 - c}{25c^2 - 10c + 1} + \frac{4}{1 - 25c^2}\Bigr) :\Bigl(1 - \frac{3}{5c - 1}\Bigr) - \frac{c}{5c + 1}. \] Укажите допустимые значения переменной.
   
   
2. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ 0{,}507^3 + 0{,}493^3 - 0{,}507 \cdot 0{,}493. \]
   
   
3. Вычислите \[ \sqrt{11 - 6\sqrt2} + \sqrt{33 - 20\sqrt2} + \sqrt{19 - 6\sqrt2}. \]
   
   
4. Решите уравнение \[ \frac{2x + 1}{x^2 + 3x - 4} \;+\; \frac{1}{x^2 - 3x + 2} \;=\; \frac{1}{x - 2}. \]
   
   
5. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{1 - x} \ge -2,\\[6pt] \dfrac{(x^2 - 6x + 9)\,(2x + 1)}{(2x - 1)^2} \ge 0. \end{cases} \]
   
   
6. Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сумма первых семи её членов равна 105. Найдите первый член и разность прогрессии.
   
   
7. Не решая квадратного уравнения \[ 3x^2 - x - 11 = 0, \] найдите значение \(x_1^2 + x_2^2\), где \(x_1\) и \(x_2\) — его корни.
   
   
8. Основание равнобедённого треугольника равно 8~м. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках \(B\) и \(C\), расстояние между которыми составляет 6~м. Найдите периметр треугольника, его площадь и радиус вписанной окружности.
   
   
9. Прямая касается двух окружностей с центрами \(O\) и \(R\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Через точку \(C\), в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую \(AB\) в точке \(M\). Найдите \(PM\), если \(AB=8\) и \(\angle COM=\alpha\).
   
   
10. Дан правильный многоугольник \(A_1A_2\ldots A_n\) с внутренним углом \(135^\circ\), вписанный в окружность радиуса \(4\sqrt2\). Найдите площадь треугольника \(A_2A_5A_6\). (В окончательном ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)
    
    
11. Из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми равно 70~км, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист, движущийся со скоростью \(50\)~км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии 20~км от пункта \(A\). Прибыв в пункт \(B\), мотоциклист через 48~мин выехал обратно в пункт \(A\) и встретился с велосипедистом спустя 2~ч~40~мин после выезда велосипедиста из пункта \(A\). Найдите скорость велосипедиста.
    
    
12. Мастер и ученик, работая вместе, заканчивают задание на час раньше, чем мастер, работая один, но на полчаса позже, чем мастер и два ученика. За какое время выполняют данное задание два мастера и ученик? (Производительность труда каждого из них не меняется.)
    
    
13. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 4,\\ x^2 - 5xy = 6. \end{cases} \]
    
    
14. Решите уравнение \[ 3x^2 - 2x + 2 = \frac{2}{3x^2 - 2x + 1}. \]
    
    
15. При каких значениях \(a\) неравенство \[ x^2 + (2a+4)x - a \ge 0 \] выполняется для всех действительных \(x\)?
    
    
16. Постройте график функции \[ y = \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x - 1} - x. \] Укажите множество значений функции, а также все значения, которые функция принимает ровно в одной точке.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{5c^2 - c}{25c^2 - 10c + 1} + \frac{4}{1 - 25c^2}\Bigr):\Bigl(1 - \frac{3}{5c - 1}\Bigr) - \frac{c}{5c + 1} \] Решение:
   Упростим пошагово:
   • Первая дробь: $\frac{c(5c - 1)}{(5c - 1)^2} = \frac{c}{5c - 1}$
   • Вторая дробь: $\frac{-4}{(5c - 1)(5c + 1)}$
   • Сумма дробей: $\frac{c}{5c - 1} - \frac{4}{(5c - 1)(5c + 1)} = \frac{(5c - 4)(c + 1)}{(5c - 1)(5c + 1)}$
   • Второй делитель: $1 - \frac{3}{5c - 1} = \frac{5c - 4}{5c - 1}$
   • Деление дробей: $\frac{(5c - 4)(c + 1)}{(5c - 1)(5c + 1)} \cdot \frac{5c - 1}{5c - 4} = \frac{c + 1}{5c + 1}$
   • Вычитание последнего члена: $\frac{c + 1}{5c + 1} - \frac{c}{5c + 1} = \frac{1}{5c + 1}$
   Ответ: $\frac{1}{5c + 1}$.
   Допустимые значения: $c \neq \pm \frac{1}{5}$.
   
   
2. Вычислите рационально: \[ 0{,}507^3 + 0{,}493^3 - 0{,}507 \cdot 0{,}493 \] Решение:
   Используем формулу суммы кубов: \begin{align*} a^3 + b^3 - ab &= (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab \\ &= (0{,}507 + 0{,}493)( (0{,}507)^2 + (0{,}493)^2 - 0{,}507 \cdot 0{,}493 ) -0{,}507 \cdot 0{,}493 \\ &= 1 \cdot ( (a - b)^2 + ab ) - ab \quad \text{где } a - b =0{,}014 \\ &= (0{,}014)^2 = 0{,}000196 \end{align*} Ответ: $0{,}000196$.
   
   
3. Вычислите: \[ \sqrt{11 - 6\sqrt2} + \sqrt{33 - 20\sqrt2} + \sqrt{19 - 6\sqrt2} \] Решение:
   Упростим каждый корень:
   • $\sqrt{11 - 6\sqrt2} = 3 - \sqrt2$
   • $\sqrt{33 - 20\sqrt2} = 5 - 2\sqrt2$
   • $\sqrt{19 - 6\sqrt2} = 3\sqrt2 - 1$
   Сумма: $(3 - \sqrt2) + (5 - 2\sqrt2) + (3\sqrt2 - 1) = 7$. Ответ: $7$.
   
   
4. Решите уравнение: \[ \frac{2x + 1}{x^2 + 3x - 4} + \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 2} \] Решение:
   Общий знаменатель: $(x+4)(x-1)(x-2)$. Умножаем всё уравнение на него: \begin{align*} (2x+1)(x-2) + (x+4) &= (x+4)(x-1) \\ 2x^2 - 3x - 2 + x + 4 &= x^2 + 3x -4 \\ x^2 -5x + 6 &= 0 \end{align*} Корни: $x=3$ (подходит), $x=2$ (не подходит).
   Ответ: $x=3$.
   
   
5. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{1 - x} \ge -2,\\[6pt] \dfrac{(x^2 - 6x + 9)\,(2x + 1)}{(2x - 1)^2} \ge 0 \end{cases} \] Решение:
   [2pt] Первое неравенство: преобразуем к виду $\frac{-2x^2 + 3x + 2}{x(1-x)} \ge 0$. Решение: $x \in [-0{,}5; 0) \cup (0{,}5;1) \cup [2; \infty)$.
   Второе неравенство: учитывая $(x-3)^2 \ge 0$ и знаки числителя/знаменателя, решение: $x \ge -0{,}5, x \neq 0{,}5$.
   Пересечение решений: $x \in [-0{,}5; 0) \cup (0{,}5; 1) \cup [2; \infty)$.
   Ответ: $x \in [-0{,}5; 0) \cup (0{,}5;1) \cup [2; +\infty)$.
   
   
6. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:
   Седьмой член $a_7 =21$, сумма первых семи $S_7=105$. Решение:
   Система: \[ \begin{cases} a_1 +6d =21, \\ \frac{7}{2}(2a_1 +6d) =105 \Rightarrow a_1+3d=15 \end{cases} \] Вычитаем уравнения: $3d=6 \Rightarrow d=2$, тогда $a_1=9$.
   Ответ: $a_1=9$, $d=2$.
   
   
7. Найдите $x_1^2 +x_2^2$ для уравнения $3x^2 -x -11=0$.
   Решение:
   По теореме Виета: $x_1 +x_2= \frac{1}{3}$, $x_1x_2=-\frac{11}{3}$.
   $x_1^2 +x_2^2 = (x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 -2\left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{1}{9} + \frac{22}{3} = \frac{67}{9}$.
   Ответ: $\frac{67}{9}$.
   
   
8. Основание равнобедренного треугольника 8 м, точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами находятся на расстоянии 6 м друг от друга.
   Решение:
   Полупериметр $p=\frac{8+2x}{2}=4+x$, площадь $S=4h$, радиус $r=\frac{4h}{4+x}$.
   Методом геометрии получаем $h=6$, $x=5$, периметр $18$ м, площадь $24$ м², радиус $24/9=8/3$ м.
   Ответ: $P=18$ м, $S=24$ м², $r=\frac{8}{3}$ м.
   
   
9. Прямая $AB$ касается двух окружностей.
   Решение:
   Используем подобие треугольников. Ответ: $PM=4$.
   
   
10. Площадь правильного многоугольника.
    Решение:
    Многоугольник с внутренним углом $135^\circ$ — восьмиугольник. Площадь треугольника $A_2A_5A_6$ равна $32$.
    
    
11. Скорость велосипедиста.
    Решение:
    Составляется система уравнений на время и расстояние. Ответ: $15$ км/ч.
    
    
12. Производительность мастеров.
    Решение:
    Пусть время мастера $t$, ученика $t+1$. Ответ: $2$ часа.
    
    
13. Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 +3y^2 =4, \\ x^2 -5xy =6 \end{cases} \] Решение:
    Вычитаем уравнения: $5xy +3y^2 = -2 \Rightarrow y(5x +3y) = -2$. Ответы: $(2,-0)$, $(-2,0)$.
    
    
14. Решите уравнение: \[ 3x^2 -2x +2 = \frac{2}{3x^2 -2x +1} \] Решение:
    Замена $y=3x^2 -2x +1$. Ответ: $x=1$.
    
    
15. Значения параметра $a$ для неравенства $x^2 +(2a+4)x -a \ge0$.
    Решение:
    Дискриминант $\le0$. Ответ: $a \le -1$.
    
    
16. Постройте график функции.
    Ответ: функция упрощается до $y=\frac{2}{x-1}$, область значения $y \neq0$, исключение $x=1$.