Школа №153 из 9 в 10 класс Архив заданий

1. Выполните действия: \[ \frac{ \bigl(1\tfrac{11}{24} + \tfrac{13}{36}\bigr)\cdot1.44 \;-\;\tfrac{8}{15}\cdot0.5625 \;-\;\tfrac{5}{30} }{ \bigl(6\tfrac{7}{12} - 3\tfrac{17}{36}\bigr)\cdot2.5 \;-\;4\tfrac{1}{3}:0.65 }. \]
   
   
2. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ 0,507^3 + 0,493^3 - 0,507\cdot0,493. \]
   
   
3. Вычислите \[ \sqrt{11-6\sqrt2} \;+\;\sqrt{33-20\sqrt2}\;+\;\sqrt{19-6\sqrt2}. \]
   
   
4. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{5c^2 - c}{25c^2 - 10c + 1} + \frac{4}{1 - 25c^2}\Bigr) : \Bigl(1 - \frac{3}{5c - 1}\Bigr) - \frac{c}{5c + 1}. \]
   
   
5. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{\sqrt a}{\sqrt a - 2} - \frac{a}{\sqrt{a^3} + 8} \cdot \frac{a - 2\sqrt a + 4}{\sqrt a - 2}\Bigr) : \frac{8}{a - 4\sqrt a + 4} - \frac{a + \sqrt a + 6}{4\sqrt a + 8}. \]
   
   
6. Решите уравнение \[ \frac{2x+1}{x^2+3x-4} + \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-2}. \]
   
   
7. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{1 - x} \ge -2,\\[6pt] \dfrac{(x^2 - 6x + 9)(2x + 1)}{(2x - 1)^2} \ge 0. \end{cases} \]
   
   
8. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 7, а сумма их квадратов равна 91. Найдите эти числа.
   
   
9. Не решая квадратного уравнения \(3x^2 - x - 11 = 0\), найдите \(x_1^2 + x_2^2\).
   
   
10. Основание равнобедренного треугольника равно 8 м. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках \(B\) и \(C\), расстояние между которыми составляет 6 м. Найдите периметр треугольника, его площадь и радиус данной окружности.
    
    
11. В треугольнике \(ABC\) известны угол \(\angle A = 60^\circ\) и стороны \(AB = 3\) и \(AC = 6\). Найдите косинус угла при вершине \(C\).
    
    
12. Прямая касается двух окружностей с центрами \(O\) и \(P\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Через точку \(C\), в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую \(AB\) в точке \(M\). Найдите \(PM\), если \(AB = 8\) и \(\angle COM = \alpha\).
    
    
13. Найдите расстояние от точки, лежащей на окружности, до прямой, содержащей некоторую её хорду, если расстояния от концов хорды до проведённой через вышеупомянутую точку касательной равны 9 и 16.
    
    
14. Из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми равно 70 км, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист, двигавшийся со скоростью 50 км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста на расстоянии 20 км от пункта \(A\). Прибыв в пункт \(B\), мотоциклист через 48 мин выехал обратно в пункт \(A\) и встретился с велосипедистом спустя 2 ч 40 мин после выезда велосипедиста из пункта \(A\). Найдите скорость велосипедиста.
    
    
15. Мастер и ученик, работая вместе, заканчивают задание на час раньше, чем мастер, работая один, но на полчаса позже, чем мастер и два ученика. За какое время выполняют данное задание два мастера и ученик? (Производительности труда каждого из них не меняются.)
    
    
16. Если двузначное натуральное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же к числу приписать слева 1, то получится трёхзначное число, в 19 раз больше суммы своих цифр. Найдите двузначное число.
    
    
17. Сплав олова с медью массой 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?
    
    
18. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 4,\\ x^2 - 5xy = 6. \end{cases} \]
    
    
19. Решите уравнение \[ 3x^2 - 2x + 2 = \frac{2}{3x^2 - 2x + 1}. \]
    
    
20. При каких значениях \(a\) неравенство \[ x^2 + (2a + 4)x - a \ge 0 \] выполняется для всех действительных значений \(x\)?

Решения задач

1. Выполните действия: \[ \frac{ \bigl(1\tfrac{11}{24} + \tfrac{13}{36}\bigr)\cdot1.44 \;-\;\tfrac{8}{15}\cdot0.5625 \;-\;\tfrac{5}{30} }{ \bigl(6\tfrac{7}{12} - 3\tfrac{17}{36}\bigr)\cdot2.5 \;-\;4\tfrac{1}{3}:0.65 }. \] Решение: Числитель: \[ \left(\frac{35}{24} + \frac{13}{36}\right) \cdot 1.44 - \frac{8}{15} \cdot 0.5625 - \frac{1}{6} = \left(\frac{105 + 26}{72}\right) \cdot \frac{144}{100} - \frac{9}{16} - \frac{1}{6} = \frac{131}{72} \cdot \frac{36}{25} - \frac{83}{48} = \frac{131}{50} - \frac{83}{48} = \frac{366}{100} = 3.66 \] Знаменатель: \[ \left(\frac{79}{12} - \frac{125}{36}\right) \cdot 2.5 - \frac{13}{3} \cdot \frac{20}{13} = \frac{92}{36} \cdot \frac{5}{2} - \frac{20}{3} = \frac{115}{9} - \frac{60}{9} = \frac{55}{9} \approx 6.11 \] Итоговый результат: \[ \frac{3.66}{6.11} \approx 0.6 \] Ответ: 0.6.
   
   
2. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ 0,507^3 + 0,493^3 - 0,507\cdot0,493. \] Решение: \[ a^3 + b^3 - ab = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab = (1)(0.507^2 + 0.493^2 - 0.507 \cdot 0.493) = (0.507 + 0.493)^2 - 3 \cdot 0.507 \cdot 0.493 = 1 - 3 \cdot 0.250 = 0.25 \] Ответ: 0.25.
   
   
3. Вычислите \[ \sqrt{11-6\sqrt2} \;+\;\sqrt{33-20\sqrt2}\;+\;\sqrt{19-6\sqrt2}. \] Решение: \[ \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5-2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(4-\sqrt{2})^2} = (3-\sqrt{2}) + (5-2\sqrt{2}) + (4-\sqrt{2}) = 12 - 4\sqrt{2} \] Ответ: \(12 - 4\sqrt{2}\).
   
   
4. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{5c^2 - c}{25c^2 - 10c + 1} + \frac{4}{1 - 25c^2}\Bigr) : \Bigl(1 - \frac{3}{5c - 1}\Bigr) - \frac{c}{5c + 1}. \] Решение: \[ \left[\frac{c(5c-1)}{(5c-1)^2} + \frac{4}{(1-5c)(1+5c)}\right] : \left(\frac{5c-4}{5c-1}\right) - \frac{c}{5c+1} = \left[\frac{c}{5c-1} - \frac{4}{(5c-1)(5c+1)}\right] \cdot \frac{5c-1}{5c-4} - \frac{c}{5c+1} = \frac{c(5c+1)-4}{(5c+1)(5c-4)} - \frac{c}{5c+1} = \frac{5c^2 + c - 4 - c(5c-4)}{(5c+1)(5c-4)} = \frac{5c^2 + c -4 -5c^2 +4c}{(5c+1)(5c-4)} = \frac{5c-4}{(5c+1)(5c-4)} = \frac{1}{5c+1} \] Ответ: \(\frac{1}{5c+1}\).
   
   
5. Решите уравнение \[ \frac{2x+1}{x^2+3x-4} + \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-2}. \] Решение: \[ \frac{2x+1}{(x+4)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} \] Общий знаменатель: \((x+4)(x-1)(x-2)\) \[ (2x+1)(x-2) + (x+4) = (x+4)(x-1) \] \[ 2x^2-3x-2 + x+4 = x^2+3x-4 \] \[ x^2 -x +6 =0 \Rightarrow D = 1-24 <0 \] Ответ: корней нет.
   
   
6. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{1 - x} \ge -2,\\[6pt] \dfrac{(x^2 - 6x + 9)(2x + 1)}{(2x - 1)^2} \ge 0. \end{cases} \] Решение: 1 неравенство: \[ \frac{2(1-x) +3x +2x(1-x)}{x(1-x)} \ge 0 \Rightarrow \frac{-2x^2 +7x +2}{x(1-x)} \ge 0 \] Корни числителя: \(x_1 ≈ -0.25\), \(x_2 ≈ 3.5\). Решение: \(x ∈ (-∞; -0.25] ∪ (0;1) ∪ [3.5; +∞)\). 2 неравенство: \[ \frac{(x-3)^2(2x+1)}{(2x-1)^2} \ge 0 ⇒ x ∈ [-0.5; 0.5) ∪ [3; +∞) \] Пересечение: \(x ∈ [-0.5; -0.25] ∪ [3.5; +∞)\) Ответ: \(x ∈ [-0.5; -0.25] ∪ [3.5; +∞)\).
   
   
7. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 7, а сумма их квадратов равна 91. Найдите эти числа. Решение: \[ \begin{cases} a + ar + ar^2 =7 \\ a^2 +a^2r^2 +a^2r^4 =91 \end{cases} \] Подстановкой: \(a=1\), \(r=2\): числа 1,2,4. Ответ: 1,2,4.
   
   
8. Найдите расстояние от точки, лежащей на окружности, до прямой, содержащей некоторую её хорду, если расстояния от концов хорды до проведённой через вышеупомянутую точку касательной равны 9 и 16. Решение: По свойству касательной: \(d = \sqrt{9 \cdot 16} =12\). Ответ: 12.
   
   
9. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 4,\\ x^2 - 5xy = 6. \end{cases} \] Решение: Вычитаем уравнения: \(3y^2 +5xy =-2\). Подставляем \(y= kx\): \(3k^2x^2 +5kx^2 =-2\). Совместно с первым уравнением: \(x^2(1+3k^2)=4\). Решаем относительно k и находим решения: \((-2, \frac{2}{3})\), \((3, -1)\). Ответ: \((-2, \frac{2}{3})\), \((3, -1)\).