Школа №153 из 9 в 10 класс 2023 Вариант 1

1. Упростите выражение и вычислите его для заданных значений: \[ \frac{2b + a - \dfrac{4a^2 - b^2}{a}} {b^3 + 2a b^2 - 3a^2 b} : \frac{a^2 - b^2}{a^3 b - 2a^2 b^2 + a b^3}, \quad a = 0{,}25,\; b = 0{,}75. \]
   
   
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \[ \frac{5}{\sqrt5 - \sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{40} - \sqrt{80}}. \]
   
   
3. Найдите отношение восьмого и седьмого членов арифметической прогрессии, у которой двадцатый член в семь раз больше третьего.
   
   
4. Из Дюртюлей в Нефтекамск выехал грузовик. Через час из Дюртюлей выехал мотороллер, который ещё через два часа догнал грузовик и прибыл в Нефтекамск на 3~ч раньше грузовика. Сколько часов грузовик ехал из Дюртюлей в Нефтекамск?
   
   
5. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание относится к боковой стороне как $4:3$. Найдите радиус вписанного круга.
   
   
6. Две окружности радиусами 1 и 9 касаются внешним образом. $AB$ — их общая внешняя касательная (точки касания $A$ и $B$). Найдите длину отрезка $AB$.
   
   
7. Найдите все такие значения параметра $a$, при которых уравнение \[ (a-2)x^2 - 2ax + 2a - 3 = 0 \] имеет два различных корня одного знака.
   
   
8. Постройте график функции \[ y = \frac{2x + 1}{2x^2 + x} \] и определите, при каких значениях параметра $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
   
   
9. Обезьяна становится счастливой, когда съедает три разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов?

Решения задач

1. Упростите выражение и вычислите его для заданных значений: \[ \frac{2b + a - \dfrac{4a^2 - b^2}{a}} {b^3 + 2a b^2 - 3a^2 b} : \frac{a^2 - b^2}{a^3 b - 2a^2 b^2 + a b^3}, \quad a = 0{,}25,\; b = 0{,}75. \] Решение: Упростим выражение по действиям:
   1. Преобразуем числитель первой дроби: \vspace{-5pt} \[ 2b + a - \frac{4a^2 - b^2}{a} = \frac{2ab + a^2 - 4a^2 + b^2}{a} = \frac{-3a^2 + 2ab + b^2}{a}. \] Разложим на множители: \[ -3a^2 + 2ab + b^2 = (b - a)(b + 3a). \]
   2. Знаменатель первой дроби: \[ b^3 + 2ab^2 - 3a^2b = b(b^2 + 2ab - 3a^2) = b(b - a)(b + 3a). \]
   3. Первая дробь: \[ \frac{(b - a)(b + 3a)/a}{b(b - a)(b + 3a)} = \frac{1}{ab}. \]
   4. Вторая дробь: \[ \frac{a^2 - b^2}{a^3b - 2a^2b^2 + ab^3} = \frac{(a - b)(a + b)}{ab(a - b)^2} = \frac{a + b}{ab(a - b)}. \]
   5. Частное дробей: \[ \frac{1}{ab} : \frac{a + b}{ab(a - b)} = \frac{1}{ab} \cdot \frac{ab(a - b)}{a + b} = \frac{a - b}{a + b}. \]
   Подставляем значения: \[ a = 0,25 = \frac{1}{4}, \ b = 0,75 = \frac{3}{4}, \] \[ \frac{0,25 - 0,75}{0,25 + 0,75} = \frac{-0,5}{1} = -0,5. \] Ответ: \(-0,5\).
   
   
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \[ \frac{5}{\sqrt5 - \sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{40} - \sqrt{80}}. \] Решение: Упростим знаменатель, заменяя корни: \[ \sqrt{20} = 2\sqrt{5},\quad \sqrt{40} = 2\sqrt{10},\quad \sqrt{80} = 4\sqrt{5}. \] Подставим: \[ \sqrt{5} - \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} - 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) + (-\sqrt{10} + 2\sqrt{10}) = -\sqrt{5} + \sqrt{10} = \sqrt{10} - \sqrt{5}. \] Задача свелась к упрощению: \[ \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}} = \frac{5(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{(\sqrt{10} - \sqrt{5})(\sqrt{10} + \sqrt{5})} = \frac{5(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{10 - 5} = \sqrt{10} + \sqrt{5}. \] Ответ: \(\sqrt{10} + \sqrt{5}\).
   
   
3. Найдите отношение восьмого и седьмого членов арифметической прогрессии, у которой двадцатый член в семь раз больше третьего.
   Решение: Пусть \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность. По условию: \[ a_{20} = 7a_3 \Rightarrow a_1 + 19d = 7(a_1 + 2d). \] Упрощаем: \[ a_1 + 19d = 7a_1 + 14d \Rightarrow 5d = 6a_1 \Rightarrow a_1 = \frac{5d}{6}. \] Найдём \(a_8\) и \(a_7\): \[ a_8 = a_1 + 7d = \frac{5d}{6} + 7d = \frac{47d}{6}, \quad a_7 = \frac{5d}{6} + 6d = \frac{41d}{6}. \] Отношение: \[ \frac{a_8}{a_7} = \frac{47d/6}{41d/6} = \frac{47}{41}. \] Ответ: \(\frac{47}{41}\).
   
   
4. Из Дюртюлей в Нефтекамск выехал грузовик. Через час из Дюртюлей выехал мотороллер, который ещё через два часа догнал грузовик и прибыл в Нефтекамск на 3~ч раньше грузовика. Сколько часов грузовик ехал из Дюртюлей в Нефтекамск?
   Решение: Пусть \(V\) — скорость грузовика, \(U\) — скорость мотороллера, \(S\) — расстояние. В момент обгона: \[ 3V = 2U \Rightarrow U = \frac{3V}{2}. \] Время движения грузовика: \(T = \frac{S}{V}\). Время мотороллера: \(T - 4 = \frac{S}{U}\), так как он выехал на 1 час позже и прибыл на 3 часа раньше. Учитывая \(U\): \[ T - 4 = \frac{S}{3V/2} = \frac{2S}{3V} = \frac{2T}{3}. \] Решаем уравнение: \[ T - 4 = \frac{2T}{3} \Rightarrow \frac{T}{3} = 4 \Rightarrow T = 12 \text{ часов}. \] Ответ: \(12\).
   
   
5. В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание относится к боковой стороне как \(4:3\). Найдите радиус вписанного круга.
   Решение: Основание \(4x\), боковая сторона \(3x\). Половина основания: \(2x\). По теореме Пифагора: \[ (3x)^2 = (2x)^2 + 20^2 \Rightarrow 9x^2 = 4x^2 + 400 \Rightarrow x^2 = 80 \Rightarrow x = 4\sqrt{5}. \] Периметр: \[ P = 4x + 2 \cdot 3x = 10x = 40\sqrt{5}. \] Полупериметр \(p = 20\sqrt{5}\). Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4x \cdot 20 = 40x = 160\sqrt{5}. \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{160\sqrt{5}}{20\sqrt{5}} = 8. \] Ответ: \(8\).
   
   
6. Две окружности радиусами 1 и 9 касаются внешним образом. \(AB\) — их общая внешняя касательная (точки касания \(A\) и \(B\)). Найдите длину отрезка \(AB\).
   Решение: Расстояние между центрами \(O_1O_2 = 1 + 9 = 10\). Отрезок внешней касательной: \[ AB = \sqrt{O_1O_2^2 - (R - r)^2} = \sqrt{10^2 - (9 - 1)^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6. \] Ответ: \(6\).
   
   
7. Найдите все такие значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ (a-2)x^2 - 2ax + 2a - 3 = 0 \] имеет два различных корня одного знака.
   Решение: Условия:
   1. Дискриминант \(>0\): \[ (-2a)^2 - 4(a-2)(2a-3) > 0 \Rightarrow 4a^2 -4(2a^2 -7a +6) >0 \Rightarrow -4a^2 +28a -24 >0 \Rightarrow a \in (1; 6). \]
   2. Произведение корней \(>0\): \[ \frac{2a -3}{a-2} >0 \Rightarrow a \in (-\infty; 1,5) \cup (2; +\infty). \]
   3. Исключить \(a \neq2\).
   Пересечение условий: \[ a \in (1; 1,5) \cup (2; 6). \] Ответ: \(a \in (1; 1,5) \cup (2; 6)\).
   
   
8. Постройте график функции \[ y = \frac{2x + 1}{2x^2 + x} \] и определите, при каких значениях параметра \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
   Решение: Функция упрощается до \(y = \frac{1}{x}\) с исключениями \(x \neq -0,5\) и \(x \neq 0\). Прямая \(y = kx\) пересекается с графиком при: \[ kx = \frac{1}{x} \Rightarrow kx^2 = 1. \] Единственное решение при \(k = 4\), т.к. при \(k =4\) решение \(x = 0,5\) допустимо, а \(x = -0,5\) исключено. В остальных случаях уравнение имеет ноль или два решения. Ответ: \(k = 4\).
   
   
9. Обезьяна становится счастливой, когда съедает три разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов?
   Решение: Максимально возможное количество наборов из трёх разных фруктов ограничено минимальным из:
   • Наборы с грушей: 20.
   • Затем наборы без груш: из оставшихся бананов (10), персиков (20), мандаринов (50) — 10 наборов.
   Итого: \(20 + 10 = 30\). Ответ: \(30\).