Школа №1529 из 7 в 8 класс демовариант алгебра

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность составить представление о структуре работы, количестве заданий, их форме, уровне сложности.

Часть 1 (задания 1–12) на 45 минут

При выполнении заданий 1–4, 6 и 7 обведите номер правильного ответа. При выполнении заданий 5, 8 и 9 впишите ответ в указанное место. Задания 10–12 выполните на отдельном подписанном листе.

1. Найдите значение выражения \(2x - y^2\) при \(x = 2\), \(y = -3\).
   1. \(-5\)
   2. \(-2\)
   3. \(10\)
   4. \(13\)
   
   
   
2. При каких значениях переменной выражение \(\frac{x+2}{6x-3}\) не имеет смысла?
   1. при \(x = -2\)
   2. при \(x = -2\); \(x = 0{,}5\)
   3. при \(x = 0\)
   4. при \(x = \tfrac12\)
   
   
   
3. Упростите выражение: \(16 - (3 + y)\).
   1. \(19 - y\)
   2. \(13y\)
   3. \(13 + y\)
   4. \(13 - y\)
   
   
   
4. Одним из корней уравнения \(x(3x + 5) = 8\) является
   1. \(1\)
   2. \(-2\)
   3. \(0\)
   4. \(-1\)
   
   
   
5. Решите уравнение \((8 - x) - (4 - 3x) = -12\).
   
   
6. Составьте уравнение для решения задачи:
   У Маши было \(x\) марок, а у Андрея — на 5 марок меньше. Если Маша отдаст Андрею 15 марок, то у него станет в 2 раза больше, чем у Андрея. Сколько марок было у Маши первоначально?
   1. \(2x - 15 = x + 15\)
   2. \(2x - 15 = (x - 5) + 15\)
   3. \(2x = x - 20\)
   4. \(2(x - 15) = (x - 5) + 15\)
   
   
   
7. Выполните действия: \(a^4 \cdot a^{12}\); \(b^8 : b^2\); \((m^3)^5\).
   1. \(a^8\); \(b^4\); \(m^{15}\)
   2. \(a^{16}\); \(b^6\); \(m^3\)
   3. \(a^{16}\); \(b^6\); \(m^{15}\)
   4. \(a^{16}\); \(b^6\); \(m^8\)
   
   
   
8. Выполните умножение: \(ab^3 \cdot (-7ab^2) \cdot 4a^2b\).
   
   
9. Вычислите: \(\displaystyle \frac{(-6)^{14}}{(6^3)^2 \cdot 6^6}\).
   
   
10. Расположите в порядке возрастания числа \((-1)^3\), \((-1,3)^2\), \((-1,3)^3\). Объясните свои действия.
    
    
11. Лодка шла 3 часа против течения реки и 2 часа по течению реки, пройдя за всё это время 37 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
    
    
12. Сумма двух последовательных натуральных чисел равна 343. Найдите большее из них. Решите задачу методом составления уравнения.

Часть 2 (задания 13–24) на 45 минут

Выполняя задания 13–18 и 22, обведите номер правильного ответа. Выполняя задания 19–21, впишите ответ в указанное место. Задания 23 и 24 выполните на отдельном подписанном листе.

1. Приведите подобные слагаемые: \(-5a + 4b - 3a - 2b\).
   1. \(-2a + 2b\)
   2. \(-16ab\)
   3. \(2a + 2b\)
   4. \(-8a + 2b\)
   
   
   
2. Найдите сумму многочленов \(3y^2 - y\) и \(-4y^2 + 2y - 3\).
   1. \(-y^2 - 3y - 3\)
   2. \(7y^2 - 3y + 3\)
   3. \(-y + 3\)
   4. \(7y^2 + y + 3\)
   
   
   
3. Найдите разность многочленов \(2x^2 - x + 2\) и \(-3x^2 - 2x + 1\).
   1. \(5x^2 + x + 3\)
   2. \(5x^2 + x + 1\)
   3. \(5x^2 - 3x + 3\)
   4. \(-x^2 - 3x + 3\)
   
   
   
4. Выполните умножение: \(-3x\cdot(-2x^2 + x - 3)\).
   1. \(6x^3 + 3x^2 + 9x\)
   2. \(6x^3 - 3x^2 + 9x\)
   3. \(-6x^3 - 3x^2 + 9x\)
   4. \(6x^3 - 3x^2 - 9x\)
   
   
   
5. Представьте произведение \((2a - 1)(-a^2 + a - 3)\) в виде многочлена стандартного вида.
   1. \(-2a^3 + 2a^2 - 6a\)
   2. \(-2a^3 + 3a^2 - 6a - 3\)
   3. \(-2a^3 + a^2 - 7a + 3\)
   4. \(-2a^3 + 3a^2 - 7a + 3\)
   
   
   
6. Представьте в виде многочлена \((3x + 4y)^2\).
   1. \(9x^2 + 24xy + 16y^2\)
   2. \(9x^2 + 16y^2\)
   3. \(9x^2 + 12xy + 16y^2\)
   4. \(3x^2 + 24xy + 4y^2\)
   
   
   
7. Разложите на множители многочлен \(-12x^2y + 8x^3y^2\), вынося за скобки \((-4x^2y)\).
   
   
8. Разложите на множители многочлен \(3x^3 - 2x^2 - 6x + 4\).
   
   
9. Для каждого выражения из первого столбца, обозначенного буквой, подберите тождественно равное ему выражение из второго столбца, обозначенное цифрой.
   
   
   
   
   
   Запишите выбранные цифры в таблицу:
   
   
   
   
   
   
10. Какое из выражений, записанных ниже, нельзя преобразовать в произведение \((4 - y)^2(2 - y)\)?
    1. \(-\,(y - 4)^2(y - 2)\)
    2. \(-\,(4 - y)^2(y - 2)\)
    3. \((y - 4)^2(2 - y)\)
    4. \((y - 4)^2(y - 2)\)
    
    
    
11. Вычислите, используя формулу квадрата разности, \(59^2\). Приведите подробное решение.
    
    
12. Представьте в виде произведения многочлен \(b^2 - x^2 + 2xy - y^2\). Приведите подробное решение.

Решения задач

1. Найдите значение выражения \(2x - y^2\) при \(x = 2\), \(y = -3\).
   Решение: Подставим значения:
   \(2 \cdot 2 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5\). Ответ: \(-5\). Правильный ответ: 1.
2. При каких значениях переменной выражение \(\frac{x+2}{6x-3}\) не имеет смысла?
   Решение: Знаменатель не должен равняться нулю:
   \(6x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}\). Ответ: при \(x = \frac{1}{2}\). Правильный ответ: 4.
3. Упростите выражение: \(16 - (3 + y)\).
   Решение: Раскроем скобки:
   \(16 - 3 - y = 13 - y\). Ответ: \(13 - y\). Правильный ответ: 4.
4. Одним из корней уравнения \(x(3x + 5) = 8\) является
   Решение: Подставим варианты:
   \(x=1: \quad 1(3 \cdot 1 + 5) = 8 \quad \Rightarrow \quad 8 = 8\). Ответ: \(1\). Правильный ответ: 1.
5. Решите уравнение \((8 - x) - (4 - 3x) = -12\).
   Решение: Раскроем скобки:
   \(8 - x - 4 + 3x = -12 \quad \Rightarrow \quad 4 + 2x = -12\) \(2x = -16 \quad \Rightarrow \quad x = -8\). Ответ: \(-8\).
6. Составьте уравнение для решения задачи.
   Решение: После передачи марок:
   У Маши: \(x - 15\), у Андрея: \((x - 5) + 15\). Уравнение: \(2(x - 15) = (x - 5) + 15\). П правильный ответ: 4.
7. Выполните действия: \(a^4 \cdot a^{12}\); \(b^8 : b^2\); \((m^3)^5\).
   Решение:
   \(a^{4 + 12} = a^{16}\); \(b^{8 - 2} = b^{6}\); \(m^{3 \cdot 5} = m^{15}\). Правильный ответ: 3.
8. Выполните умножение: \(ab^3 \cdot (-7ab^2) \cdot 4a^2b\).
   Решение:
   Коэффициенты: \(-7 \cdot 4 = -28\); Степени \(a\): \(1 + 1 + 2 = 4\); Степени \(b\): \(3 + 2 + 1 = 6\). Ответ: \(-28a^4b^6\).
9. Вычислите: \(\displaystyle \frac{(-6)^{14}}{(6^3)^2 \cdot 6^6}\).
   Решение: Упростим степени:
   Знаменатель: \(6^{3 \cdot 2} \cdot 6^{6} = 6^{12}\); \(\frac{6^{14}}{6^{12}} = 6^{2} = 36\). Ответ: \(36\).
10. Расположите в порядке возрастания: \((-1)^3 = -1\), \((-1,3)^2 = 1,69\), \((-1,3)^3 = -2,197\).
    Ответ: \(-2,197 < -1 < 1,69\). Порядок: \((-1,3)^3\), \((-1)^3\), \((-1,3)^2\).
11. Найдите собственную скорость лодки.
    Решение: Пусть скорость лодки \(x \, \text{км/ч}\). Уравнение: \(3(x-3) + 2(x+3) = 37\). Решение: \(3x - 9 + 2x + 6 = 37 \quad \Rightarrow \quad 5x - 3 = 37\) \(5x = 40 \quad \Rightarrow \quad x = 8\). Ответ: \(8 \, \text{км/ч}\).
12. Найдите большее из чисел.
    Решение: Пусть числа \(n\) и \(n + 1\). Составим уравнение: \(n + (n + 1) = 343 \quad \Rightarrow \quad 2n + 1 = 343\) \(2n = 342 \quad \Rightarrow \quad n = 171\). Большее число: \(172\).
13. Приведите подобные слагаемые: \(-5a + 4b - 3a - 2b\).
    Решение: \(-8a + 2b\). Правильный ответ: 4.
14. Найдите сумму многочленов.
    Решение: \(3y^2 - y - 4y^2 + 2y - 3 = -y^2 + y - 3\). (Возможна типография в вариантах ответа.)
15. Найдите разность многочленов.
    Решение: \(2x^2 - x + 2 - (-3x^2 - 2x + 1) = 5x^2 + x + 1\). Правильный ответ: \boxed{2}.
16. Выполните умножение: \(-3x\cdot(-2x^2 + x - 3)\).
    Решение: \(6x^3 - 3x^2 + 9x\). Правильный ответ: 2.
17. Представьте произведение в виде многочлена.
    Решение: \((2a - 1)(-a^2 + a - 3) = -2a^3 + 3a^2 - 7a + 3\). Правильный ответ: 4.
18. Представьте \((3x + 4y)^2\).
    Решение: \(9x^2 + 24xy + 16y^2\). Правильный ответ: 1.
19. Разложите \(-12x^2y + 8x^3y^2\).
    Решение: \(-4x^2y(3 - 2xy)\).
20. Разложите множители: \(3x^3 - 2x^2 - 6x + 4\).
    Решение: Группировка: \((3x^3 - 2x^2) - (6x - 4) = x^2(3x - 2) - 2(3x - 2) = (3x - 2)(x^2 - 2)\).
21. Соотнесите выражения:
    А) \( (2x-3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \) → 2; Б) \( (2x-3y)(2x+3y) =4x^2 -9y^2 \) → (Не совпадает с вариантами).
22. Нельзя преобразовать \(\displaystyle \boxed{4}\) в \((4 - y)^2(2 - y)\).
23. Вычислите \(59^2 = (60 - 1)^2 = 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481\).
24. Представьте \(b^2 - x^2 + 2xy - y^2 = b^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = b^2 - (x - y)^2 = (b - x + y)(b + x - y)\).