8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №153 из 8 в 9 класс вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Печать
youit.school ©
Вариант 1


  1. Вычислить \[ \frac{\bigl(6 - 4\tfrac{1}{2}\bigr)\cdot0,03}{3\tfrac{1}{20} - 2,65}\cdot4 + \tfrac{2}{5} + \frac{\bigl(6\tfrac{3}{5} - 3\tfrac{3}{14}\bigr)\cdot5\tfrac{5}{6}} {(21 - 1,25)\colon 2,5}. \]

  2. Упростить \[ \left(\frac{2x + \sqrt{xy}}{3x}\right)^{-1} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^3} - y\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} - \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right). \]

  3. Решите уравнение \[ \frac{2}{5 + 2x} \;-\; \frac{2}{5 - 2x} \;-\; \frac{4x^2 - 45}{4x^2 - 25} = 0. \]

  4. Не решая уравнения \(7x^2 - 3x - 8 = 0\), найдите значение выражения \[ x_1^{-2} + x_2^{-2}, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни данного уравнения.

  5. Расстояние между пристанями \(A\) и \(B\) по реке равно 36 км. Из \(A\) в \(B\) отплыл плот, а из \(B\) в \(A\) спустя 8 часов отошла лодка. В пункты назначения они прибыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12 км/ч?

  6. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, имеют длину 2 см. Найдите площадь треугольника.

  7. Докажите неравенство \[ (a^3 - b^3)(a - b) \ge 3ab(a - b)^2. \]

  8. Из деталей двух видов делают 5-местные и 13-местные клетки для животных. На одну 5-местную клетку используется 5 деталей первого вида и 2 второго, а на одну 13-местную — 13 и 5 деталей соответственно. Найдите наибольшее суммарное количество мест, которое можно создать из 195 деталей первого вида и 68 деталей второго.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. \[ \frac{\bigl(6 - 4\tfrac{1}{2}\bigr)\cdot0,03}{3\tfrac{1}{20} - 2,65}\cdot4 + \tfrac{2}{5} + \frac{\bigl(6\tfrac{3}{5} - 3\tfrac{3}{14}\bigr)\cdot5\tfrac{5}{6}} {(21 - 1,25)\colon 2,5}. \]
    Решение: Вычислим части выражения отдельно:
    • Первая часть: $\frac{(6 - 4,5) \cdot 0,03}{3,05 - 2,65} \cdot 4 = \frac{1,5 \cdot 0,03}{0,4} \cdot 4 = \frac{0,045}{0,4} \cdot 4 = 0,45.$
    • Вторая часть: добавим $\frac{2}{5} = 0,4,$ получим $0,45 + 0,4 = 0,85.$
    • Третья часть: $\frac{(\frac{33}{5} - \frac{45}{14}) \cdot \frac{35}{6}}{(19,75 : 2,5)} = \frac{\frac{237}{70} \cdot \frac{35}{6}}{7,9} = \frac{19,75}{7,9} = 2,5.$
    Итог: $0,85 + 2,5 = 3,35$. Ответ: $3,35$.

  2. \[ \left(\frac{2x + \sqrt{xy}}{3x}\right)^{-1} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^3} - y\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} - \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right). \]
    Решение: Упростим по шагам:
    • Первый множитель: $\left(\frac{2x + \sqrt{xy}}{3x}\right)^{-1} = \frac{3x}{2x + \sqrt{xy}}.$
    • Второй множитель: $$\begin{aligned} &\frac{\sqrt{x^3} - y\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} - \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \\ &= \frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x - \sqrt{x y}} \cdot \frac{x + \sqrt{x y}}{x + \sqrt{x y}} - \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \\ &= \frac{(x\sqrt{x} - y\sqrt{y})(x + \sqrt{x y})}{x^2 - x y} - (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \\ &= \frac{(x\sqrt{x} + x \sqrt{x y} - y\sqrt{y})}{x} - \sqrt{x} + \sqrt{y} \\ &= \sqrt{y}. \end{aligned}$$
    Объединяя: $\frac{3x}{2x + \sqrt{xy}} \cdot \sqrt{y} = \frac{3x\sqrt{y}}{x(2 + \sqrt{\frac{y}{x}})} = \frac{3}{2} \sqrt{y}$.
    3. Ответ: $3 \sqrt{y}$.
  3. \[ \frac{2}{5 + 2x} \;-\; \frac{2}{5 - 2x} \;-\; \frac{4x^2 - 45}{4x^2 - 25} = 0. \] Решение: Общий знаменатель: $(5 + 2x)(5 - 2x) = 25 - 4x^2$. Преобразуем уравнение: \[ \frac{2(5 - 2x) - 2(5 + 2x) - (4x^2 - 45)}{25 - 4x^2} = 0. \] Числитель: $10 - 4x -10 -4x -4x^2 +45 = -4x^2 -8x +45 =0.$
    4. Решаем квадратное уравнение: $4x^2 +8x -45=0.$ Дискриминант: $D=64 + 720=784$, корни: \[ x = \frac{-8 \pm28}{8} \Rightarrow x=4,5;\ x=-2,5. \] Проверка исключает $x=-2,5$. Ответ: $4,5$.
  4. Найти значение выражения $x_1^{-2} + x_2^{-2}$ для уравнения $7x^2 - 3x - 8 =0$.
    5. Решение: По теореме Виета: $x_1 + x_2 = \frac{3}{7}$, $x_1 x_2 = -\frac{8}{7}$. Выразим: \[ x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{(x_1 +x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2}. \] Подставим значения: \[ \frac{\left(\frac{9}{49} + \frac{16}{7}\right)}{\left(\frac{64}{49}\right)} = \frac{121}{49} \cdot \frac{49}{64} = \frac{121}{64}. \] Ответ: $\frac{121}{64}$.
  5. Задача на движение:
    6. Решение: Пусть скорость плота (течения) $v$ км/ч. Лодка двигалась $t$ часов со скоростью $(12 - v)$. Плот плыл $(t +8)$ часов: \[ \begin{cases} v(t +8) =36, \\ (12 -v)t =36. \end{cases} \] Решим:
  • Из первого уравнения: $t = \frac{36}{v} -8.$
  • Подставляем во второе: $(12 -v)\left( \frac{36}{v} -8 \right)=36.$
После преобразований получим $v=3$ км/ч. Ответ: 3 км/ч.
  • Площадь треугольника:
    • Решение: В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана к катету равна $\frac{\sqrt{5}}{2}a =2 \Rightarrow a= \frac{4}{\sqrt{5}}.$ Площадь: $S = \frac{a^2}{2} = \frac{8}{5} = 1,6 \text{ см}^2.$ Ответ: $1,6$ см².
  • Доказать неравенство: \[ (a^3 - b^3)(a - b) \ge 3ab(a - b)^2. \] Решение: Разложим: \[ (a -b)(a^2 +ab +b^2)(a -b) \ge3ab(a -b)^2. \] Сократив $(a -b)^2$ (при $a \neq b$), получим: \[ a^2 +ab +b^2 \ge 3ab \Rightarrow (a -b)^2 \ge0. \] Неравенство верно.
  • Максимальное количество мест:
    • Решение: Пусть производят $x$ 5-местных клеток и $y$ 13-местных. Ограничения: \[ 5x +13y \leq195, \quad 2x +5y \leq68. \] Максимизируем $5x +13y$. Перебор показывает, что максимум: $y=12$, $x=4$: $5\cdot4 +13\cdot12 = 176$. Ответ: 176.
    Материалы школы Юайти