8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1529 из 8 в 9 класс демовариант

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Печать
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения \[ \frac{8}{19} - \frac{17}{38} \div \frac{19}{5} \]
    Решение: Выполним деление первым действием:
    $\frac{17}{38} \div \frac{19}{5} = \frac{17}{38} \cdot \frac{5}{19} = \frac{85}{722}$
    Теперь вычитаем из первой дроби:
    $\frac{8}{19} - \frac{85}{722} = \frac{8 \cdot 38}{722} - \frac{85}{722} = \frac{304 - 85}{722} = \frac{219}{722} = \frac{3}{19} \cdot \frac{73}{38} = \frac{219}{722}$
    Ответ: $\frac{219}{722}$.

  2. Какое из данных чисел принадлежит промежутку \([7;8]\)?
    1. \(\sqrt{7} \approx 2,65\) Нет
    2. \(\sqrt{8} \approx 2,83\) Нет
    3. \(\sqrt{42} \approx 6,48\) Нет
    4. \(\sqrt{61} \approx 7,81\) Да

    Ответ: D.

  3. Какое из данных выражений равно \(36\cdot 6^n\)?
    Решение: Представим \(36\) как \(6^2\):
    \(36 \cdot 6^n = 6^2 \cdot 6^n = 6^{n+2}\)
    Ответ: А.

  4. Решите уравнение \[ x^2 + 3x = 10 \]
    Решение: Приведем уравнение к стандартному виду:
    \(x^2 + 3x - 10 = 0\)
    Вычислим дискриминант:
    \(D = 9 + 40 = 49\)
    Корни уравнения:
    \(x = \frac{-3 \pm 7}{2}\), \(x_1 = 2\), \(x_2 = -5\)
    Ответ: \(2\), \(-5\).

  5. Установите соответствие между графиками функций:
    Графики: А – гипербола \(y = \frac{k}{x}\), Б – прямая, В – парабола
    Формулы: 1) \(y = 2x\) (прямая) – Б; 2) \(y = \frac{5}{x}\) (гипербола) – А; 3) \(y = x^2\) (парабола) – В
    Ответ:
    .

  6. Найдите десятый член арифметической прогрессии \(-1,\;-3,\;-5,\;\dots\)
    Решение: Разность прогрессии \(d = -2\):
    \(a_{10} = a_1 + 9d = -1 + 9 \cdot (-2) = -19\)
    Ответ: \(-19\).

  7. Упростите выражение \((1 - 2c)^2 - 4c(c+1)\) при \(c = -\tfrac{1}{4}\)
    Решение: Раскроем скобки:
    \(1 - 4c + 4c^2 - 4c^2 - 4c = 1 - 8c\)
    Подставим \(c = -\tfrac{1}{4}\):
    \(1 - 8 \cdot (-\tfrac{1}{4}) = 1 + 2 = 3\)
    Ответ: \(3\).

  8. Укажите множество решений системы неравенств \[ \begin{cases} x > 1,\\ 4 - x > 0. \end{cases} \]
    Решение: Решим каждое неравенство:
    \(x > 1\) и \(x < 4\). Объединяем: \(x ∈ (1;4)\)
    Ответ: \( (1;\;4) \).

  9. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2 + y = 7,\\ 2x^2 - y = 5. \end{cases} \]
    Решение: Сложим уравнения:
    \(3x^2 = 12 ⇒ x^2 = 4 ⇒ x = ±2\)
    Подставим \(x\) в первое уравнение:
    \(y = 7 - x^2 = 3\)
    Ответ: \((2;\;3)\), \((-2;\;3)\).

  10. Найдите скорость первого автомобиля, если он прибывает на финиш на \(1\) ч \(4\) мин раньше второго.
    Решение: Пусть скорость второго \(v\) км/ч. Тогда скорость первого \(v + 20\) км/ч.
    Составим уравнение по времени:
    \(\frac{240}{v} - \frac{240}{v + 20} = \frac{16}{15}\)
    Упрощаем:
    \(240 \cdot 15 \cdot (v + 20 - v) = 16v(v + 20)\)
    \(3600 \cdot 20 = 16v^2 + 320v ⇒ v^2 + 20v - 4500 = 0\)
    Решая уравнение, получаем \(v = 60\) км/ч
    Скорость первого: \(60 + 20 = 80\) км/ч
    Ответ: \(80\) км/ч.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Во всяком параллелограмме верными являются утверждения:
    1. [4.] \(AB = CD\) и \(\angle B = \angle D\).
      Ответ: 4.
  2. Оба утверждения А и Б верны. Ответ: 3.
  3. В параллелограмме \(ABCD\) с равными диагоналями (\(\Rightarrow\) прямоугольник) \(\angle BAC = 40^\circ\).
    Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Он равнобедренный (\(AC = BD\)), поэтому \(\angle BCA = \angle BAC = 40^\circ\).
    Ответ: 40.
  4. В ромбе диагонали делят углы пополам. \(\angle ABD = 54^\circ \Rightarrow \angle ABC = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ\).
    Сумма соседних углов ромба равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle BCD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\).
    Ответ: 72.
  5. Площадь параллелограмма \(S = a \cdot h\). Для стороны 10 см: \(h = \frac{40}{10} = 4\) см.
    Ответ: 4.
  6. Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{медиана}\).
    Основание \(= \frac{2S}{\text{медиана}} = \frac{2 \cdot 28}{7} = 8\) см. Ответ: 2.
  7. Высота делит основание пополам. Используя теорему Пифагора: боковая сторона \(= \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\) см. Ответ: 13.
  8. Вторая сторона: \(\frac{24}{2} - 4 = 8\) см. Площадь: \(4 \cdot 8 = 32\) см\(^2\). Ответ: 32.
  9. Пусть \(c\) — гипотенуза, \(a\) — катет: \[ \begin{cases} c + a = 16 \\ c^2 = a^2 + 8^2 \end{cases} \Rightarrow a = 6 \text{ см}, c = 10 \text{ см}. \] Ответ: катет — 6 см, гипотенуза — 10 см.
  10. Теорема о площади трапеции: площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту.
    Доказательство: трапеция разбивается диагональю на два треугольника с общей высотой. Сумма их площадей: \(S = \frac{1}{2}(a + b)h\).
  11. Коэффициент подобия \(k = \frac{0,8}{4} = 0,2\). Наибольшая сторона: \(6 \cdot 0,2 = 1,2\). Ответ: 2.
  12. Отношение оснований равно отношению отрезков диагоналей: \(\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} \Rightarrow BC = 2\). Ответ: 2.
  13. Треугольники \(ACD\) и \(DFB\) подобны (\(CD\) — общий катет). Коэффициент подобия \(k = \frac{AC}{DF} = \frac{4}{16} = 0,25\). \(BF = 20 \Rightarrow AB = BF \cdot k + AC = 5 + 4 = 9\). Ответ: 9.
  14. Средняя линия \(MN = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 8\). AB = 2MB = 4, AC = 2NC = 6. Периметр: \(4 + 8 + 6 = 18\). Ответ: 18.
  15. Теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
    Доказательство: площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия (рассматриваются отношения сторон и высот).
  16. Соответствия: \[

    \] Ответ: А — 1, Б — 3, С — 4.
  17. Угол между касательной и радиусом равен \(90^\circ\). Ответ: 2.
  18. В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\): \(y = 4\), \(x = 8\). Ответ: \(x = \boxed{8}\), \(y = \boxed{4}\).
  19. Теорема: точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
    Доказательство: симметрия равных треугольников \(AMX\) и \(BMX\) (где \(M\) — середина \(AB\)).
  20. Дуга \(AC = 108^\circ \Rightarrow\) центральный угол \(AOC = 108^\circ\). Вписанный угол \(ABC = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ\). Углы при основании: \(\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 54^\circ}{2} = 63^\circ\). Ответ: \(\angle A = \boxed{63^\circ}\), \(\angle C = \boxed{63^\circ}\), \(\angle B = \boxed{54^\circ}\).
Материалы школы Юайти