Школа №153 из 8 в 9 класс 2019 Вариант 1

1. Выполните действия: \[ 0,815\cdot\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr) -\frac{1}{6}\bigl(-4,385\bigr) +0,815\cdot\frac{1}{6}\bigl(-4,385\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr). \]
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{8 - a\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} : \Bigl(2 + \frac{a}{\sqrt{a} + 2}\Bigr) \;+\; \frac{2\sqrt{a} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{a} - 2} \;\cdot\; \frac{a + a\sqrt{2} - 2\sqrt{a} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}}. \]
   
   
3. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7, а в остатке 6. Найдите все такие двузначные числа.
   
   
4. Не решая уравнения \(x^2 - 4x - 1 = 0\), найдите значение выражения \[ \frac{x_1^2}{x_2} \;+\;\frac{x_2^2}{x_1}, \] где \(x_1\) и \(x_2\) — корни данного уравнения.
   
   
5. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) из вершины прямого угла \(C\) проведена высота \(CH\). Найдите \(AH\), если \(AC=15\), \(AB=50\).
   
   
6. В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой острого угла при основании. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна \(9\sqrt3\). (Площадь трапеции вычисляется по формуле \(\displaystyle S=\frac{a+b}{2}\,h\), где \(a\) и \(b\) — основания трапеции, \(h\) — высота.)
   
   
7. После смешивания двух растворов кислоты, первый из которых содержал 36 г, а второй 27 г чистой кислоты, получили раствор общей массой 450 г. Найдите массу каждого из первоначальных растворов, если разность концентраций первого и второго растворов была 15\%.
   
   
8. Когда староста класса распределил задачи для зачёта поровну между учениками, тем показалось, что получается слишком много. Тогда в процесс решения были вовлечены ещё 15 учеников параллельного класса, и число задач на каждого уменьшилось вдвое, но 3 задачи остались нераспределёнными. Сколько задач было выдано классу для зачёта? Найдите все варианты.
   
   
9. Найдите все такие значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ (a^2 - a - 2)\,x^2 - (a - 2)\,x + 1 = 0 \] имеет единственный корень.

Решения задач

1. Выполните действия: \[ 0,815\cdot\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr) -\frac{1}{6}\bigl(-4,385\bigr) +0,815\cdot\frac{1}{6}\bigl(-4,385\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr). \]
   Решение: Последовательно вычислим каждое слагаемое: \[ 0,815 \cdot \Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr) = -\frac{1630}{3000} = -\frac{163}{300} \approx -0,543, \] \[ \frac{1}{6} \cdot 4,385 = \frac{4385}{6000} = \frac{877}{1200} \approx 0,731, \] \[ 0,815 \cdot \frac{1}{6} \cdot 4,385 \cdot \frac{2}{3} = \frac{815 \cdot 4385 \cdot 2}{1000 \cdot 1000 \cdot 18} \approx 0,397. \] Суммируя результаты: \[ -0,543 + 0,731 + 0,397 = 0,585. \] Ответ: 0,585.
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{8 - a\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} : \Bigl(2 + \frac{a}{\sqrt{a} + 2}\Bigr) \;+\; \frac{2\sqrt{a} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{a} - 2} \;\cdot\; \frac{a + a\sqrt{2} - 2\sqrt{a} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}}. \]
   Решение: Упростим первое слагаемое: \[ \frac{8 - a\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \frac{8 - a^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}}} = \frac{(2^{\frac{3}{2}})^3 - (a^{\frac{3}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}}} = 2^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + a = 2\sqrt{2} - \sqrt{2a} + a. \] Знаменатель второго множителя: \[ 2 + \frac{a}{\sqrt{a} + 2} = \frac{2\sqrt{a} + 4 + a}{\sqrt{a} + 2} = \frac{a + 2\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 2}. \] Деление заменяем умножением на обратное: \[ \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{2a} + a}{1} \cdot \frac{\sqrt{a} + 2}{a + 2\sqrt{a} + 4} = \frac{(a + 2\sqrt{2} - \sqrt{2a})(\sqrt{a} + 2)}{a + 2\sqrt{a} + 4}. \] Второе слагаемое: \[ \frac{2(\sqrt{a} - \sqrt{2})}{\sqrt{a} - 2} \cdot \frac{a(\sqrt{2} + 1) - 2(\sqrt{a} + \sqrt{2})}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{a\sqrt{2} + a - 2\sqrt{a} - 2\sqrt{2}}{(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - 2)}. \] После сокращений и сложения слагаемых общий результат упрощается до: \[ \sqrt{2} + \sqrt{a}. \] Ответ: \sqrt{a} + \sqrt{2}.
   
   
3. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7, а в остатке 6. Найдите все такие двузначные числа.
   Решение: Пусть двузначное число равно \(10a + b\), где \(a\) — десятки, \(b\) — единицы. По условию: \[ 10a + b = 7(a + b) + 6 \implies 3a - 6 = 6b \implies a = 2b + 2. \] При \(b = 6\): \(a = 2 \cdot 6 + 2 = 14\), недопустимо. Перебирая \(b = 3, 4, 5\), получаем: \[ \begin{cases} b = 3 \implies a = 8 \implies \text{83}, \\ b = 4 \implies a = 10 \quad \text{(недопустимо)}, \\ b = 5 \implies a = 12 \quad \text{(недопустимо)}. \end{cases} \] Ответ: 83.
   
   
4. Не решая уравнения \(x^2 - 4x - 1 = 0\), найдите значение выражения \[ \frac{x_1^2}{x_2} \;+\;\frac{x_2^2}{x_1}. \]
   Решение: По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 4\), \(x_1x_2 = -1\). Преобразуем выражение: \[ \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)}{x_1x_2} = \frac{64 - 3(-1)(4)}{-1} = \frac{76}{-1} = -76. \] Ответ: -76.
   
   
5. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) из вершины прямого угла \(C\) проведена высота \(CH\). Найдите \(AH\), если \(AC=15\), \(AB=50\).
   Решение: По теореме Пифагора: \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{2500 - 225} = 47,5\). Высота: \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 47,5}{50} = 14,25. \] Проекция \(AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{225}{50} = 4,5\). Ответ: 4,5.
   
   
6. В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой острого угла при основании. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна \(9\sqrt3\).
   Решение: Пусть \(AB\) и \(CD\) — основания, диагональ \(AC \perp AD\). Углы при основании равны \(30^\circ\), высота \(h = AD \sin 30^\circ = \frac{AD}{2}\). Из площади: \[ \frac{AB + CD}{2} \cdot h = 9\sqrt3 \implies h = 3\sqrt3. \] Ответ: 3\sqrt3.
   
   
7. После смешивания двух растворов кислоты, первый из которых содержал 36 г, а второй 27 г чистой кислоты, получили раствор общей массой 450 г. Найдите массу каждого из первоначальных растворов, если разность концентраций первого и второго растворов была 15\%.
   Решение: Пусть массы растворов \(m_1\) и \(m_2\), концентрации \(c_1\) и \(c_2\). Тогда: \[ \begin{cases} m_1 + m_2 = 450, \\ 36 + 27 = c_1m_1 + c_2m_2, \\ c_1 - c_2 = 0,15. \end{cases} \] Решая систему, находим \(m_1 = 150\) г, \(m_2 = 300\) г. Ответ: 150г, 300г.
   
   
8. Когда староста класса распределил задачи для зачёта поровну между учениками, тем показалось, что получается слишком много. Тогда в процесс решения были вовлечены ещё 15 учеников параллельного класса, и число задач на каждого уменьшилось вдвое, но 3 задачи остались нераспределёнными. Сколько задач было выдано классу для зачёта? Найдите все варианты.
   Решение: Пусть \(N\) — число задач, \(k\) — исходное число учеников. Тогда: \[ \begin{cases} N = kx, \\ N - 3 = 2x(k + 15). \end{cases} \] Подставляя \(x = \frac{N}{k}\), получим: \[ N - 3 = 2(N/k)(k + 15) \implies N - \frac{2N(k + 15)}{k} = 3 \implies k = 15, N = 120. \] Ответ: 120.
   
   
9. Найдите все такие значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ (a^2 - a - 2)\,x^2 - (a - 2)\,x + 1 = 0 \] имеет единственный корень.
   Решение: Единственный корень возможен, если:
   • Коэффициент при \(x^2\) равен нулю, а линейное уравнение имеет корень: \(a^2 - a - 2 = 0 \implies a = -1, 2\). При \(a = -1\) уравнение \(3x + 1 = 0\) имеет корень. При \(a = 2\) уравнение \(1 = 0\) не имеет корней.
   • Дискриминант равен нулю: \[ [-(a - 2)]^2 - 4(a^2 - a - 2) \cdot 1 = 0 \implies 5a - 12 = 0 \implies a = \frac{12}{5}. \]
   Ответ: a = -1, a = \frac{12}{5}.