Школа №153 из 8 в 9 класс 2023 Вариант 1

1. Вычислите: \[ 5{,}52^2 \;-\; 2{,}17^2 \;-\; 5{,}69\cdot3{,}35. \]
   
   
2. Упростите выражение: \[ \Bigl(\sqrt{a} -\frac{9b-4a}{\,a-\sqrt{ab}+b\,} \;\colon\; \frac{2a-\sqrt{ab}-3b}{\,a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\,}\Bigr) \cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b}). \]
   
   
3. Решите уравнение: \[ \frac{7}{x^2-2x} \;-\; \frac{2}{x-2} = \frac{12}{x^3-4x}. \]
   
   
4. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта \(A\) в пункт \(B\), расположенный в 30~км от \(A\) ниже по течению. Пробыв в пункте \(B\) 2~ч 30~мин, лодка отправилась назад и вернулась в пункт \(A\) в 18:00 того же дня. Определите собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки равна 1~км/ч.
   
   
5. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) из вершины прямого угла \(C\) проведена высота \(CH\). Найдите \(BH\), если \(AB=15\) и \(\sin A=\tfrac{3}{5}\).
   
   
6. В параллелограмме \(ABCD\) проведены биссектрисы углов \(A\) и \(B\), пересекающие стороны \(BC\) и \(AD\) в точках \(E\) и \(M\) соответственно. Найдите площадь четырёхугольника \(ABEM\), если \(AE=8\) и \(BM=6\).
   
   
7. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7, а в остатке 6. Найдите все такие двузначные числа.
   
   
8. Кузнец делает серебряные подковы. Из одной заготовки ему удаётся выковать 3 подковы, причём часть материала остаётся. Затем остатки от ровно 11 заготовок переплавляют в массу, из которой делают 5 новых заготовок, которые кузнец снова пускает в дело. Найдите наибольшее количество подков, которые можно сделать, имея в начале 37 заготовок.

Решения задач

1. Вычислите: \[ 5{,}52^2 \;-\; 2{,}17^2 \;-\; 5{,}69\cdot3{,}35. \] Решение:
   Применим формулу разности квадратов к первым двум слагаемым: \[ (5{,}52 - 2{,}17)(5{,}52 + 2{,}17) - 5{,}69 \cdot 3{,}35 = 3{,}35 \cdot 7{,}69 - 5{,}69 \cdot 3{,}35. \] Вынесем общий множитель 3,35: \[ 3{,}35 \cdot (7{,}69 - 5{,}69) = 3{,}35 \cdot 2 = 6{,}70. \] Ответ: 6,7.
   
   
2. Упростите выражение: \[ \Bigl(\sqrt{a}-\frac{9b-4a}{\,a-\sqrt{ab}+b\,}\;\colon\;\frac{2a-\sqrt{ab}-3b}{\,a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\,}\Bigr)\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b}). \] Решение:
   Упростим сложную дробь: \begin{align*} &\frac{9b - 4a}{a - \sqrt{ab} + b} \cdot \frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{2a - \sqrt{ab} - 3b} = \\ &\frac{-(4a - 9b)}{a - \sqrt{ab} + b} \cdot \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{(2a - 3b) - \sqrt{ab}} = \\ &\frac{-(2\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(2a - 3b)}{a - \sqrt{ab} + b} \cdot \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{(2a - 3b) - \sqrt{ab}} = - (2\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}). \end{align*} Подставляем в исходное выражение: \[ (\sqrt{a} + (2\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \\ (3\sqrt{a} - 3\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = 3(a - 2\sqrt{ab} + b). \] Ответ: \(3(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2\).
3. Решите уравнение: \[ \frac{7}{x^2-2x} \;-\; \frac{2}{x-2} = \frac{12}{x^3-4x}. \] Решение:
   Разложим знаменатели на множители: \[ x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2), \quad x^2 - 2x = x(x - 2). \] Приведем уравнение к общему знаменателю \(x(x - 2)(x + 2)\): \[ 7(x + 2) - 2x(x + 2) = 12. \] Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 7x + 14 - 2x^2 - 4x = 12 \quad \Rightarrow \quad -2x^2 + 3x + 2 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{-4} = \frac{-3 \pm 5}{-4}, \quad x_1 = 2, \, x_2 = -\frac{1}{2}. \] Проверка показывает, что \(x = 2\) — посторонний корень.
   Ответ: \(-\frac{1}{2}\).
4. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения 1 км/ч.
   Решение: Общее время движения: \(18:00 - 10:00 - 2{,}5\ ч = 5{,}5\ ч\).
   Уравнение для времени: \[ \frac{30}{v + 1} + \frac{30}{v - 1} = 5{,}5. \] Приводим к общему знаменателю: \[ 30(v - 1) + 30(v + 1) = 5{,}5(v^2 - 1) \quad \Rightarrow \quad 60v = 5{,}5v^2 - 5{,}5. \] Решаем квадратное уравнение: \[ 11v^2 - 120v - 11 = 0 \quad \Rightarrow \quad v = \frac{120 + \sqrt{14400 + 484}}{22} = 11\ \text{км/ч}. \] Ответ: 11 км/ч.
5. Найдите \(BH\), если \(AB=15\) и \(\sin A=\tfrac{3}{5}\).
   Решение: \[ BC = AB \cdot \sin A = 15 \cdot \tfrac{3}{5} = 9; \quad AC = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12. \] Высота \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12 \cdot 9}{15} = 7{,}2\).
   Тогда \(BH = \frac{BC^2}{AB} = \frac{81}{15} = 5{,}4\).
   Ответ: 5,4.
   
   
6. Найдите площадь четырёхугольника \(ABEM\).
   Решение:
   Биссектрисы делят углы пополам. В параллелограмме биссектрисы отсекают равнобедренные треугольники: \(ABE\) и \(BAM\).
   Из свойств биссектрис: \[ AE = 8,\ BM = 6 \quad \Rightarrow \quad AB = AM + BE = 6 + 8 - AB \quad \Rightarrow \quad AB = 7. \] Площадь \(ABEM\) равна сумме площадей треугольников \(ABE\) и \(ABM\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \cdot \sin 45^\circ + \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 7 \cdot (8 + 6) = 49\sqrt{2}. \] Ответ: \(49\sqrt{2}\).
7. Найдите все двузначные числа.
   Решение:
   Пусть число \(\overline{ab} = 10a + b\). Уравнение: \[ 10a + b = 7(a + b) + 6 \quad \Rightarrow \quad 3a - 6b = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 2b + 2. \] Перебор \(b\) от 1 до 3 даёт числа: \(41, 62, 83\).
   Ответ: 41, 62, 83.
8. Найдите наибольшее количество подков.
   Решение:
   Расчет цикла переработки:
   • 37 заготовок → \(37 \cdot 3 = 111\) подков, остатки → 37 фрагментов.
   • После 3 циклов: \(37 - 11 \cdot 3 = 4\) остатка. Новые заготовки: \(3 \cdot 5 = 15\).
     Итого подков: \(111 + 3 \cdot 55 = 111 + 165 = 276\).
   • Остатки от 15 заготовок: \(15 + 4 = 19\). Ещё 11 → 5 заготовок → 15 подков.
     Итого: \(276 + 15 = 291\).
   • Остатки: \(8 + 5 = 13\). Последний цикл: \(11 → 5\), подковы \(15\).
     Итого: \(291 + 15 = 306\).
   Ответ: 306.