Школа №153 из 8 в 9 класс вариант 4

1. Вычислить \[ \frac{(13,75 + 9\tfrac{1}{6})\colon 1,2} {(10,3 - 8\tfrac{1}{2})\colon \tfrac{5}{9}} \;+\; \frac{(6,8 - 3\tfrac{3}{5})\colon 5\tfrac{5}{6}} {(3\tfrac{2}{3} - 3\tfrac{1}{6})\colon 56} \;-\; 27\tfrac{1}{6}. \]
   
   
2. Упростить \[ \Bigl( \frac{2}{\sqrt a - \sqrt b} \;-\; \frac{2\sqrt a}{a\sqrt a + b\sqrt b} \cdot \frac{a - \sqrt{ab} + b}{\sqrt a - \sqrt b} \Bigr) \colon 4\sqrt b. \]
   
   
3. Решите уравнение \[ \frac{2}{7 + 2x} \;-\; \frac{4x^2 - 77}{4x^2 - 49} \;=\; \frac{2}{7 - 2x}. \]
   
   
4. Не решая уравнения \(2x^2 - 5x - 9 = 0\), найдите значение выражения \[ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3}, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни данного уравнения.
   
   
5. Первый поезд отправляется из пункта \(A\) в пункт \(B\). Одновременно с ним из \(B\) в \(A\) отправляется второй поезд. Встретившись через 50 минут, поезда следуют дальше, и первый поезд прибывает в пункт \(B\) на 75 минут раньше, чем второй — в пункт \(A\). Найдите расстояние между \(A\) и \(B\), если скорость первого поезда равна \(120\) км/ч.
   
   
6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(50\) см, а опущенная на неё высота равна \(24\) см. Найдите периметр и площадь треугольника.
   
   
7. Докажите неравенство \[ a^4 + b^4 \;\ge\; a^3b + ab^3. \]
   
   
8. Из стандартных деталей делают 4-местные, 5-местные и 8-местные клетки для животных. На одну 4-местную клетку используется 3 детали, а на одну 5-местную или 8-местную — соответственно 4 или 6 деталей. Найдите наибольшее суммарное количество мест, которое можно создать из 86 деталей.

Решения задач

1. Вычислить \[ \frac{(13,75 + 9\tfrac{1}{6})\colon 1,2} {(10,3 - 8\tfrac{1}{2})\colon \tfrac{5}{9}} \;+\; \frac{(6,8 - 3\tfrac{3}{5})\colon 5\tfrac{5}{6}} {(3\tfrac{2}{3} - 3\tfrac{1}{6})\colon 56} \;-\; 27\tfrac{1}{6}. \]
   Решение: Преобразуем смешанные числа в дроби: $$\begin{aligned} 13,75 &= \frac{55}{4}, \quad 9\tfrac{1}{6} = \frac{55}{6}, \quad 8\tfrac{1}{2} = \frac{17}{2}, \\ 6,8 &= \frac{34}{5}, \quad 3\tfrac{3}{5} = \frac{18}{5}, \quad 5\tfrac{5}{6} = \frac{35}{6}, \\ 3\tfrac{2}{3} &= \frac{11}{3}, \quad 3\tfrac{1}{6} = \frac{19}{6}, \quad 27\tfrac{1}{6} = \frac{163}{6}. \end{aligned}$$ Вычислим первую дробь: $$\begin{aligned} \frac{\left(\frac{55}{4} + \frac{55}{6}\right) : 1,2}{\left(10,3 - \frac{17}{2}\right) : \frac{5}{9}} &= \frac{\left(\frac{55 \cdot 3 + 55 \cdot 2}{12}\right) : \frac{6}{5}}{\left(\frac{103}{10} - \frac{85}{10}\right) : \frac{5}{9}} \\ &= \frac{\frac{275}{12} \cdot \frac{5}{6}}{\frac{18}{10} \cdot \frac{9}{5}} \\ &= \frac{\frac{1375}{72}}{\frac{81}{50}} = \frac{1375}{72} \cdot \frac{50}{81} = \frac{68750}{5832} = \frac{34375}{2916}. \end{aligned}$$ Вычислим вторую дробь: $$\begin{aligned} \frac{\left(\frac{34}{5} - \frac{18}{5}\right) : \frac{35}{6}}{\left(\frac{11}{3} - \frac{19}{6}\right) : 56} &= \frac{\frac{16}{5} \cdot \frac{6}{35}}{\frac{3}{6} : 56} \\ &= \frac{\frac{96}{175}}{\frac{1}{112}} = \frac{96}{175} \cdot 112 = \frac{10752}{175}. \end{aligned}$$ Суммируем и вычитаем $27\tfrac{1}{6}$: $$\begin{aligned} \frac{34375}{2916} + \frac{10752}{175} - \frac{163}{6} &\approx 11,78 + 61,44 - 27,17 \\ &\approx 46,05 - 27,17 \\ &= 18,88 = 18\frac{22}{25}. \end{aligned}$$ Ответ: $18\frac{22}{25}$.
2. Упростить \[ \Bigl( \frac{2}{\sqrt a - \sqrt b} \;-\; \frac{2\sqrt a}{a\sqrt a + b\sqrt b} \cdot \frac{a - \sqrt{ab} + b}{\sqrt a - \sqrt b} \Bigr) \colon 4\sqrt b. \]
Решение: Используем формулу суммы кубов для $a\sqrt{a} + b\sqrt{b}$: \[ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b). \] Подставим и упростим выражение: $$\begin{aligned} & \frac{2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{2\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} \cdot \frac{a - \sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \\ &= \frac{2 - 2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{-2(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}. \end{aligned}$$ Затем разделим на $4\sqrt{b}$: \[ \frac{-2(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \cdot 4\sqrt{b}} = -\frac{\sqrt{a} - 1}{2\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}. \] Ответ: $-\frac{\sqrt{a} - 1}{2\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$.
3. Решите уравнение \[ \frac{2}{7 + 2x} \;-\; \frac{4x^2 - 77}{4x^2 - 49} \;=\; \frac{2}{7 - 2x}. \]
Решение: Приведем уравнение к общему знаменателю $(4x^2 - 49) = (2x - 7)(2x + 7)$: \[ \frac{2(2x - 7) - (4x^2 - 77)}{(2x + 7)(2x - 7)} = \frac{2(2x + 7)}{(2x - 7)(2x + 7)}. \] Упростим числители: $$\begin{aligned} 4x - 14 - 4x^2 + 77 &= -4x^2 + 4x + 63, \\ 4x + 14. \end{aligned}$$ Приравниваем числители: \[ -4x^2 + 4x + 63 = 4x + 14 \quad \Rightarrow \quad -4x^2 + 49 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{49}{4}. \] Решение: $x = \pm\frac{7}{2}$. Проверим на исключение знаменателей: $x \ne \pm\frac{7}{2}$. Ответ: Нет решений.
4. Найдите значение выражения $\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3}$.
Решение: Используем теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = \frac{5}{2}, \quad x_1x_2 = -\frac{9}{2}. \] Преобразуем выражение: \[ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{x_2^3 + x_1^3}{(x_1x_2)^3} = \frac{(x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)}{(x_1x_2)^3}. \] Вычислим $x_1^2 + x_2^2$: \[ (x_1 + x_2)^2 = \frac{25}{4} \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = \frac{25}{4} + 9 = \frac{61}{4}. \] Подставим: \[ \frac{\frac{5}{2}\left(\frac{61}{4} + \frac{9}{2}\right)}{\left(-\frac{9}{2}\right)^3} = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{79}{4}}{-\frac{729}{8}} = -\frac{395 \cdot 8}{2 \cdot 4 \cdot 729} = -\frac{395}{729}. \] Ответ: $-\frac{395}{729}$.
5. Найдите расстояние между $A$ и $B$.
Решение: Пусть скорость второго поезда $v$ км/ч. После встречи через $\frac{5}{6}$ ч первый прошел $120 \cdot \frac{5}{6} = 100$ км, второй — $v \cdot \frac{5}{6}$ км. Время первого для оставшегося расстояния: $\frac{100 + \frac{5v}{6}}{120}$, второго: $\frac{\frac{5v}{6}}{v} = \frac{5}{6}$. Разница во времени: \[ \frac{120 \cdot \frac{5}{6}}{v} - \frac{5}{6} = \frac{75}{60}. \] Решая систему уравнений: \[ \begin{cases} 100 + \frac{5v}{6} = D, \\ \frac{100}{v} = \frac{5}{4}. \end{cases} \] Из второго уравнения $v = 80$ км/ч. Тогда $D = 100 + \frac{5 \cdot 80}{6} = 100 + \frac{200}{3} \approx 166,67$ км. Ответ: 166,67 км.
6. Найдите периметр и площадь треугольника.
Решение: Площадь через высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 24 = 600 \text{ см}^2. \] Периметр: Обозначим катеты $a$ и $b$: \[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 50^2, \\ ab = 1200. \end{cases} \] Найдем $a + b$: \[ (a + b)^2 = 2500 + 2400 = 4900 \Rightarrow a + b = 70. \] Периметр: $70 + 50 = 120$ см. Ответ: Периметр 120 см, площадь 600 см².
7. Докажите неравенство \[ a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3. \]
Доказательство: Перепишем: \[ a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 = (a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) = a^3(a - b) + b^3(b - a). \] Факторизуем: \[ (a^3 - b^3)(a - b) = (a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \geq 0. \] Поскольку квадрат неотрицателен, неравенство выполняется.
8. Найдите наибольшее суммарное количество мест.
Решение: Максимизируем $4x + 5y + 8z$ при $3x + 4y + 6z \leq 86$. Оптимальное распределение:

• z = 10 (8-местные): $10 \cdot 6 = 60$ деталей.
• Остаток: 26 деталей — x = 6 (4-местные), y = 2 (5-местные): $6 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 26$.
• Всего мест: $10 \cdot 8 + 6 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 114$.

Ответ: 114 мест.