8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №153 из 9 в 10 класс

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Печать
youit.school ©
Образцы заданий для учащихся 9 классов


  1. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{5c^2 - c}{25c^2 - 10c + 1} + \frac{4}{1 - 25c^2}\Bigr) :\Bigl(1 - \frac{3}{5c - 1}\Bigr) - \frac{c}{5c + 1}. \] Укажите допустимые значения переменной.

  2. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ 0{,}507^3 + 0{,}493^3 - 0{,}507 \cdot 0{,}493. \]

  3. Вычислите \[ \sqrt{11 - 6\sqrt2} + \sqrt{33 - 20\sqrt2} + \sqrt{19 - 6\sqrt2}. \]

  4. Решите уравнение \[ \frac{2x + 1}{x^2 + 3x - 4} \;+\; \frac{1}{x^2 - 3x + 2} \;=\; \frac{1}{x - 2}. \]

  5. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{1 - x} \ge -2,\\[6pt] \dfrac{(x^2 - 6x + 9)\,(2x + 1)}{(2x - 1)^2} \ge 0. \end{cases} \]

  6. Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сумма первых семи её членов равна 105. Найдите первый член и разность прогрессии.

  7. Не решая квадратного уравнения \[ 3x^2 - x - 11 = 0, \] найдите значение \(x_1^2 + x_2^2\), где \(x_1\) и \(x_2\) — его корни.

  8. Основание равнобедённого треугольника равно 8 м. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках \(B\) и \(C\), расстояние между которыми составляет 6~м. Найдите периметр треугольника, его площадь и радиус вписанной окружности.

  9. Прямая касается двух окружностей с центрами \(O\) и \(R\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Через точку \(C\), в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую \(AB\) в точке \(M\). Найдите \(PM\), если \(AB=8\) и \(\angle COM=\alpha\).

  10. Дан правильный многоугольник \(A_1A_2\ldots A_n\) с внутренним углом \(135^\circ\), вписанный в окружность радиуса \(4\sqrt2\). Найдите площадь треугольника \(A_2A_5A_6\). (В окончательном ответе запрещено использовать тригонометрические функции.)

  11. Из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми равно 70 км, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист, движущийся со скоростью \(50\) км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии 20 км от пункта \(A\). Прибыв в пункт \(B\), мотоциклист через 48 мин выехал обратно в пункт \(A\) и встретился с велосипедистом спустя 2 ч 40 мин после выезда велосипедиста из пункта \(A\). Найдите скорость велосипедиста.

  12. Мастер и ученик, работая вместе, заканчивают задание на час раньше, чем мастер, работая один, но на полчаса позже, чем мастер и два ученика. За какое время выполняют данное задание два мастера и ученик? (Производительность труда каждого из них не меняется.)

  13. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 4,\\ x^2 - 5xy = 6. \end{cases} \]

  14. Решите уравнение \[ 3x^2 - 2x + 2 = \frac{2}{3x^2 - 2x + 1}. \]

  15. При каких значениях \(a\) неравенство \[ x^2 + (2a+4)x - a \ge 0 \] выполняется для всех действительных \(x\)?

  16. Постройте график функции \[ y = \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x - 1} - x. \] Укажите множество значений функции, а также все значения, которые функция принимает ровно в одной точке.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{5c^2 - c}{25c^2 - 10c + 1} + \frac{4}{1 - 25c^2}\Bigr):\Bigl(1 - \frac{3}{5c - 1}\Bigr) - \frac{c}{5c + 1} \] Решение:
    Упростим пошагово:
    • Первая дробь: \(\frac{c(5c - 1)}{(5c - 1)^2} = \frac{c}{5c - 1}\)
    • Вторая дробь: \(\frac{-4}{(5c - 1)(5c + 1)}\)
    • Сумма дробей: \(\frac{c}{5c - 1} - \frac{4}{(5c - 1)(5c + 1)} = \frac{(5c - 4)(c + 1)}{(5c - 1)(5c + 1)}\)
    • Второй делитель: \(1 - \frac{3}{5c - 1} = \frac{5c - 4}{5c - 1}\)
    • Деление дробей: \[ \frac{(5c - 4)(c + 1)}{(5c - 1)(5c + 1)} \cdot \frac{5c - 1}{5c - 4} = \frac{c + 1}{5c + 1} \]
    • Вычитание последнего члена: \[ \frac{c + 1}{5c + 1} - \frac{c}{5c + 1} = \frac{1}{5c + 1} \]
    Ответ: \(\frac{1}{5c + 1}\).
    Допустимые значения: \(c \neq \pm \frac{1}{5}\).

  2. Вычислите рационально: \[ 0{,}507^3 + 0{,}493^3 - 0{,}507 \cdot 0{,}493 \] Решение:
    Используем формулу суммы кубов. \[ a^3 + b^3 - ab = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab \] Подставим \(a=0{,}507\), \(b=0{,}493\). Тогда \(a+b=1\), \(a-b=0{,}014\). \[ (a^2 - ab + b^2) = (a-b)^2 + ab \] \[ 1 \cdot \big((a-b)^2 + ab\big) - ab = (0{,}014)^2 = 0{,}000196 \] Ответ: \(0{,}000196\).
  3. Вычислите: \[ \sqrt{11 - 6\sqrt2} + \sqrt{33 - 20\sqrt2} + \sqrt{19 - 6\sqrt2} \] Решение: упростим каждый корень. \[ \sqrt{11 - 6\sqrt2} = 3 - \sqrt2 \] \[ \sqrt{33 - 20\sqrt2} = 5 - 2\sqrt2 \] \[ \sqrt{19 - 6\sqrt2} = 3\sqrt2 - 1 \] Сумма: \[ (3 - \sqrt2) + (5 - 2\sqrt2) + (3\sqrt2 - 1) = 7 \] Ответ: \(7\).
  4. Решите уравнение: \[ \frac{2x + 1}{x^2 + 3x - 4} + \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 2} \] Решение: общий знаменатель \((x+4)(x-1)(x-2)\). Умножаем обе части. \[ (2x+1)(x-2) + (x+4) = (x+4)(x-1) \] \[ 2x^2 - 3x - 2 + x + 4 = x^2 + 3x - 4 \] \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Корни: \(x=3\) (подходит), \(x=2\) (не подходит).
    Ответ: \(x=3\).
  5. Решите систему неравенств: \[ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{1 - x} \ge -2 \] \[ \dfrac{(x^2 - 6x + 9)\,(2x + 1)}{(2x - 1)^2} \ge 0 \] Решение:
    Первое неравенство приводим к виду \[ \frac{-2x^2 + 3x + 2}{x(1-x)} \ge 0 \] Его решение: \[ x \in [-0{,}5; 0) \cup (0{,}5; 1) \cup [2; \infty) \] Второе неравенство (учитывая \((x-3)^2 \ge 0\) и знаки числителя/знаменателя) даёт \[ x \ge -0{,}5,\quad x \neq 0{,}5 \] Пересечение: \[ x \in [-0{,}5; 0) \cup (0{,}5; 1) \cup [2; \infty) \] Ответ: \(x \in [-0{,}5; 0) \cup (0{,}5;1) \cup [2; +\infty)\).
  6. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии.
    Седьмой член \(a_7 = 21\), сумма первых семи \(S_7 = 105\). Решение:
    Система: \[ a_1 + 6d = 21 \] \[ \frac{7}{2}(2a_1 + 6d) = 105 \;\Rightarrow\; a_1 + 3d = 15 \] Вычитаем: \(3d = 6 \Rightarrow d = 2\). Тогда \(a_1 = 9\).
    Ответ: \(a_1 = 9\), \(d = 2\).
  7. Найдите \(x_1^2 + x_2^2\) для уравнения \(3x^2 - x - 11 = 0\).
    Решение: по теореме Виета \(x_1 + x_2 = \tfrac{1}{3}\), \(x_1x_2 = -\tfrac{11}{3}\). \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 2\left(-\tfrac{11}{3}\right) = \tfrac{67}{9} \] Ответ: \(\tfrac{67}{9}\).
  8. Основание равнобедренного треугольника 8 м, точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами находятся на расстоянии 6 м друг от друга.
    Решение: \(p=\tfrac{8+2x}{2}=4+x\), \(S=4h\), \(r=\tfrac{4h}{4+x}\). По геометрическим соотношениям получаем \(h=6\), \(x=5\). Тогда периметр \(18\) м, площадь \(24\) м², радиус \(24/9=8/3\) м.
    Ответ: \(P=18\) м, \(S=24\) м², \(r=\tfrac{8}{3}\) м.
  9. Прямая \(AB\) касается двух окружностей.
    Решение: используем подобие треугольников. Ответ: \(PM=4\).
  10. Площадь правильного многоугольника.
    Решение: многоугольник с внутренним углом \(135^\circ\) — восьмиугольник. Площадь треугольника \(A_2A_5A_6\) равна \(32\).
  11. Скорость велосипедиста.
    Решение: составляется система уравнений на время и расстояние. Ответ: \(15\) км/ч.
  12. Производительность мастеров.
    Решение: пусть время мастера \(t\), ученика \(t+1\). Ответ: \(2\) часа.
  13. Система уравнений: \[ x^2 + 3y^2 = 4 \] \[ x^2 - 5xy = 6 \] Решение: вычитаем уравнения: \(5xy + 3y^2 = -2\), то есть \(y(5x + 3y) = -2\).
    Ответы: \((2,0)\), \((-2,0)\).
  14. Решите уравнение: \[ 3x^2 - 2x + 2 = \frac{2}{3x^2 - 2x + 1} \] Решение: замена \(y = 3x^2 - 2x + 1\). Получаем \(y + 1 = \tfrac{2}{y}\). Далее решаем и проверяем корни.
    Ответ: \(x = 1\).
  15. Значения параметра \(a\) для неравенства \(x^2 + (2a+4)x - a \ge 0\).
    Решение: требуем \(D \le 0\).
    Ответ: \(a \le -1\).
  16. Постройте график функции.
    Ответ: функция упрощается до \(y=\frac{2}{x-1}\), область значений \(y \neq 0\), исключение \(x=1\).
Материалы школы Юайти