8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №153 из 8 в 9 класс вариант 5

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Печать
youit.school ©
Вариант 5


  1. Вычислить \[ \frac{ 0{,}4 + 8\bigl(5 - 0{,}8\cdot\tfrac{5}{8}\bigr) \;-\; 5 : 2\tfrac{1}{2} }{ \bigl(1\tfrac{7}{8}\cdot 8 \;-\; (8{,}9 - 2{,}6 : \tfrac{2}{3})\bigr) \;\cdot\;34\tfrac{2}{5} } \;\cdot\;10. \]

  2. Упростить выражение \[ \biggl( \frac{\sqrt a + \sqrt b}{a - \sqrt{ab} + b} \;-\; \frac{1}{\sqrt a + \sqrt b} \biggr) : \biggl( \frac{2a + b}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}} \;-\; \frac{2\sqrt a + \sqrt b}{a - \sqrt{ab} + b} \biggr) + b. \]

  3. Решите уравнение \[ \frac{2}{5 + x} \;-\; \frac{x^2 - 45}{x^2 - 25} \;=\; \frac{2}{5 - x}. \]

  4. Не решая уравнения \(3x^2 + 13x - 1 = 0\), найдите значение выражения \[ 9\bigl(x_1^2 + x_2^2\bigr) \;-\; 3x_1x_2, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни данного уравнения.

  5. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу: один из пункта \(A\) в пункт \(B\), другой — из \(B\) в \(A\). После встречи один из них находился в пути ещё 2 ч, а другой — \(9/8\) ч. Определите скорости автомобилей, если расстояние между \(A\) и \(B\) равно \(210\) км.

  6. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как \(3:2\), а высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, один из которых на 2 см больше другого. Определите длину гипотенузы.

  7. Докажите неравенство \[ (a + b)\Bigl(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b}\Bigr) \ge 4 \quad (a>0,\; b>0). \]

  8. Из деталей двух видов делают 5-местные и 11-местные клетки для животных. На одну 5-местную клетку используется 5 деталей первого вида и 4 второго, а на одну 11-местную — 11 и 9 деталей соответственно. Найдите наибольшее суммарное количество мест, которое можно создать из 125 деталей первого вида и 95 деталей второго.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить \[ \frac{ 0{,}4 + 8\bigl(5 - 0{,}8\cdot\tfrac{5}{8}\bigr) - 5 : 2\tfrac{1}{2} }{ \bigl(1\tfrac{7}{8}\cdot 8 \;-\; (8{,}9 - 2{,}6 : \tfrac{2}{3})\bigr) \cdot34\tfrac{2}{5} } \cdot10. \]
    Решение:
    1. Числитель: \[ 0{,}4 + 8\left(5 - 0{,}8 \cdot \tfrac{5}{8}\right) - \frac{5}{2\tfrac{1}{2}} \] \[ 0{,}8 \cdot \tfrac{5}{8} = 0{,}5 \quad \Rightarrow \quad 5 - 0{,}5 = 4{,}5 \] \[ 8 \cdot 4{,}5 = 36 \quad \Rightarrow \quad 0{,}4 + 36 = 36{,}4 \] \[ \frac{5}{2\tfrac{1}{2}} = 2 \quad \Rightarrow \quad 36{,}4 - 2 = 34{,}4 \]
    2. Знаменатель: \[ \left(1\tfrac{7}{8} \cdot 8 - \left(8{,}9 - 2{,}6 : \tfrac{2}{3}\right)\right) \cdot 34\tfrac{2}{5} \] \[ 1\tfrac{7}{8} \cdot 8 = 15 \qquad 2{,}6 : \tfrac{2}{3} = 3{,}9 \] \[ 8{,}9 - 3{,}9 = 5 \quad \Rightarrow \quad 15 - 5 = 10 \] \[ 34\tfrac{2}{5} = 34{,}4 \quad \Rightarrow \quad 10 \cdot 34{,}4 = 344 \]
    3. Итог: \[ \frac{34{,}4}{344} \cdot 10 = 0{,}1 \cdot 10 = 1 \]
    Ответ: 1.

  2. Упростить выражение \[ \biggl( \frac{\sqrt a + \sqrt b}{a - \sqrt{ab} + b} \;-\; \frac{1}{\sqrt a + \sqrt b} \biggr) : \biggl( \frac{2a + b}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}} \;-\; \frac{2\sqrt a + \sqrt b}{a - \sqrt{ab} + b} \biggr) + b. \]
    Решение:
    1. Числитель дроби: \[ \frac{\sqrt a + \sqrt b}{a - \sqrt{ab} + b} - \frac{1}{\sqrt a + \sqrt b} \] Общий знаменатель: \((a + b - \sqrt{ab})(\sqrt a + \sqrt b)\) \[ \frac{(\sqrt a + \sqrt b)^2 - (a + b - \sqrt{ab})}{(a + b - \sqrt{ab})(\sqrt a + \sqrt b)} = \frac{3\sqrt{ab}}{(a + b - \sqrt{ab})(\sqrt a + \sqrt b)} \]
    2. Знаменатель дроби: \[ \frac{2a + b}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}} - \frac{2\sqrt a + \sqrt b}{a + b - \sqrt{ab}} \] \[ \sqrt{a^3} + \sqrt{b^3} = (\sqrt a + \sqrt b)(a - \sqrt{ab} + b) \] После упрощений получаем: \[ \frac{-3\sqrt{ab}}{(\sqrt a + \sqrt b)(a + b - \sqrt{ab})} \]
    3. Деление дробей: \[ \frac{3\sqrt{ab}}{(\sqrt a + \sqrt b)(a + b - \sqrt{ab})} : \frac{-3\sqrt{ab}}{(\sqrt a + \sqrt b)(a + b - \sqrt{ab})} = -1 \]
    Ответ: \(b - 1\).

  3. Решите уравнение \[ \frac{2}{5 + x} - \frac{x^2 - 45}{x^2 - 25} = \frac{2}{5 - x}. \]
    Решение: \[ \frac{2}{5 + x} - \frac{x^2 - 45}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{2}{5 - x} \] Общий знаменатель: \((x - 5)(x + 5)\). Умножаем обе части на него: \[ 2(x - 5) - (x^2 - 45) = -2(x + 5) \] Упрощаем: \[ -x^2 + 4x + 45 + 2x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x - 45 = 0 \] Корни: \[ x = \frac{4 \pm 14}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 9 \quad (x = -5 \text{ не подходит}) \] Ответ: 9.

  4. Не решая уравнения \(3x^2 + 13x - 1 = 0\), найдите значение выражения \[ 9\bigl(x_1^2 + x_2^2\bigr) \;-\; 3x_1x_2. \]
    Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -\tfrac{13}{3}, \quad x_1x_2 = -\tfrac{1}{3} \] \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \tfrac{169}{9} + \tfrac{2}{3} = \tfrac{175}{9} \] \[ 9 \cdot \tfrac{175}{9} - 3 \cdot (-\tfrac{1}{3}) = 175 + 1 = 176 \] Ответ: 176.

  5. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу. После встречи первый был в пути 2 ч, второй — \(\tfrac{9}{8}\) ч. Расстояние 210 км. Найти скорости.
    Решение: Пусть \(v_1\), \(v_2\) — скорости, \(t\) — время до встречи. Тогда: \[ \begin{cases} v_1 t = v_2 \cdot \tfrac{9}{8} \\ v_2 t = v_1 \cdot 2 \end{cases} \] Из системы находим \(v_1 = 60\) км/ч, \(v_2 = 80\) км/ч. Ответ: 60 км/ч и 80 км/ч.

  6. В прямоугольном треугольнике катеты \(3:2\), высота делит гипотенузу на отрезки с разностью 2 см. Найти гипотенузу.
    Решение: Катеты \(3x\), \(2x\). Гипотенуза \(c = x\sqrt{13}\). Отрезки: \[ \tfrac{9x}{\sqrt{13}} \text{ и } \tfrac{4x}{\sqrt{13}} \quad \Rightarrow \quad \tfrac{5x}{\sqrt{13}} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \tfrac{2\sqrt{13}}{5} \] Гипотенуза: \[ x\sqrt{13} = \tfrac{26}{5} \text{ см} \] Ответ: \(\tfrac{26}{5}\) см.

  7. Докажите неравенство \[ (a + b)\Bigl(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b}\Bigr) \ge 4 \quad (a>0,\; b>0). \]
    Доказательство: \[ (a + b)\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b}\right) = 2 + \tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a} \ge 2 + 2 = 4 \] (по AM ≥ GM). Равенство при \(a = b\).

  8. Максимальное количество мест из 125 и 95 деталей. 5-местные: 5 и 4; 11-местные: 11 и 9.
    Решение: Оптимальные значения при ограничениях: \[ 5x + 11y \le 125, \quad 4x + 9y \le 95 \] Перебор показывает максимальное решение при \(x = 8\), \(y = 7\): \[ 5(8) + 11(7) = 40 + 77 = 117 \] Ответ: 117.
Материалы школы Юайти