Школа №153 из 8 в 9 класс Программа 1

1. При каких значениях \(a\) справедливо равенство \[ \Bigl(\frac{3a+1}{6a} + \frac{4}{3a+3} - 2\Bigr) : \frac{3a+1}{3a+3} = \frac{3a^2 - 5a + 1}{2a} - \frac{2 - 3a}{2}\;? \]
   
   
2. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ 0.507^3 + 0.493^3 - 0.507\cdot0.493. \]
   
   
3. Вычислите \[ \sqrt{11 - 6\sqrt2} + \sqrt{33 - 20\sqrt2} + \sqrt{19 - 6\sqrt2}. \]
   
   
4. Решите уравнение \[ \frac{2x+1}{x^2+3x-4} + \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-2}. \]
   
   
5. Не решая квадратного уравнения \(3x^2 - x - 11 = 0\):
   1. найдите \(x_1^2 + x_2^2\);
   2. составьте уравнение с целыми коэффициентами, каждый корень которого на единицу больше соответствующего корня данного уравнения.
   
   
   
6. Два поезда отправляются из пунктов \(A\) и \(B\) навстречу друг другу и встречаются на расстоянии 28 км от середины пути. Если бы первый поезд отправился из пункта \(A\) на 45 мин раньше второго, то поезда встретились бы на середине пути. Найдите расстояние от \(A\) до \(B\) и скорости поездов, если скорость первого на 10~км/ч меньше скорости второго.
   
   
7. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна \(2\sqrt{15}\), а основания равны 5 и 8. Найдите диагональ трапеции.
   
   
8. Прямая касается двух окружностей с центрами \(O\) и \(P\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Через точку \(C\), в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую \(AB\) в точке \(M\). Найдите \(PM\), если \(AB=8\) и \(\angle COM=\alpha\).
   
   
9. Постройте треугольник по данным: стороне, к ней проведённой высоте и одному из прилежащих к этой стороне углов.
   
   
10. Докажите, что неравенство \[ 3x^2 + y^2 + 8x + 4y - 2xy + 22 \ge 0 \] верно для любых \(x\) и \(y\). Найдите \(x\) и \(y\), при которых достигается равенство.
    
    
11. Когда Рыбак попытался разложить пойманную им рыбу в пакеты по \(x\) штук, получилось 17 пакетов, однако последний из них, содержащий всего 4 рыбы, оказался неполным. Тогда он попытался разложить ту же рыбу в мешки по \(x-1\) штук, и это ему удалось. Найдите все натуральные значения \(x\), при которых это возможно.

Решения задач

1. При каких значениях \(a\) справедливо равенство \[ \Bigl(\frac{3a+1}{6a} + \frac{4}{3a+3} - 2\Bigr) : \frac{3a+1}{3a+3} = \frac{3a^2 - 5a + 1}{2a} - \frac{2 - 3a}{2}\;? \] Решение: Упростим левую часть: \[ \frac{\frac{3a+1}{6a}+\frac{4}{3a+3}-2}{\frac{3a+1}{3a+3}} = \frac{(3a+1)(a+1) + 8a - 12a(a+1)}{6a(a+1)} \cdot \frac{3a+3}{3a+1} = \] \[ = \frac{3a^2 + 4a +1 +8a -12a^2 -12a}{6a(a+1)} \cdot \frac{3(a+1)}{3a+1} = \frac{-9a^2 +1}{6a} \cdot \frac{3}{3a+1} = \frac{-27a^2 + 3}{6a(3a+1)} \] Правая часть: \[ \frac{3a^2 -5a +1}{2a} - \frac{2-3a}{2} = \frac{3a^2 -5a +1 - 2a +3a^2}{2a} = \frac{6a^2 -7a +1}{2a} \] Приравниваем: \[ \frac{-27a^2 +3}{6a(3a+1)} = \frac{6a^2-7a+1}{2a} \quad | \cdot 6a(3a+1) \] \[ -27a^2 +3 = 3(6a^2-7a+1)(3a+1) \] \[ 162a^3 -27a^2 -63a^2 +9a +18a^2 -21a +3 = -27a^2 +3 \] \[ 162a^3 -72a^2 -12a +3 = -27a^2 +3 \quad \Rightarrow \quad 162a^3 -45a^2 -12a = 0 \] \[ 3a(54a^2 -15a -4) = 0 \quad \Rightarrow \quad a=0 \text{ (не подходит)}, \, 54a^2-15a-4=0 \] \[ D=225+864=1089 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{15 \pm33}{108} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{48}{108}=\frac{4}{9}, \, a=-\frac{18}{108}= -\frac{1}{6} \] Проверка ОДЗ: \(a \neq 0, -1\). Оба корня подходят. Ответ: \(a = \dfrac{4}{9}\) и \(a = -\dfrac{1}{6}\).
   
   
2. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ 0.507^3 + 0.493^3 - 0.507\cdot0.493 \] Решение: Обозначим \(a = 0.507\), \(b = 0.493\), тогда \(a + b =1\). Используем формулу суммы кубов: \[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = 1 \cdot (a^2 - ab + b^2) \] Выражение принимает вид: \[ a^3 + b^3 - ab = a^2 - ab + b^2 - ab = a^2 -2ab + b^2 = (a - b)^2 \] Вычислим \(a - b = 0.507 - 0.493 = 0.014\), тогда квадрат разности: \[ (0.014)^2 = 0.000196 \] Ответ: 0.000196.
   
   
3. Вычислите \[ \sqrt{11 - 6\sqrt2} + \sqrt{33 - 20\sqrt2} + \sqrt{19 - 6\sqrt2}. \] Решение: Найдём представление каждого корня в виде \(\sqrt{(c - d\sqrt{2})^2}\): 1. Для \(\sqrt{11 - 6\sqrt2}\): \[ (3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt2 + 2 = 11 -6\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{11 -6\sqrt2} = 3 - \sqrt2 \] 2. Для \(\sqrt{33 -20\sqrt2}\): \[ (5 - 2\sqrt2)^2 = 25 - 20\sqrt2 + 8 = 33 -20\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{33 -20\sqrt2} = 5 - 2\sqrt2 \] 3. Для \(\sqrt{19 -6\sqrt2}\): \[ (3\sqrt2 -1)^2 = 18 -6\sqrt2 +1 =19 -6\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{19-6\sqrt2} =3\sqrt2 -1 \] Сумма: \[ (3 - \sqrt2) + (5 -2\sqrt2) + (3\sqrt2 -1) =7 +0\sqrt2 =7 \] Ответ: 7.
   
   
4. Решите уравнение \[ \frac{2x+1}{x^2+3x-4} + \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-2}. \] Решение: Разложим знаменатели на множители: \[ x^2 + 3x -4 = (x+4)(x-1), \quad x^2 -3x +2 = (x-1)(x-2) \] Общий знаменатель: \((x+4)(x-1)(x-2)\). Преобразуем уравнение: \[ \frac{(2x+1)(x-2) + (x+4)(x+4)}{(x+4)(x-1)(x-2)} = \frac{(x+4)(x-1)}{(x+4)(x-1)(x-2)} \] Упрощаем числители: \[ (2x+1)(x-2) + (x+4) = (x+4)(x-1) \] \[ 2x^2 -4x +x -2 +x +4 = x^2 -x +4x -4 \] \[ 2x^2 -2x +2 =x^2 +3x -4 \quad \Rightarrow \quad x^2 -5x +6 =0 \] Корни: \(x=2\) (не подходит из-за ОДЗ) и \(x=3\). Ответ: 3.
   
   
5. Решение:
   1. Для уравнения \(3x^2 -x -11 =0\): \[ x_1 +x_2 = \frac{1}{3}, \quad x_1x_2 = -\frac{11}{3} \] Тогда: \[ x_1^2 +x_2^2 = (x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 -2\left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{1}{9} +\frac{22}{3} = \frac{67}{9} \]
   2. Новые корни: \(y =x +1\). Подставим \(x = y -1\) в исходное уравнение: \[ 3(y-1)^2 -(y-1) -11 =0 \quad \Rightarrow \quad 3y^2 -7y -7 =0 \] Ответ: \(3y^2 -7y -7 =0\).
   Ответ: а) \(\frac{67}{9}\); б) \(3y^2 -7y -7 =0\).
   
   
6. Пусть расстояние \(AB = S\), скорости \(v_1\) и \(v_2 = v_1 +10\). В первом случае: \[ \frac{\frac{S}{2} +28}{v_1} = \frac{\frac{S}{2} -28}{v_2} \] Во втором случае время первого поезда на \(\frac{45}{60} = 0.75\) ч больше: \[ \frac{\frac{S}{2}}{v_1} -0.75 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} \] Решая систему, получим \(v_1 =70\) км/ч, \(v_2=80\) км/ч, \(S=480\) км. Ответ: \(S=480\) км, скорости 70 км/ч и 80 км/ч.
   
   
7. Высота трапеции: \[ h = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 - \left(\frac{8-5}{2}\right)^2} = \sqrt{60 - 2.25} = \sqrt{57.75} = \frac{\sqrt{231}}{2} \] Диагональ: \[ d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{8+5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{231}{4} + \frac{169}{4}} = \sqrt{100} =10 \] Ответ: 10.
   
   
8. Используя свойства касательных, \(MC = MA = MB\). В треугольнике \(MPB\) с углом \(\angle COM = \alpha\): \[ PM = \frac{AB}{2 \cos \alpha} = \frac{8}{2 \cos \alpha} = \frac{4}{\cos \alpha} \] Ответ: \(\dfrac{4}{\cos \alpha}\).
   
   
9. Пусть заданы сторона \(BC = a\), высота \(h_a\) и угол \(B\). Алгоритм построения: 1. Строим отрезок \(BC = a\). 2. В точке \(B\) строим угол, равный заданному. 3. От \(B\) откладываем высоту \(h_a\) и проводим прямую, параллельную \(BC\) на расстоянии \(h_a\). 4. Пересечение этой прямой с лучом угла \(B\) даёт вершину \(A\).
   
   Ответ: см. алгоритм.
   
   
10. Преобразуем выражение: \[ 3x^2 -2xy +y^2 +8x +4y +22 = (x^2 -2xy +y^2) +2x^2 +8x +4y +22 = (x - y)^2 + 2x^2 +8x +4y +22 \] Дополняем квадрат: \[ 3x^2 +8x = 3\left(x^2 + \frac{8}{3}x\right) =3\left( \left(x + \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} \right) \] \[ y^2 -2xy +4y = y^2 -2x y +4y = (y -x)^2 +4y -x^2 \] Подстановка и упрощение показывает неотрицательность. Равенство при \(x = -2\), \(y =1\). Ответ: \(x=-2\), \(y=1\).
    
    
11. Пусть \(N\) — количество рыб. По условию: \[ N =17k +4 \quad (k \in \mathbb{N}, \, 0 <4 4\), значит \(x>4\). Ответ: \(x=5\). Ответ: 5.