Вступительный экзамен в Школа №1529 из 8 в 9 класс 2017 год -

Школа:

Сложность:

Дата экзамена: 2017

youit.school ©

Демонстрационный вариант
по АЛГЕБРЕ для поступающих в 9 класс

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность составить представление о структуре работы, количестве заданий, их форме, уровне сложности.

Часть 1 (задания с 1 по 15) на 60 минут

Выполняя задания 1–6, 8 и 12, обведите номер правильного ответа. Выполняя задания 9, 13 и 14, впишите ответ в указанное место. Задания 7, 10, 11 и 15 выполните на отдельном подписанном листе.

Сократите дробь $\displaystyle \frac{7a^2c^5}{35a^4c}$.
1. $\displaystyle \frac{c^5}{5a^4}$
2. $\displaystyle \frac{c^4}{5a^6}$
3. $\displaystyle \frac{7c^4}{35a^{10}}$
4. $\displaystyle \frac{a^6c^4}{5}$
Сократите дробь $\displaystyle \frac{21n - 7mn}{(m-3)^2}$.
1. $\displaystyle \frac{7n}{m-3}$
2. $\displaystyle \frac{7n}{3-m}$
3. $\displaystyle \frac{21n}{m-3}$
4. $\displaystyle \frac{3n}{3-m}$
Выполните вычитание дробей: $\displaystyle \frac{m+n}{2mn} - \frac{m-n}{2mn}$.
1. $\displaystyle \frac{1}{m}$
2. $0$
3. $\displaystyle \frac{1}{n}$
4. $\displaystyle \frac{1}{2mn}$
Представьте в виде дроби выражение $\displaystyle \frac{x+5}{x-7} + \frac{7x-5}{7-x}$.
1. $-\displaystyle \frac{6x}{x-7}$
2. $\displaystyle \frac{6x+10}{x-7}$
3. $\displaystyle \frac{8x}{x-7}$
4. $\displaystyle \frac{10-6x}{x-7}$
Возведите в степень: $\displaystyle \biggl(-\frac{10m^3}{n^2p}\biggr)^3$.
1. $\displaystyle \frac{10m^9}{n^6p^3}$
2. $-\displaystyle \frac{10m^9}{n^2p}$
3. $\displaystyle \frac{1000m^6}{n^5p^3}$
4. $\displaystyle \frac{1000m^9}{n^6p^3}$
Выполните умножение: $\displaystyle 4a^2x^5 \cdot \frac{3}{7ax}$.
1. $ax^4$
2. $\displaystyle \frac{4ax^4}{7}$
3. $\displaystyle \frac{12ax^4}{7}$
4. $\displaystyle \frac{12x^4}{7a}$
Упростите выражение $\displaystyle \frac{b^2 - 8b + 16}{2b + 6} : \frac{b^2 - 16}{4b + 12}$ и найдите его значение при $b = 2{,}4$.
Какое из чисел $\sqrt{90}$, $\sqrt{0{,}09}$, $\sqrt{0{,}009}$ является рациональным?
1. $\sqrt{90}$
2. $\sqrt{0{,}09}$
3. $\sqrt{0{,}009}$
4. ни одно из этих чисел
Вычислите: $\displaystyle \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$.
Упростите выражение $\displaystyle \sqrt{\bigl(\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr)^2}$. Объясните преобразования.
Упростите выражение $\displaystyle (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - \sqrt{60}$. Запишите подробное решение.
Решите уравнение $\displaystyle 8x^2 - 24 = 0$.
1. нет корней
2. $4,\, -4$
3. $3$
4. $\sqrt{3},\, -\sqrt{3}$
Решите уравнение $\displaystyle x^2 - 7x = 0$.
Решите уравнение $\displaystyle x^2 + 7x + 12 = 0$.
Решите графически уравнение $\displaystyle (x-2)^2 = x + 4$.

Часть 2 (задания с 16 по 30) на 60 минут

Выполняя задания 16, 20, 22, 23, 25 и 29, обведите номер правильного ответа. Выполняя задания 17, 24, 27, 28 и 30, впишите ответ в указанное место. Задания 18, 19, 21 и 26 выполните на отдельном листе.
Рациональным (дробным рациональным) уравнением является \[ \text{1) }x+5 = x^2 - 8,\quad \text{2) }2x = \sqrt{x},\quad \text{3) }\frac{1}{x+2} = \frac{x}{x-1},\quad \text{4) }\frac{x^2}{\sqrt{x-1}} = 2. \]
Решите уравнение \[ \frac{4}{2x-3} = \frac{7}{x+1}. \]
Решите уравнение \[ \frac{m^2 - 2m}{m - 1} \;-\; \frac{1 - 2m}{m - 1} = 0. \] Запишите подробное решение.
Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Если верно неравенство $a - 21 \ge b - 21$, то
1. $a \ge b$
2. $a \le b$
3. $a > b$
4. $a < b$
Оцените значение выражения $2a - b$, если известно, что $-1 < a < 2$ и $-2 < b < 0$.
Какое число является решением неравенства \[ 1 - 5x > x + 2? \]
1. $0$
2. $2$
3. $-1$
4. $5$
Решите неравенство \[ -2x < 5. \]
1. $x < -2{,}5$
2. $x > -2{,}5$
3. $x > 3$
4. $x > 7$
Решите неравенство \[ (x - 2)(x + 2) - x(x + 5) \le 6. \]
Решите систему неравенств \[ \begin{cases} 3x - 6 \ge 0,\\ x + 2 > 0. \end{cases} \]
1. решений нет
2. $(-2; +\infty)$
3. $[2; +\infty)$
4. $(-2; 2]$
Один ластик стоит целое число рублей. Определите его стоимость, если известно, что 8 ластиков стоят больше 56 рублей, а 11 ластиков стоят меньше 99 рублей.
Вычислите: \[ \bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{-2}. \]
Представьте выражение \[ \frac{y^{-4}\cdot y^{-3}}{y^7} \] в виде степени с основанием $y$.
Упростите выражение \[ \bigl(\tfrac{3}{4}a^{-1}b^{-3}\bigr)^2. \]
1. $\tfrac{3}{4}a^{-2}b^{-6}$
2. $\tfrac{9}{16}a^2b^6$
3. $\tfrac{9}{16}ab^{-1}$
4. $\tfrac{9}{16}a^{-2}b^{-6}$
Вычислите: \[ \frac{7^5\cdot(7^{-4})^2}{7^{-2}}. \]

Материалы школы Юайти

youit.school ©

Решения задач

Сократите дробь $\displaystyle \frac{7a^2c^5}{35a^4c}$. Решение: Упростим коэффициент: $7/35 = 1/5$. Для переменных: $a^{2-4} = a^{-2} = 1/a^2$, $c^{5-1} = c^4$. Итоговая дробь: $\displaystyle \frac{c^4}{5a^2}$. Ответ отсутствует среди предложенных вариантов. Возможная ошибка в условии задачи. При соблюдении исходной формулировки правильного варианта нет.
Сократите дробь $\displaystyle \frac{21n - 7mn}{(m-3)^2}$. Решение: Вынесем общий множитель в числителе: $7n(3 - m) = -7n(m - 3)$. Знаменатель: $(m-3)^2$. Сокращаем: $\displaystyle \frac{-7n(m-3)}{(m-3)^2} = \frac{-7n}{m-3} = \frac{7n}{3-m}$. Ответ: 2.
Выполните вычитание дробей: $\displaystyle \frac{m+n}{2mn} - \frac{m-n}{2mn}$. Решение: Общий знаменатель $2mn$. Вычитаем числители: $(m+n) - (m-n) = 2n$. Результат: $\displaystyle \frac{2n}{2mn} = \frac{1}{m}$. Ответ: 1.
Представьте в виде дроби выражение $\displaystyle \frac{x+5}{x-7} + \frac{7x-5}{7-x}$. Решение: Учтем, что $7-x = -(x-7)$. Преобразуем вторую дробь: $\displaystyle \frac{7x-5}{7-x} = -\frac{7x-5}{x-7}$. Теперь сложение: $\displaystyle \frac{x+5 - (7x-5)}{x-7} = \frac{-6x+10}{x-7} = \frac{10−6x}{x−7}$. Ответ: 4.
Возведите в степень: $\displaystyle \biggl(-\frac{10m^3}{n^2p}\biggr)^3$. Решение: Возведем все компоненты в третью степень: $(-10)^3 = -1000$, $(m^3)^3 = m^9$, $(n^2)^3 = n^6$, $p^3$. Итог: $\displaystyle -\frac{1000m^9}{n^6p^3}$. Ответ отсутствует среди вариантов. Возможно, в условии ошибка.
Выполните умножение: $\displaystyle 4a^2x^5 \cdot \frac{3}{7ax}$. Решение: Коэффициенты: $4 \cdot 3/7 = 12/7$. Для переменных: $a^{2-1} = a^{1}$, $x^{5-1} = x^4$. Результат: $\displaystyle \frac{12ax^4}{7}$. Ответ: 3.
Упростите выражение $\displaystyle \frac{b^2 - 8b + 16}{2b + 6} : \frac{b^2 - 16}{4b + 12}$ и найдите его значение при $b = 2{,}4$. Решение: Разложим на множители: Числитель первого выражения: $(b-4)^2$. Знаменатель первого выражения: $2(b+3)$. Числитель второго выражения: $(b-4)(b+4)$. Второй знаменатель: $4(b+3)$. Преобразуем деление в умножение: $\displaystyle \frac{(b-4)^2}{2(b+3)} \cdot \frac{4(b+3)}{(b-4)(b+4)} = \frac{2(b-4)}{b+4}$. Подстановка $b=2{,}4$: $\displaystyle \frac{2(2{,}4−4)}{2{,}4+4} = \frac{2(−1{,}6)}{6{,}4} = −0{,}5$. Ответ: $-0{,}5$.
Какое из чисел $\sqrt{90}$, $\sqrt{0{,}09}$, $\sqrt{0{,}009}$ является рациональным? Решение: $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ — рационально. Остальные иррациональны. Ответ: 2.
Вычислите: $\displaystyle \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$. Решение: $\displaystyle \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3$. Ответ: $3$.
Упростите выражение $\displaystyle \sqrt{\bigl(\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr)^2}$. Решение: Квадратный корень из квадрата равен модулю: $|\sqrt{2} − \sqrt{5}| = \sqrt{5} − \sqrt{2}$ (так как $\sqrt{5} > \sqrt{2}$). Ответ: $\sqrt{5} − \sqrt{2}$.
Упростите выражение $\displaystyle (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - \sqrt{60}$. Решение: Раскроем квадрат суммы: $(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{15} + (\sqrt{3})^2 − \sqrt{60} = 5 + 3 + 2\sqrt{15} − 2\sqrt{15} = 8$. Ответ: $8$.
Решите уравнение $\displaystyle 8x^2 - 24 = 0$. Решение: $8x^2 = 24 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$. Ответ: 4.
Решите уравнение $\displaystyle x^2 - 7x = 0$. Решение: Факторизуем: $x(x − 7) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 7$. Ответ: $0; 7$.
Решите уравнение $\displaystyle x^2 + 7x + 12 = 0$. Решение: Факторизуем: $(x + 3)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = −3$ или $x = −4$. Ответ: $-3; −4$.
Решите графически уравнение $\displaystyle (x-2)^2 = x + 4$. Решение: Преобразуем: $x^2 − 4x +4 = x +4 \Rightarrow x^2 − 5x =0 \Rightarrow x(x −5) =0 \Rightarrow x = 0$ или $x=5$. Точки пересечения $(0,4)$ и $(5,9)$. Ответ: $0; 5$.
Рациональным уравнением является Ответ: 3 (Уравнение $\frac{1}{x+2} = \frac{x}{x-1}$).
Решите уравнение $\displaystyle \frac{4}{2x-3} = \frac{7}{x+1}$. Решение: Перекрестное умножение: $4(x+1) =7(2x−3) \Rightarrow 4x +4 =14x −21 \Rightarrow 10x =25 \Rightarrow x=2{,}5$. Ответ: $2{,}5$.
Решите уравнение $\displaystyle \frac{m^2 - 2m}{m - 1} \;-\; \frac{1 - 2m}{m - 1} = 0$. Решение: Совместим дроби: $\frac{m^2−2m−1+2m}{m−1} =0 \Rightarrow \frac{m^2−1}{m−1} =0 \Rightarrow m+1=0 \Rightarrow m=−1$ (учитывая, что $m≠1$). Ответ: $-1$.
Найдите скорость лодки. Решение: Пусть $v$ — скорость лодки (км/ч). Время движения: $\frac{10}{v} + \frac{4}{v−3} =1$. Решаем: $10(v−3) +4v =v(v−3) \Rightarrow v^2−17v+30=0$ $\Rightarrow v=15$ км/ч. Ответ: $15$ км/ч.
Если верно неравенство $a - 21 \ge b - 21$, то Ответ: 1 ($a \ge b$).
Оцените выражение $2a − b$ при $-1 <a<2$ и $-2 <b<0$. Решение: Минимум: $2(-1) −0 =−2$. Максимум: $2(2)−(−2)=6$. Ответ: $−2 <2a−b <6$.
Решите неравенство $1 - 5x > x + 2$. Решение: $-6x >1 \Rightarrow x <−\frac{1}{6}$. Проверка: $x=−1$ удовлетворяет. Ответ: 3.
Решите неравенство $-2x < 5$. Ответ: 2 ($x>−2{,}5$).
Решите неравенство $(x-2)(x+2) -x(x+5) \le6$. Решение: Раскрываем: $x^2−4−x^2−5x\leq6 \Rightarrow −5x\leq10 \Rightarrow x\geq−2$. Ответ: $x \geq −2$.
Решите систему неравенств. Ответ: 3 ($[2; +\infty)$).
Определите стоимость ластика. Решение: $56/8 =7$, $99/11 =9$. Целое число между 7 и 9: $8$. Ответ: $8$ рублей.
Вычислите $\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{-2}$. Ответ: $25$.
Представьте выражение $\frac{y^{-4}\cdot y^{-3}}{y^7}$ в виде степени. Решение: Сумма степеней: $y^{-4−3−7} = y^{-14}$. Ответ: $y^{-14}$.
Упростите выражение $\bigl(\tfrac{3}{4}a^{-1}b^{-3}\bigr)^2$. Ответ: 4 ($\tfrac{9}{16}a^{-2}b^{-6}$).
Вычислите $\frac{7^5\cdot(7^{-4})^2}{7^{-2}}$. Решение: Экспоненты: $7^{5 + (-8) − (-2)} =7^{-1} = \frac{1}{7}$. Ответ: $\frac{1}{7}$.

Материалы школы Юайти

Школа №1529 из 8 в 9 класс 2017 год

Решения задач

Запишитесь на бесплатное занятие