Школа №153 из 8 в 9 класс Вариант 7

1. Выполните действия: \[ \frac{0,125:0,25 + 1\tfrac{9}{16}:2,5} {(10 - 22:2,3)\cdot0,46 + 1,6} +\bigl(\tfrac{17}{20} + 1,9\bigr)\cdot0,5. \]
   
   
2. Вычислите \[ \sqrt{4 - 2\sqrt3} - \sqrt{4 + 2\sqrt3} - 2\sqrt7 + 4\sqrt3. \]
   
   
3. Решите уравнение \[ \frac{5}{x^2 - 3x} \;-\; \frac{1}{x - 3} = \frac{12}{x^3 - 9x}. \]
   
   
4. В 11-значном числе \(601183744**\) две неизвестные цифры обозначены звёздочками. Восстановите их, зная, что число без остатка делится на 45. Ответ обоснуйте.
   
   
5. Первая сеялка может засеять поле за 6 часов, а вторая — за 80% этого времени. Вторая сеялка приступила к работе спустя некоторое время после того, как начала работать первая. Затем они вместе закончили работу за два часа. На сколько минут позже первой сеялки вторая приступила к работе?
   
   
6. В прямоугольном треугольнике DHE, \(\angle H = 90^\circ\). \(HM\) — высота, проведённая к \(DE\), \(DM = 8\), \(ME = 2\). Найдите тангенс угла \(D\).
   
   
7. В равнобеденной трапеции МРКН (\(МН\parallel РК\)) диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна 8~см. Расстояние от вершины \(M\) до прямой \(KN\) в два раза больше, чем расстояние от вершины \(Р\) до этой прямой. Найдите основания трапеции.
   
   
8. Хозяйка расставляла банки с вареньем, поровну на каждую полку. Впоследствии её супруг возмутился, что все полки заняты, и ей пришлось освободить три из них, в силу чего на каждую из оставшихся полок было поставлено на \(\tfrac{1}{3}\) больше число банок, чем изначально. При этом 4 банки так никуда и не поместились. Найдите все возможные варианты количества банок у хозяйки.

Решения задач

1. Выполните действия: \[ \frac{0,125:0,25 + 1\tfrac{9}{16}:2,5} {(10 - 22:2,3)\cdot0,46 + 1,6} +\left(\tfrac{17}{20} + 1,9\right)\cdot0,5 \]
   Решение: Упростим числитель и знаменатель дроби: \[ \frac{0,5 + \frac{25}{16} \cdot \frac{2}{5}}{\left(10 - \frac{220}{23}\right) \cdot \frac{23}{50} + 1,6} = \frac{0,5 + 0,625}{\left(10 - 9,5652\right) \cdot 0,46 + 1,6} = \frac{1,125}{1,8} = 0,625 \] Вторая часть выражения: \[ \left(0,85 + 1,9\right) \cdot 0,5 = 2,75 \cdot 0,5 = 1,375 \] Итог: \[ 0,625 + 1,375 = 2 \]
   Ответ: 2.
2. Вычислите: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt3} - \sqrt{4 + 2\sqrt3} - 2\sqrt7 + 4\sqrt3 \]
   Решение: Преобразуем корни: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt3} = \sqrt3 - 1, \quad \sqrt{4 + 2\sqrt3} = \sqrt3 + 1 \] Подставляем: \[ (\sqrt3 -1) - (\sqrt3 +1) -2\sqrt7 +4\sqrt3 = -2 -2\sqrt7 +4\sqrt3 \]
   Ответ: \(4\sqrt{3} - 2\sqrt{7} - 2\).
3. Решите уравнение: \[ \frac{5}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x - 3} = \frac{12}{x^3 - 9x} \]
   Решение: Разложим знаменатели: \[ x^2 -3x = x(x-3), \quad x^3 -9x =x(x-3)(x+3) \] Умножим все части на \(x(x-3)(x+3)\): \[ 5(x+3) -x(x+3) =12 \implies -x^2 +2x +3=0 \implies x^2-2x-3=0 \] Корни: \[ x =3 \text{ (не подходит)}, \quad x=-1 \]
   Ответ: \(-1\).
4. Восстановите цифры в числе \(601183744**\), чтобы оно делилось на 45.
   Решение: Делимость на 5: последняя цифра 0 или 5. Делимость на 9: сумма цифр кратна 9.
   Сумма известных цифр: 34. Возможные варианты: \[ ** =20 \quad (\text{сумма }36) \quad \text{или} \quad 65 \quad (\text{сумма }45) \]
   Ответ: 20 или 65.
5. Время работы сеялок.
   Решение: Производительности: \( \frac{1}{6} \) (первая), \( \frac{5}{24} \) (вторая). Пусть вторая начала работать через \(t\) часов после первой: \[ \frac{t + 2}{6} + \frac{2 \cdot 5}{24} =1 \implies t = 1,5 \text{ ч} = 90 \text{ мин} \]
   Ответ: 90.
6. Найдите тангенс угла \(D\) в треугольнике DHE.
   Решение: Из свойств прямоугольного треугольника с высотой \(HM\): \[ DH =4\sqrt5, \quad HE =2\sqrt5, \quad \tan D = \frac{HE}{DH} = \frac{1}{2} \]
   Ответ: \(0,5\).
7. Основания трапеции.
   Решение: Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями: \[ a + b =16 \text{ (из свойства)}, \quad a = \frac{32}{3}, \quad b = \frac{16}{3} \]
   Ответ: \(\frac{32}{3}\) см и \(\frac{16}{3}\) см.
8. Количество банок.
   Решение: Изначальное количество полок \(N\), банок на полке \(x = \frac{12}{12 -N}\). Условие: \[ Nx - \frac{4x}{3}(N-3) =4 \implies x =3k \implies S =24, 60, 132 \]
   Ответ: 24, 60, 132.