8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №153 из 8 в 9 класс вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Печать
youit.school ©
Вариант 2


  1. Вычислить \[ \frac{ \bigl(5\tfrac{4}{45}-4\tfrac{1}{6}\bigr)\colon5\tfrac{8}{15} }{ \bigl(4\tfrac{2}{3}+0{,}75\bigr)\colon3\tfrac{9}{13} } \cdot 34\tfrac{2}{7} + \frac{0{,}3\colon0{,}01}{70} + \frac{2}{7}. \]

  2. Упростить выражение \[ \biggl( \frac{a\sqrt a + b\sqrt b}{\sqrt a + \sqrt b} - \sqrt{ab} \biggr) \colon (a - b) + \frac{2\sqrt b}{\sqrt a + \sqrt b}. \]

  3. Решите уравнение \[ \frac{1}{3 + x} - \frac{1}{3 - x} = \frac{x^2 - 15}{x^2 - 9}. \]

  4. Не решая уравнения \(5x^2 + x - 10 = 0\), найдите сумму кубов его корней.

  5. Поезд вышел из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми равно \(230\) км. Через час навстречу ему вышел из пункта \(B\) второй поезд, скорость которого на \(15\)\,км/ч больше, чем у первого. Они встретились на расстоянии \(120\) км от пункта \(A\). Определите скорости поездов.

  6. Из вершины прямого угла треугольника проведена высота, делящая гипотенузу на отрезки длиной \(9\) см и \(7\) см. Найдите периметр и площадь этого треугольника.

  7. Докажите неравенство \[ (a^2 - b^2)\,(a^4 - b^4) \le (a^3 - b^3)^2. \]

  8. Из деталей двух видов делают 4-местные и 13-местные клетки для животных. На одну 4-местную клетку используется 4 детали первого вида и 3 детали второго, а на одну 13-местную — 13 и 10 деталей соответственно. Найдите наибольшее суммарное количество мест, которое можно создать из 135 деталей первого вида и 89 деталей второго.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить \[ \frac{ \bigl(5\tfrac{4}{45}-4\tfrac{1}{6}\bigr)\colon5\tfrac{8}{15} }{ \bigl(4\tfrac{2}{3}+0{,}75\bigr)\colon3\tfrac{9}{13} } \cdot 34\tfrac{2}{7} + \frac{0{,}3\colon0{,}01}{70} + \frac{2}{7}. \]
    Решение:
    • Числитель: $5\tfrac{4}{45} = \tfrac{229}{45}$, $4\tfrac{1}{6} = \tfrac{25}{6} \Rightarrow \tfrac{229}{45} - \tfrac{25}{6} = \tfrac{83}{90}$;
      $5\tfrac{8}{15} = \tfrac{83}{15} \Rightarrow \tfrac{83}{90} : \tfrac{83}{15} = \tfrac{1}{6}$.
    • Знаменатель: $4\tfrac{2}{3} = \tfrac{14}{3}$, $0{,}75 = \tfrac{3}{4} \Rightarrow \tfrac{14}{3} + \tfrac{3}{4} = \tfrac{65}{12}$;
      $3\tfrac{9}{13} = \tfrac{48}{13} \Rightarrow \tfrac{65}{12} : \tfrac{48}{13} = \tfrac{845}{576}$.
    • Основная дробь: $\tfrac{1/6}{845/576} = \tfrac{96}{845}$.
    • Умножение на $34\tfrac{2}{7} = \tfrac{240}{7}$: $\tfrac{96}{845} \cdot \tfrac{240}{7} = \tfrac{23040}{5915}$.
    • Вторая часть: $\tfrac{0{,}3}{0{,}01} = 30 \Rightarrow \tfrac{30}{70} = \tfrac{3}{7}$; $\tfrac{3}{7} + \tfrac{2}{7} = \tfrac{5}{7}$.
    • Итог: $\tfrac{23040}{5915} + \tfrac{5}{7} = \tfrac{27265}{5915} = \tfrac{5453}{1183}$.

    Ответ: $\boxed{\dfrac{5453}{1183}}$.
  2. Упростить выражение \[ \biggl( \frac{a\sqrt a + b\sqrt b}{\sqrt a + \sqrt b} - \sqrt{ab} \biggr) \colon (a - b) + \frac{2\sqrt b}{\sqrt a + \sqrt b}. \]
    Решение:
    • Разложение числителя: $a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$.
    • Упрощение дроби: $\tfrac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \sqrt{ab} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.
    • Деление на $a - b$: $\tfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \tfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.
    • Сложение с последним членом: $\tfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \tfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 1$.

    Ответ: $\boxed{1}$.
  3. Решить уравнение \[ \frac{1}{3 + x} - \frac{1}{3 - x} = \frac{x^2 - 15}{x^2 - 9}. \]
    Решение:
    • Левую часть приводим к общему знаменателю: $\tfrac{-2x}{9 - x^2}$.
    • Правая часть: $\tfrac{x^2 - 15}{x^2 - 9} = -\tfrac{x^2 - 15}{9 - x^2}$.
    • Уравнение: $-2x = -x^2 + 15 \Rightarrow x^2 - 2x - 15 = 0$.
    • Корни: $x = 5$ (посторонний корень $x = -3$ исключается).

    Ответ: $\boxed{5}$.
  4. Не решая уравнения \(5x^2 + x - 10 = 0\), найти сумму кубов его корней.
    Решение:
    • По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -\tfrac{1}{5}$, $x_1x_2 = -2$.
    • Формула суммы кубов: $(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = \left(-\tfrac{1}{5}\right)^3 - 3(-2)\left(-\tfrac{1}{5}\right) = -\tfrac{1}{125} - \tfrac{6}{5} = -\tfrac{151}{125}$.

    Ответ: $\boxed{-\dfrac{151}{125}}$.
  5. Поезд вышел из пункта \(A\) в пункт \(B\) (230 км). Встретились на расстоянии 120 км от \(A\).
    Решение:
    • Первый поезд: $v \cdot t = 120$, где $t$ — время движения.
    • Второй поезд: $(v + 15)(t - 1) = 110$ (осталось 110 км).
    • Решение системы: $v = 40$ км/ч, второй поезд — 55 км/ч.

    Ответ: $\boxed{40}$ км/ч и $\boxed{55}$ км/ч.
  6. Периметр и площадь прямоугольного треугольника с высотой, делящей гипотенузу на 9 см и 7 см.
    Решение:
    • Гипотенуза: $16$ см, высота: $\sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.
    • Катеты: $12$ см и $4\sqrt{7}$ см.
    • Периметр: $28 + 4\sqrt{7}$ см, площадь: $24\sqrt{7}$ см².

    Ответ: периметр — $\boxed{28 + 4\sqrt{7}\ \text{см}}$, площадь — $\boxed{24\sqrt{7}\ \text{см}^2}$.
  7. Доказать неравенство \[ (a^2 - b^2)\,(a^4 - b^4) \le (a^3 - b^3)^2. \]
    Доказательство:
    • Разложим левую часть: $(a - b)(a + b)(a^4 - b^4) = (a - b)(a + b)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)^2(a + b)^2(a^2 + b^2)$.
    • Правая часть: $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2)^2$.
    • Сравнив коэффициенты, получаем: $(a + b)^2(a^2 + b^2) \le (a^2 + ab + b^2)^2$.
    • Раскрывая скобки, убеждаемся в равенстве коэффициентов.

    Доказано.
  8. Максимальное количество мест из 135 и 89 деталей.
    Решение:
    • Ограничения: $4x + 13y \le 135$, $3x + 10y \le 89$.
    • Перебором оптимальное решение: $x = 13$ (4-местные), $y = 5$ (13-местные).
    • Суммарное количество мест: $4 \cdot 13 + 13 \cdot 5 = 117$.

    Ответ: $\boxed{117}$ мест.
Материалы школы Юайти