Школа №153 из 8 в 9 класс Архив заданий

1. Выполните действия: \[ \bigl(1\tfrac{11}{24}+1\tfrac{13}{36}\bigr)\cdot1.44 -\frac{8}{15}\cdot0.5625 -\frac{1}{6\tfrac{7}{12}-3\tfrac{17}{20}}\cdot2.5 -4\tfrac{1}{3}:0.65 \]
   
   
2. При каких значениях $a$ справедливо равенство \[ \Bigl(\frac{3a+1}{6a}+\frac{4}{3a+3}-2\Bigr) :\frac{3a+1}{3a+3} -\frac{3a^2-5a+1}{2a} =\frac{2-3a}{2}? \]
   
   
3. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ 0,507^3 + 0,493^3 - 0,507\cdot0,493. \]
   
   
4. Вычислите \[ \sqrt{11-6\sqrt2} + \sqrt{33-20\sqrt2} + \sqrt{19-6\sqrt2}. \]
   
   
5. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{\sqrt a}{\sqrt a-2} -\frac{a}{\sqrt a^3+8}\cdot\frac{a-2\sqrt a+4}{\sqrt a-2}\Bigr) :\frac{8}{a-4\sqrt a+4} -\frac{a+\sqrt a+6}{4\sqrt a+8}. \]
   
   
6. Решите уравнение \[ \frac{2x+1}{x^2+3x-4} + \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-2}. \]
   
   
7. Не решая квадратного уравнения $3x^2 - x - 11 = 0$,
   1. найдите $x_1^2 + x_2^2$;
   2. составьте уравнение с целыми коэффициентами, каждый корень которого на единицу больше соответствующего корня данного уравнения.
   
   
   
8. Два поезда отправляются из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу и встречаются на расстоянии 28 км от середины пути. Если бы первый поезд отправился из пункта $A$ на 45 мин раньше второго, то поезда встретились бы на середине пути. Найдите расстояние от $A$ до $B$ и скорости поездов, если скорость первого на 10 км/ч меньше скорости второго.
   
   
9. Бригада рабочих должна была в определённый срок сделать 272 детали. Через 10 дней после начала работы бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже за один день до окончания срока изготовила 280 деталей. Сколько всего деталей было изготовлено к сроку?
   
   
10. Сплав олова с медью массой 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?
    
    
11. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} (x+2)(2-x) -11. \end{cases} \]
    
    
12. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна $2\sqrt{15}$, а основания равны 5 и 8. Найдите диагональ трапеции.
    
    
13. Прямая касается двух окружностей с центрами $O$ и $P$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Через точку $C$, в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую $AB$ в точке $M$. Найдите $PM$, если $AB=8$ и $\angle COM = \alpha$.
    
    
14. Площадь прямоугольника равна $3\sqrt3$ см$^2$. Найдите длину диагонали прямоугольника, если она делит его угол в отношении $1:2$.
    
    
15. Когда Рыбак попытался разложить пойманную им рыбу в пакеты по $x$ штук, получилось 17 пакетов, однако последний из них, содержащий всего 4 рыбы, оказался неполным. Тогда он попытался разложить ту же рыбу в мешки по $x-1$ штук, и это ему удалось. Найдите все натуральные значения $x$, при которых это возможно.

Решения задач

1. Выполните действия: \[ \bigl(1\tfrac{11}{24}+1\tfrac{13}{36}\bigr)\cdot1.44 -\frac{8}{15}\cdot0.5625 -\frac{1}{6\tfrac{7}{12}-3\tfrac{17}{20}}\cdot2.5 -4\tfrac{1}{3}:0.65 \] Решение:
   1. Преобразуем смешанные дроби: \[ 1\tfrac{11}{24} = \frac{35}{24},\quad 1\tfrac{13}{36} = \frac{49}{36} \]
   2. Сумма дробей: \[ \frac{35}{24} + \frac{49}{36} = \frac{105 + 98}{72} = \frac{203}{72} \]
   3. Умножение на 1.44: \[ \frac{203}{72} \cdot \frac{36}{25} = \frac{203 \cdot 36}{72 \cdot 25} = \frac{203}{50} = 4.06 \]
   4. Вычисление второго слагаемого: \[ \frac{8}{15} \cdot 0.5625 = \frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{10} = 0.3 \]
   5. Упрощение знаменателя третьего слагаемого: \[ 6\tfrac{7}{12} - 3\tfrac{17}{20} = \frac{79}{12} - \frac{77}{20} = \frac{395 - 231}{60} = \frac{164}{60} = \frac{41}{15} \]
   6. Третье слагаемое: \[ \frac{1}{\frac{41}{15}} \cdot 2.5 = \frac{15}{41} \cdot \frac{5}{2} = \frac{75}{82} \approx 0.9146 \]
   7. Деление последнего слагаемого: \[ 4\tfrac{1}{3} : 0.65 = \frac{13}{3} \cdot \frac{20}{13} = \frac{20}{3} \approx 6.6667 \]
   8. Итоговый результат: \[ 4.06 - 0.3 - 0.9146 - 6.6667 = -3.8213
   Ответ: $-3.8213$.
   
   
2. При каких значениях $a$ справедливо равенство \[ \Bigl(\frac{3a+1}{6a}+\frac{4}{3a+3}-2\Bigr) :\frac{3a+1}{3a+3} -\frac{3a^2-5a+1}{2a} =\frac{2-3a}{2}? \] Решение:
   1. Упростим выражение в скобках: \[ \frac{3a+1}{6a} + \frac{4}{3(a+1)} - 2 = \frac{(3a+1)(a+1) + 8a - 12a(a+1)}{6a(a+1)} = \frac{-9a^2 - 7a + 1}{6a(a+1)} \]
   2. Деление на дробь: \[ \frac{-9a^2 - 7a + 1}{6a(a+1)} \cdot \frac{3(a+1)}{3a+1} = \frac{-9a^2 - 7a + 1}{2a(3a+1)} \]
   3. Вычитание второго слагаемого: \[ \frac{-9a^2 - 7a + 1}{2a(3a+1)} - \frac{3a^2-5a+1}{2a} = \frac{-18a^2 + 6a}{2a(3a+1)} = \frac{-6a(3a - 1)}{2a(3a+1)} = \frac{-3(3a - 1)}{3a+1} \]
   4. Решение уравнения: \[ \frac{-3(3a - 1)}{3a+1} = \frac{2 - 3a}{2} \implies a = 1
   Ответ: $a = 1$.
   
   
3. Вычислите: \[ 0,507^3 + 0,493^3 - 0,507\cdot0,493. \] Решение: Используем формулу суммы кубов: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] \[ 0.507^3 + 0.493^3 = (0.507 + 0.493)(0.507^2 - 0.507\cdot0.493 + 0.493^2) = 1\cdot(0.257049 - 0.249951 + 0.243049) = 0.250147 \] \[ 0.250147 - 0.507\cdot0.493 = 0.250147 - 0.249951 = 0.000196 \] Ответ: $0.000196$.
   
   
4. Вычислите: \[ \sqrt{11-6\sqrt2} + \sqrt{33-20\sqrt2} + \sqrt{19-6\sqrt2}. \] Решение: Представим подкоренные выражения как квадраты разностей: \[ \sqrt{(3-\sqrt2)^2} + \sqrt{(5-2\sqrt2)^2} + \sqrt{(3\sqrt2-1)^2} = 3-\sqrt2 + 5-2\sqrt2 + 3\sqrt2-1 = 7 \] Ответ: $7$.
   
   
5. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt a}{\sqrt a-2} - \frac{a}{\sqrt a^3+8}\cdot\frac{a-2\sqrt a+4}{\sqrt a-2}\Bigr) :\frac{8}{a-4\sqrt a+4} -\frac{a+\sqrt a+6}{4\sqrt a+8}. \] Решение:
   1. Упростим первую часть: \[ \frac{\sqrt a}{\sqrt a-2} - \frac{a}{(a+2\sqrt a +4)(\sqrt a -2)} = \frac{\sqrt a(\sqrt a + 2) - a}{(a-4)} = \frac{2\sqrt a -4}{a-4} \]
   2. Деление на дробь: \[ \frac{2\sqrt a -4}{a-4} \cdot \frac{a-4\sqrt a+4}{8} = \frac{2(\sqrt a -2)(\sqrt a -2)}{8} = \frac{(\sqrt a -2)^2}{4} \]
   3. Вычитание последнего слагаемого: \[ \frac{(\sqrt a -2)^2}{4} - \frac{a+\sqrt a+6}{4(\sqrt a +2)} = \frac{a -4\sqrt a +4 - a -\sqrt a -6}{4(\sqrt a +2)} = \frac{-5\sqrt a -2}{4(\sqrt a +2)}
   Ответ: $\frac{-5\sqrt a -2}{4(\sqrt a +2)}$.
   
   
6. Решите уравнение: \[ \frac{2x+1}{x^2+3x-4} + \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-2}. \] Решение:
   1. Разложим знаменатели: \[ x^2+3x-4 = (x+4)(x-1),\quad x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \]
   2. Общий знаменатель: $(x+4)(x-1)(x-2)$
   3. Умножим обе части на общий знаменатель: \[ (2x+1)(x-2) + (x+4) = (x+4)(x-1) \]
   4. Раскроем и решим: \[ 2x^2 -3x -2 +x +4 = x^2 +3x -4 \implies x^2 -x +2 = x^2 +3x -4 \implies -4x = -6 \implies x = 1.5 \]
   5. Проверка корня: $x = 1.5$ не обращает знаменатели в ноль.
   Ответ: $x = 1.5$.
   
   
7. Не решая квадратного уравнения $3x^2 - x - 11 = 0$:
   1. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{1}{9} + \frac{22}{3} = \frac{67}{9}$
   2. Новое уравнение: $(y-1)^2 - \frac{1}{3}(y-1) - \frac{11}{3} = 0 \implies 3y^2 -7y -5 = 0$
   Ответ: а) $\frac{67}{9}$; б) $3y^2 -7y -5 = 0$.
   
   
8. Расстояние между пунктами: $2(28 + \frac{d}{2}) = 168$ км. Скорости: 60 км/ч и 70 км/ч. Ответ: 168 км, 60 км/ч и 70 км/ч.
   
   
9. Пусть дневная норма — $x$ деталей. Уравнение: $10x + (x+4)(t-11) = 280$. Решение: $x = 16$, всего деталей — 272. Ответ: 272 детали.
   
   
10. Масса меди: $12 \cdot 0.45 = 5.4$ кг. Новый сплав: $\frac{5.4}{12 + m} = 0.4 \implies m = 1.5$ кг. Ответ: 1.5 кг.
    
    
11. Решение системы: \[ \begin{cases} (-x^2 -2x +4 > -x^2 +x +12) \implies -3x > 8 \\ (5x -7 \ge 12) \implies x \ge 3.8 \\ x < \frac{11}{3} \end{cases} \] Ответ: $3.8 \le x < \frac{11}{3}$.
    
    
12. Диагональ: $\sqrt{(8-2.5)^2 + (2\sqrt{15})^2 -2 \cdot 5.5 \cdot 2\sqrt{15} \cdot \cos(90^\circ)} = 13$. Ответ: 13.
    
    
13. Используя подобие треугольников: $PM = \frac{8}{\sin \alpha}$. Ответ: $\frac{8}{\sin \alpha}$.
    
    
14. Угол между диагональю и стороной 30°. Стороны: $a = \sqrt{3}$, $b = 3$. Диагональ: $\sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3}$. Ответ: $2\sqrt{3}$ см.
    
    
15. Уравнения: $17x -13 = k(x-1)$. Решения: $x = 5, 9, 17$. Ответ: 5, 9, 17.