Школа №153 из 8 в 9 класс Вариант 6

1. Вычислить \[ \left( \frac{3\tfrac{1}{3} + 2{,}5}{2{,}5 - 1\tfrac{1}{3}} \cdot \frac{4{,}6 - 2\tfrac{1}{3}}{4{,}6 + 2\tfrac{1}{3}} \cdot 5{,}2 \right) \;\colon\; \left( \frac{0{,}05}{\tfrac{1}{7} - 0{,}125} + 5{,}7 \right). \]
   
   
2. Упростить \[ \biggl( \frac{2}{b - \sqrt{ab}} + \frac{2}{b + \sqrt{ab}} \biggr) \cdot \Bigl( a + \frac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{a}} \Bigr) \;\colon\; \Bigl( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \Bigr). \]
   
   
3. Решите уравнение \[ \frac{1}{3 + 2x} \;-\; \frac{4x^2 - 15}{4x^2 - 9} \;=\; \frac{1}{3 - 2x}. \]
   
   
4. Не решая уравнения \(4x^2 - x - 6 = 0\), найдите значение выражения \[ x_1x_2 \;-\; x_1^3 \;-\; x_2^3, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни данного уравнения.
   
   
5. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) отправился скорый поезд. Одновременно ему навстречу из \(B\) в \(A\) вышел товарный поезд, который встретился со скорым через \(\tfrac{2}{3}\) часа после отправления. Расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(80\) км, поезда двигались с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый поезд, если \(40\) км он шёл на \(\tfrac{3}{8}\) часа дольше, чем товарный поезд шёл \(5\) км?
   
   
6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен \(15\) см, а проекция другого катета на гипотенузу равна \(16\) см. Найдите периметр и площадь треугольника.
   
   
7. Докажите неравенство \[ \frac{5a}{3b} \;+\; \frac{12b}{5a} \;\ge\; 4 \quad (a\text{ и }b\text{ одного знака}). \]
   
   
8. Из деталей двух видов делают 7-местные и 12-местные клетки для животных. На одну 7-местную клетку используется 7 деталей первого вида и 3 второго, а на одну 12-местную — 12 и 5 деталей соответственно. Найдите наибольшее суммарное количество мест, которое можно создать из 155 деталей первого вида и 62 деталей второго.

Решения задач

1. Вычислить \[ \left( \frac{3\tfrac{1}{3} + 2{,}5}{2{,}5 - 1\tfrac{1}{3}} \cdot \frac{4{,}6 - 2\tfrac{1}{3}}{4{,}6 + 2\tfrac{1}{3}} \cdot 5{,}2 \right) \;\colon\; \left( \frac{0{,}05}{\tfrac{1}{7} - 0{,}125} + 5{,}7 \right) \]
   Решение:
   Переведем смешанные дроби:
   $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$; $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
   1) Первая дробь:
   $\frac{\frac{10}{3} + 2,5}{2,5 - \frac{4}{3}} = \frac{\frac{10}{3} + \frac{5}{2}}{\frac{5}{2} - \frac{4}{3}} = \frac{\frac{35}{6}}{\frac{7}{6}} = 5$
   2) Вторая дробь:
   $\frac{4,6 - \frac{7}{3}}{4,6 + \frac{7}{3}} = \frac{\frac{69}{15} - \frac{35}{15}}{\frac{69}{15} + \frac{35}{15}} = \frac{\frac{34}{15}}{\frac{104}{15}} = \frac{34}{104} = \frac{17}{52}$
   3) Упрощаем первую часть: $5 \cdot \frac{17}{52} \cdot 5,2 = 5 \cdot \frac{17}{52} \cdot \frac{26}{5} = 17$
   4) Вторая часть (знаменатель):
   $\frac{0,05}{\frac{1}{7} - 0,125} = \frac{0,05}{\frac{1}{7} - \frac{1}{8}} = \frac{0,05}{\frac{1}{56}} = 0,05 \cdot 56 = 2,8$
   Весь знаменатель: $2,8 + 5,7 = 8,5$
   Ответ: $17 : 8,5 = 2$.
   
   
2. Упростить \[ \biggl( \frac{2}{b - \sqrt{ab}} + \frac{2}{b + \sqrt{ab}} \biggr) \cdot \Bigl( a + \frac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{a}} \Bigr) \;\colon\; \Bigl( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \Bigr) \]
   Решение:
   [0.5cm] 1) Сумма дробей:
   $\frac{2(b + \sqrt{ab}) + 2(b - \sqrt{ab})}{b^2 - ab} = \frac{4b}{b(b - a)} = \frac{4}{b - a}$
   [0.3cm] 2) Вторая скобка:
   $a + \frac{b^{1,5}}{a^{0,5}} = a + b^{1,5}a^{-0,5} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + \frac{b^{1,5}}{a})$. \
   Однако лучше привести к общему множителю:
   $a + \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a}}$
   [0.3cm] 3) Знаменатель:
   $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = 1 - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$
   Приведем к общему знаменателю:
   $\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + \sqrt{a}\sqrt{b}}{a - b} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b + \sqrt{ab}}{a - b} = \frac{a - \sqrt{ab} + b}{a - b}$
   Объединяем все части:
   $\left(\frac{4}{b - a} \cdot \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a}}\right) : \frac{a - \sqrt{ab} + b}{a - b}$
   Сокращаем и упрощаем:
   $\frac{4(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}} \cdot \frac{a - b}{-(a - b)} = -\frac{4(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}} = -\frac{4(a + \sqrt{ab})}{a}$
   Ответ: $-4\left(1 + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right)$
   
   
3. Решите уравнение \[ \frac{1}{3 + 2x} \;-\; \frac{4x^2 - 15}{4x^2 - 9} \;=\; \frac{1}{3 - 2x} \]
   Решение:
   ОДЗ: $x \neq \pm\frac{3}{2}$
   Приведем к общему знаменателю $(3+2x)(3-2x)$:
   $\frac{3 - 2x - (4x^2 - 15)}{4x^2 - 9} = \frac{(3 - 2x) - (4x^2 - 15)}{4x^2 - 9} = \frac{-4x^2 - 2x + 18}{4x^2 - 9} = \frac{1}{3 - 2x}$
   Перепишем уравнение:
   $-4x^2 - 2x + 18 = \frac{4x^2 - 9}{3 - 2x} \cdot 1$
   Умножим на $(3 - 2x)$:
   $(-4x^2 - 2x + 18)(3 - 2x) = 4x^2 - 9$
   Раскроем скобки:
   $-12x^2 + 8x^3 - 6x + 4x^2 + 54 - 36x = 4x^2 - 9$
   Упростим:
   $8x^3 - 8x^2 - 42x + 54 = 4x^2 - 9$
   $8x^3 - 12x^2 - 42x + 63 = 0$
   Факторизуем:
   $(8x^3 - 12x^2) + (-42x + 63) = 0$
   $4x^2(2x - 3) - 21(2x - 3) = 0$
   $(2x - 3)(4x^2 - 21) = 0$
   Корни: $x = \frac{3}{2}$ (не входит в ОДЗ), $x = \pm\frac{\sqrt{21}}{2}$
   Ответ: $x = \pm\frac{\sqrt{21}}{2}$
   
   
4. Не решая уравнения \(4x^2 - x - 6 = 0\), найдите значение выражения \[ x_1x_2 \;-\; x_1^3 \;-\; x_2^3, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни данного уравнения.
   Решение:
   По теореме Виета: $x_1 + x_2 = \frac{1}{4}$; $x_1x_2 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$
   Преобразуем выражение:
   $x_1x_2 - (x_1^3 + x_2^3) = x_1x_2 - [(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)]$
   Подставляем:
   $-\frac{3}{2} - \left[\left(\frac{1}{4}\right)^3 - 3 \cdot (-\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{4}\right] = -\frac{3}{2} - \left[\frac{1}{64} + \frac{9}{8}\right] = -\frac{3}{2} - \frac{73}{64} = -\frac{96}{64} - \frac{73}{64} = -\frac{169}{64}$
   Ответ: $-\frac{169}{64}$
   
   
5. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) отправился скорый поезд. Одновременно ему навстречу из \(B\) в \(A\) вышел товарный поезд, который встретился со скорым через \(\tfrac{2}{3}\) часа после отправления. Расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(80\) км, поезда двигались с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый поезд, если \(40\) км он шёл на \(\tfrac{3}{8}\) часа дольше, чем товарный поезд шёл \(5\) км?
   Решение:
   Пусть $v$ — скорость скорого, $u$ — товарного.
   По времени встречи: $\frac{2}{3}(v + u) = 80 \Rightarrow v + u = 120$ км/ч
   По дополнительному условию:
   $\frac{40}{v} - \frac{5}{u} = \frac{3}{8}$
   Заменяем $u = 120 - v$:
   $\frac{40}{v} - \frac{5}{120 - v} = \frac{3}{8}$
   Умножаем на $8v(120 - v)$:
   $8 \cdot 40 \cdot (120 - v) - 8 \cdot 5v = 3v(120 - v)$
   $320(120 - v) - 40v = 360v - 3v^2$
   $38400 - 320v - 40v - 360v + 3v^2 = 0$
   $3v^2 - 720v + 38400 = 0$
   Делим на 3: $v^2 - 240v + 12800 = 0$
   Дискриминант: $240^2 - 4 \cdot 12800 = 57600 - 51200 = 6400 = 80^2$
   Корни: $v = \frac{240 \pm 80}{2} = 160$ или $80$ км/ч
   Проверка: Если $v = 160$, то $u = -40$ (неподходит) Если $v = 80$, то $u = 40$: $40/(80) - 5/40 = 0.5 - 0.125 = 0.375 = 3/8$ верно
   Ответ: 80 км/ч
   
   
6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен \(15\) см, а проекция другого катета на гипотенузу равна \(16\) см. Найдите периметр и площадь треугольника.
   Решение:
   Обозначим катеты $a = 15$, $b$; гипотенуза $c$.
   По свойству проекций: $b^2 = c \cdot 16$, и $15^2 = c \cdot (c - 16)$
   Уравнение: $225 = c^2 - 16c$
   $c^2 -16c -225 = 0$
   Дискриминант: $256 + 900 = 1156 = 34^2$
   $c = \frac{16 \pm 34}{2} = 25$ (отрицательный корень отбрасываем)
   Тогда второй катет $b = \sqrt{25 \cdot 16} = 20$
   Периметр: $15 + 20 + 25 = 60$ см
   Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см²
   Ответ: 60 см; 150 см²
   
   
7. Докажите неравенство \[ \frac{5a}{3b} \;+\; \frac{12b}{5a} \;\ge\; 4 \quad (a\text{ и }b\text{ одного знака}) \]
   Доказательство:
   Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
   $\frac{\frac{5a}{3b} + \frac{12b}{5a}}{2} \ge \sqrt{\frac{5a}{3b} \cdot \frac{12b}{5a}} = \sqrt{\frac{60ab}{15ab}} = \sqrt{4} = 2$
   Умножаем обе части на 2:
   $\frac{5a}{3b} + \frac{12b}{5a} \ge 4$
   Равенство достигается при $\frac{5a}{3b} = \frac{12b}{5a} \Rightarrow 25a^2 = 36b^2 \Rightarrow 5a = 6b$
   
   
8. Из деталей двух видов делают 7-местные и 12-местные клетки для животных. На одну 7-местную клетку используется 7 деталей первого вида и 3 второго, а на одну 12-местную — 12 и 5 деталей соответственно. Найдите наибольшее суммарное количество мест, которое можно создать из 155 деталей первого вида и 62 деталей второго.
   Решение:
   Пусть $x$ — количество 7-местных клеток, $y$ — 12-местных.
   Система ограничений: \[ \begin{cases} 7x + 12y \le 155 \\ 3x + 5y \le 62 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases} \]
   Целевая функция: $f = 7x + 12y \rightarrow max$
   Решение методом целочисленного программирования:
   Ищем $y_{max}$ из второго ограничения:
   $5y \le 62 \Rightarrow y \le 12,4 \Rightarrow y \le 12$
   При $y = 12$:
   $3x \le 62 - 60 = 2 \Rightarrow x = 0$
   Мест: $12 \cdot 12 = 144$
   При $y = 11$:
   $3x \le 62 - 55 = 7 \Rightarrow x = 2$
   Используется деталей первого вида: $7*2 + 12*11 = 14 + 132 = 146 \le 155$
   Мест: $7*2 + 12*11 = 14 + 132 = 146$
   При $y = 12$: мест меньше (144)
   Проверяем $y=10$:
   $3x \le 62 - 50 =12 \Rightarrow x =4$
   Деталей первого вида: $7*4 + 12*10 = 28 + 120 =148 \le 155$
   Мест: $7*4 +12*10 = 28 + 120 =148 < 146$ — не лучше предыдущего
   Ответ: 146 мест (y=11, x=2)