Школа №153 из 8 в 9 класс вариант 3

1. Вычислить \[ \frac{ (26\tfrac{2}{3}\colon6{,}4)\cdot(19{,}2\colon3\tfrac{5}{9}) \quad 8\tfrac{4}{7}\colon\tfrac{26}{77} -\tfrac{1}{18} }{ 0{,}5\colon18\tfrac{2}{3}\cdot11 }. \]
   
   
2. Упростить \[ \frac{ (\sqrt a-\sqrt b)^3 + 2a^2\colon\sqrt a + b\sqrt b }{ a\sqrt a + b\sqrt b } \;+\; \frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b}. \]
   
   
3. Решите уравнение \[ \frac{2}{x^2-4} \;+\; \frac{x-4}{x^2+2x} \;=\; \frac{1}{x^2-2x}. \]
   
   
4. Не решая уравнения \(5x^2+2x-4=0\), найдите значение выражения \[ \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни данного уравнения.
   
   
5. Велосипедист каждую минуту проезжает на \(500\) м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в \(120\) км он затрачивает на \(2\) ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста.
   
   
6. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен \(6\) см, а высота, опущенная на гипотенузу, равна \(4{,}8\) см. Найдите периметр и площадь треугольника.
   
   
7. Докажите неравенство \[ (ab^2 + a^3)\,(a-b) \;\ge\; (a^2b + b^3)\,(a-b). \]
   
   
8. Из деталей двух видов делают 7-местные и 12-местные клетки для животных. На одну 7-местную клетку используется 7 деталей первого вида и 4 второго, а на одну 12-местную — 12 и 7 деталей соответственно. Найдите наибольшее суммарное количество мест, которое можно создать из 155 деталей первого вида и 81 детали второго.

Решения задач

1. Вычислить \[ \frac{ (26\tfrac{2}{3}\colon6{,}4)\cdot(19{,}2\colon3\tfrac{5}{9}) \quad 8\tfrac{4}{7}\colon\tfrac{26}{77} -\tfrac{1}{18} }{ 0{,}5\colon18\tfrac{2}{3}\cdot11 }. \]
   Решение:
   • Преобразуем смешанные числа:
     $26\tfrac{2}{3} = \frac{80}{3}$; $3\tfrac{5}{9} = \frac{32}{9}$; $8\tfrac{4}{7} = \frac{60}{7}$; $18\tfrac{2}{3} = \frac{56}{3}$.
   • Последовательно вычислим числитель:
     $\frac{80}{3} \div 6,4 = \frac{80}{3} \div \frac{32}{5} = \frac{80}{3} \cdot \frac{5}{32} = \frac{25}{6}$.
     $19,2 \div \frac{32}{9} = \frac{96}{5} \cdot \frac{9}{32} = \frac{27}{10} = 2,7$.
     Перемножаем: $\frac{25}{6} \cdot 2,7 = \frac{25}{6} \cdot \frac{27}{10} = \frac{45}{4} = 11,25$.
     $\frac{60}{7} \div \frac{26}{77} = \frac{60}{7} \cdot \frac{77}{26} = \frac{660}{26} = \frac{330}{13} \approx 25,38$.
     Итог числителя: $25,38 - \frac{1}{18} = \frac{330}{13} - \frac{1}{18} \approx 25,32$.
   • Знаменатель:
     $0,5 \div \frac{56}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{56} = \frac{3}{112}$.
     $\frac{3}{112} \cdot 11 = \frac{33}{112} \approx 0,2946$.
   • Результат:
     $\frac{25,32}{0,2946} \approx 86$.
   Ответ: 86.
2. Упростить \[ \frac{ (\sqrt a-\sqrt b)^3 + 2a^2\colon\sqrt a + b\sqrt b }{ a\sqrt a + b\sqrt b } \;+\; \frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b}. \]
   Решение:
   • Раскроем куб разности:
     $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3 = a^{1.5} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b^{1.5}$.
   • Подставим в числитель:
     $a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b} + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = 3a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a}$.
   • Факторизуем:
     $\frac{3\sqrt{a}(a - \sqrt{a}\sqrt{b} + b)}{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3} = \frac{3\sqrt{a}(a + b - \sqrt{ab})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.
   • Упрощаем вторую дробь:
     $\frac{3\sqrt{ab} - 3b}{a - b} = \frac{3b(\sqrt{\frac{a}{b}} - 1)}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.
   • Сумма дробей:
     $\frac{3\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 3$.
   Ответ: 3.
3. Решите уравнение \[ \frac{2}{x^2-4} \;+\; \frac{x-4}{x^2+2x} \;=\; \frac{1}{x^2-2x}. \]
   Решение:
   • Разложим знаменатели:
     $x^2-4 = (x-2)(x+2)$; $x^2+2x = x(x+2)$; $x^2-2x = x(x-2)$.
   • Общий знаменатель: $x(x-2)(x+2)$. Умножаем каждое слагаемое на общий знаменатель:
     $2x + (x-4)(x-2) = (x+2)$.
   • Раскроем скобки:
     $2x + x^2 -6x +8 = x +2$.
     $x^2 -4x +8 = x +2$.
     $x^2 -5x +6 =0$.
     Корни: $x=2$; $x=3$.
   • Проверка корней:
     $x=2$ – обращает знаменатели в ноль. Исключаем.
     $x=3$ – подходит.
   Ответ: 3.
4. Не решая уравнения \(5x^2+2x-4=0\), найдите значение выражения \[ \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни данного уравнения.
   Решение:
   • Используем теорему Виета:
     $x_1 + x_2 = -\frac{2}{5}$; $x_1x_2 = -\frac{4}{5}$.
   • Выразим числитель:
     $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 - 2\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{25} + \frac{8}{5} = \frac{4 + 40}{25} = \frac{44}{25}$.
   • Подставим:
     $\frac{44/25}{-4/5} = -\frac{44}{25} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{11}{5}$.
   Ответ: $-\dfrac{11}{5}$.
5. Велосипедист каждую минуту проезжает на \(500\) м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в \(120\) км он затрачивает на \(2\) ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста.
   Решение:
   • Переведем единицы: 500 м/мин = 30 км/ч.
   • Пусть $v$ – скорость велосипедиста, тогда мотоциклиста: $v + 30$.
   • Составим уравнение времени:
     $\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 30} = 2$.
     Умножаем на $v(v +30)$:
     $120(v +30) -120v = 2v(v +30)$.
     $3600 = 2v^2 +60v$.
     $v^2 +30v -1800 =0$.
     Корни: $v = \frac{-30 + \sqrt{900 +7200}}{2} = \frac{-30 + 90}{2} = 30$ (второй корень отрицательный).
   Ответ: 30 км/ч.
6. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен \(6\) см, а высота, опущенная на гипотенузу, равна \(4{,}8\) см. Найдите периметр и площадь треугольника.
   Решение:
   • Из формулы высоты $h = \frac{ab}{c}$, где $a=6$, $h=4,8$:
     $4,8 = \frac{6b}{c} \Rightarrow c = \frac{6b}{4,8} = \frac{5b}{4}$.
   • По теореме Пифагора:
     $6^2 + b^2 = c^2 = \left(\frac{5b}{4}\right)^2$.
     $36 + b^2 = \frac{25b^2}{16}$.
     $576 +16b^2 =25b^2 \Rightarrow9b^2 =576 \Rightarrow b =8$ см.
   • Гипотенуза: $c = \frac{5 \cdot8}{4} =10$ см.
   • Периметр: $6 +8+10=24$ см. Площадь: $\frac{6 \cdot8}{2} =24$ см².
   Ответ: периметр 24 см, площадь 24 см².
7. Докажите неравенство \[ (ab^2 + a^3)\,(a-b) \;\ge\; (a^2b + b^3)\,(a-b). \]
   Решение:
   • Перенесем правую часть влево:
     $(ab^2 + a^3 - a^2b - b^3)(a -b) \geq0$.
   • Факторизуем:
     $ab^2 -a^2b +a^3 -b^3 = ab(b -a) + (a -b)(a^2 +ab +b^2) = (a -b)(a^2 +ab +b^2 -ab) = (a -b)(a^2 +b^2)$.
   • Подставим:
     $(a -b)^2(a^2 +b^2) \geq0$, что верно, так как квадраты всегда неотрицательны.
   Ответ: доказано.
8. Из деталей двух видов делают 7-местные и 12-местные клетки для животных. На одну 7-местную клетку используется 7 деталей первого вида и 4 второго, а на одну 12-местную — 12 и 7 деталей соответственно. Найдите наибольшее суммарное количество мест, которое можно создать из 155 деталей первого вида и 81 детали второго.
   Решение:
   • Пусть $x$ – количество 7-местных клеток, $y$ – 12-местных. Тогда:
     $7x +12y \leq155$;
     $4x +7y \leq81$.
   • Целевая функция: $7x +12y \rightarrow max$.
   • Решаем систему. Из второго уравнения:
     $7y \leq81 -4x \Rightarrow y \leq \frac{81 -4x}{7}$.
   • Подставляем в первое:
     $7x +12 \cdot \frac{81 -4x}{7} \leq155$.
     Умножаем на 7: $49x +12(81-4x) \leq1085$.
     $49x +972 -48x \leq1085 → \leq113$.
   • Перебором $y$ при допустимых $x$ находим: при $x=5$, $y=8$: $7\cdot5 +12\cdot8 =35 +96=131$ дет. первого вида, $4\cdot5 +7\cdot8=20 +56=76 \leq81$.
     Сумма мест: $5 \cdot 7 +8\cdot 12=35+96=131$.
     При $x=13$, $y=5$: сумма мест $=13 \cdot 7+5 \cdot 12=91+60=151$.
   Ответ: 151 место.