Вступительный экзамен в Школа №1529 из 6 в 7 класс демовариант -

Печать

youit.school ©

Демонстрационный вариант по МАТЕМАТИКЕ для поступающих в 7 класс

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность составить представление о структуре работы, количестве заданий, их форме, уровне сложности.

Часть 1 (задания с 1 по 15) на 45 минут

При выполнении заданий 1--3 и 8--11 обведите номер правильного ответа. Выполняя задания 4--7 и 12 впишите ответ в указанное место. Задания 13--15 выполните на отдельном листе.

Какое из чисел надо подставить вместо «$*$» в равенство \[ *\div 24 = \tfrac{3}{4} \] чтобы оно было верным?
1. 6
2. 8
3. 12
4. 18
Сократите дробь $\displaystyle \frac{30}{54}$ до несократимой:
1. $\tfrac{15}{27}$
2. $\tfrac{5}{9}$
3. $\tfrac{2}{3}$
4. $\tfrac{10}{18}$
Первый рабочий может изготовить 10 деталей за 7 часов, а второй — 13 деталей за 8 часов. Какой рабочий быстрее изготовит одну деталь?
1. первый
2. второй
3. оба одновременно
4. в задании не хватает данных
Чему равна сумма чисел $\displaystyle \frac{4}{15} + \frac{5}{12}$?
Найдите разность чисел $\displaystyle \frac{5}{16}$ и $2\frac{7}{12}$.
Найдите произведение $\displaystyle \frac{15}{28}\cdot \frac{14}{25}$.
Найдите частное чисел $\displaystyle 2\frac{7}{9}$ и $6\frac{1}{4}$.
Обратным к числу $2\frac{2}{3}$ является число
1. 1
2. $\tfrac{3}{2}$
3. $\tfrac{2}{3}$
4. $\tfrac{5}{8}$
Из чисел $\tfrac{7}{5},\;\tfrac{5}{6},\;\tfrac{9}{7},\;0{,}8$ выберите наименьшее:
1. $\tfrac{7}{5}$
2. $0{,}8$
3. $\tfrac{5}{6}$
4. $\tfrac{9}{7}$
В книге 40 страниц ученик прочитал $\tfrac{5}{8}$ всей книги. Сколько страниц он прочитал?
1. 64
2. 15
3. 25
4. 30
Коли подарили 30 марок, что составляет $\tfrac{5}{6}$ всей его коллекции. Сколько марок было у Коли?
1. 36
2. 25
3. $\tfrac{1}{36}$
4. $\tfrac{1}{25}$
Какое минимальное количество рейсов понадобится сделать машине грузоподъёмностью $2\tfrac{1}{2}$\,т, чтобы перевезти груз весом $8\tfrac{3}{4}$\,т? Ответ: рейсов.
Найдите значение выражения \[ \Bigl(\tfrac{2}{7} + \tfrac{5}{21}\Bigr)\,\cdot 21 \] используя распределительное свойство, и запишите подробное решение.
Моторная лодка, плывя 2\,ч по течению, прошла 42\,км, а двигаясь 2\,ч против течения — 30\,км. Найдите скорость течения реки. Приведите подробное решение.
Вычислите удобным способом: \[ 8^3\;\div\;\tfrac{3}{4} \;-\; 8^2\;\div\;\tfrac{3}{4}. \] Приведите подробное решение.

Часть 2 (задания с 16 по 30) на 45 минут

При выполнении заданий 16, 17, 19–21 обведите номер правильного ответа. При выполнении заданий 18, 22–24 впишите ответ в указанное место. Задания 25–30 выполните на отдельном листе.

Какое число делится на 27?
1. 42003
2. 100001
3. 5011116
4. 27003
Какую цифру нужно поставить вместо «*», чтобы число $3*101$ делилось на 9?
1. 0
2. 9
3. 3
4. 4
Среди чисел 2535, 121503, 641125, 320010 и 230020 выделите те, которые делятся на 15. Запишите их в ответ:
Пусть $a=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5,\;b=3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7$. Тогда их наибольший общий делитель равен
1. $2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7$
2. $2\cdot3\cdot5\cdot5$
3. $3\cdot5\cdot7$
4. $3\cdot5\cdot5$
Пусть $a=3\cdot3\cdot5\cdot7,\;b=2\cdot2\cdot5\cdot7$. Тогда их наименьшее общее кратное равно
1. $2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$
2. $2\cdot5\cdot7$
3. $3\cdot5\cdot7$
4. $2\cdot3\cdot5\cdot7$
Взаимно простыми являются числа:
1. 7 и 21
2. 9 и 20
3. 6 и 14
4. 30 и 25
Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки $A(-7)$ и $B(4,5)$.
Расположите числа $-13{,}7;\;2{,}5;\;-7{,}5;\;0$ в порядке убывания:
1. $-13{,}7; -7{,}5; 0; 2{,}5$
2. $0; 2{,}5; -7{,}5; -13{,}7$
3. $-13{,}7; -7{,}5; 2{,}5; 0$
4. $2{,}5; 0; -7{,}5; -13{,}7$
Вычислите: $-6{,}7 + 3{,}4$.
Вычислите: $4\div(-59)$.
Найдите произведение $-0{,}4$ и $-0{,}7$.
Найдите значение выражения \[ \frac{-10}{-7} - \frac{-2}{-3}. \]
При каких значениях $x$ верно равенство $\lvert 2x + 3\rvert = 10$? Приведите решение с объяснениями.
Пусть $a\neq 6$, $x$ — число, противоположное $a$; $y$ — число, обратное $a$. Найдите значение выражения $\tfrac{x-y}{y}$. Приведите подробное решение.
Точки $A,B,C,D$ — вершины прямоугольника $ABCD$.
1. Постройте в координатной плоскости прямоугольник $ABCD$, если $A(-5,0), B(3,0), C(3,2)$.
2. Найдите координаты точек пересечения отрезков $AC$ и $BD$.

Часть 3 (задания с 31 по 45) на 45 минут

При выполнении заданий 31–35, 38–41 обведите номер правильного ответа. При выполнении заданий 36, 37, 42–45 заполните ответ в указанное место.

Найдите отношение длин отрезков $AD$ и $BM$.
1. 11:7
2. 12:7
3. 11:6
4. 7:6
Какими из данных являются крайними членами прогрессии $3,\; \tfrac{9}{2},\; ?$?
1. $3$ и $9$
2. $5$ и $15$
3. $5$ и $15$
4. $3$ и $15$
Какая из пропорций верна?
1. $3:5 = 1:5$
2. $2:3 = 2:3$
3. $5:3 = 1:4$
4. $7:2 = 3:10$
Найдите неизвестный член пропорции $x:2 = 1:5$.
Сколько соток и участков в пределах территории, если соотношение между ними как $3:2$? Какая масса семян ушла на 1 сотку, если на 8 участков ушло 240\,г?
1. 540\,г
2. 900\,г
3. 600\,г
4. 240\,г
В 3 одинаковых банках 12 кг варенья. Сколько варенья в 8 таких же банках? Ответ: кг.
Упростите выражение \[ (-3x)\cdot(-x)\cdot(-3x)\cdot(-x)\cdot\bigl(\tfrac{1}{3}a\bigr)^0\cdot(b^{-6})\cdot(-b^{-9}). \] Запишите ответ: .
Примените подобное сечение: $-3x + x - 3$.
Составьте разность выражений $17a - 13y$ и $20a + 6y$ и упростите:
Найдите значение выражения $2x - y$ при $x = 2$, $y = -3$.
1. $-5$
2. $-2$
3. $10$
4. $13$
Решите уравнение $12 - 7x = 4$.
1. $x = 4$
2. $x = 1$
3. $x = \tfrac{2}{3}$
4. $x = -\tfrac{4}{7}$
Решите уравнение $8(x - 3) = 7(x + 1)$.
У Миши $x$ марок, а у Коли в два раза больше. Если Коля отдаст Мише 6 марок, то у них станет поровну. Сколько марок у Миши?
Решите методом составления уравнения задачу: \begin{quote} В трёх корзинах 150 яблок. В первой на 20 яблок меньше, чем во второй, а во второй — в два раза больше, чем в третьей. Сколько яблок в каждой корзине? \end{quote}
Запишите формулу для нахождения площади круга. Найдите $S$ круга, радиус которого равен 6\,см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Дан ряд чисел: 43, 41, \dots, 5. Напишите числовой ряд в обратном порядке.
Найдите произведение $-0,4$ и $-0,7$.
Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{-10}{-7} - \frac{-2}{-3}$.
При каких значениях $x$ верно неравенство $2x + 3 > 10$? Приведите решение с пояснениями.
Пусть $a\ne 0$. Найдите значение выражения $\tfrac{a}{a} - \tfrac{1}{a}$.
Точки $A, B, C, D$ — вершины прямоугольника $ABCD$.
1. Постройте его в координатной плоскости, если $A(0,0), B(p,0), C(p,q)$.
2. Найдите координаты пересечения диагоналей.

Материалы школы Юайти

youit.school ©

Решения задач

Какое из чисел надо подставить вместо «$*$» в равенство \[ *\div 24 = \tfrac{3}{4} \] чтобы оно было верным? Решение: Перепишем уравнение: $* \div 24 = \frac{3}{4}$. Чтобы найти делимое (*), умножим делитель на частное: $* = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18$. Ответ: 4) 18.
Сократите дробь $\displaystyle \frac{30}{54}$ до несократимой: Решение: Найдём НОД числителя и знаменателя: НОД(30, 54) = 6. Сократим числитель и знаменатель на 6: $\frac{30}{54} = \frac{5}{9}$. Ответ: 2) $\tfrac{5}{9}$.
Какой рабочий быстрее изготовит одну деталь? Решение: Вычислим скорость работы каждого: — Первый: $\frac{7}{10} = 0.7$ часа на деталь — Второй: $\frac{8}{13} \approx 0.615$ часа на деталь 0.615 < 0.7 ⇒ второй работает быстрее. Ответ: 2) второй.
Сумма чисел $\frac{4}{15} + \frac{5}{12}$: Решение: Приведём к общему знаменателю 60: $\frac{4}{15} = \frac{16}{60}$, $\frac{5}{12} = \frac{25}{60}$. Сумма: $\frac{16}{60} + \frac{25}{60} = \frac{41}{60}$. Ответ: $\frac{41}{60}$.
Разность чисел $\frac{5}{16}$ и $2\frac{7}{12}$: Решение: Переведём смешанное число: $2\frac{7}{12} = \frac{31}{12}$. Общий знаменатель 48: $\frac{31}{12} = \frac{124}{48}$, $\frac{5}{16} = \frac{15}{48}$. Разность: $\frac{15}{48} - \frac{124}{48} = -\frac{109}{48} = -2\frac{13}{48}$. Ответ: $-2\frac{13}{48}$.
Произведение $\frac{15}{28} \cdot \frac{14}{25}$: Решение: Сократим множители: $\frac{15 \cdot 14}{28 \cdot 25} = \frac{3}{10} = 0.3$. Ответ: $\frac{3}{10}$ или 0.3.
Частное чисел $2\frac{7}{9}$ и $6\frac{1}{4}$: Решение: Переведём в неправильные дроби: $2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}$, $6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$. Деление: $\frac{25}{9} \div \frac{25}{4} = \frac{25}{9} \cdot \frac{4}{25} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$.
Обратное число к $2\frac{2}{3}$: Решение: $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$. Обратное число: $\frac{3}{8}$ = 0.375. Ответ: 4) $\tfrac{5}{8}$ неверно; правильный ответ отсутствует в вариантах.
Наименьшее число среди данных: Решение: Переведём в десятичные: $\frac{7}{5} = 1.4$, $\frac{5}{6} \approx 0.833$, $\frac{9}{7} \approx 1.285$, $0.8$. Наименьшее: $\frac{5}{6}$ ≈ 0.833. Ответ: 3) $\tfrac{5}{6}$.
Страниц прочитано: Решение: Вычислим $\frac{5}{8}$ от 40: $40 \cdot \frac{5}{8} = 25$ страниц. Ответ: 3) 25.
Всего марок у Коли: Решение: 30 марок — это $\frac{5}{6}$ коллекции. Вся коллекция: $30 \div \frac{5}{6} = 36$ марок. Ответ: 1) 36.
Минимальное количество рейсов: Решение: Груз $8\frac{3}{4} = 8.75$ т. Грузоподъёмность машины 2.5 т. $8.75 \div 2.5 = 3.5$ → 4 рейса. Ответ: 4 рейса.
Значение выражения $\left(\tfrac{2}{7} + \tfrac{5}{21}\right) \cdot 21$: Решение: Распределительное свойство: $\frac{2}{7} \cdot 21 + \frac{5}{21} \cdot 21 = 6 + 5 = 11$. Ответ: 11.
Скорость течения реки: Решение: Скорость по течению: $\frac{42}{2} = 21$ км/ч Скорость против течения: $\frac{30}{2} = 15$ км/ч Скорость течения: $\frac{21 - 15}{2} = 3$ км/ч Ответ: 3 км/ч.
Вычисление выражения $8^3 \div \tfrac{3}{4} - 8^2 \div \tfrac{3}{4}$: Решение: Вынесем общий множитель: $\frac{3}{4}(8^3 - 8^2) = \frac{3}{4}(512 - 64) = \frac{3}{4} \cdot 448 = 336$. Ответ: 336.
Число, делящееся на 27: Решение: Признак делимости на 27: сумма цифр должна делиться на 9. 42003: 4+2+0+0+3=9 ⇒ делится на 9, но не факт на 27. Проверяем: 42003 ÷ 27 ≈ 1555.67 ⇒ не целое. 27003: 2+7+0+0+3=12 ⇒ не делится на 9. Правильного ответа нет. Возможна ошибка в вариантах. Ответ: 1) 42003 (условно).
Цифра для делимости на 9 в числе $3*101$: Решение: Сумма цифр: 3 + * + 1 + 0 + 1 = 5 + *. Чтобы делилось на 9: 5 + * = 9 ⇒ * = 4. Ответ: 4) 4.
Числа, делящиеся на 15: Решение: Должны делиться на 3 и 5. 2535: оканчивается на 5, сумма цифр 2+5+3+5=15 ⇒ делится. 230020: сумма цифр 2+3+0+0+2+0=7 ⇒ не делится. Ответ: 2535, 641125.
Наибольший общий делитель: Решение: НОД(a, b) = 3·5·5 = 75 ⇒ вариант 4). Ответ: 4) $3\cdot5\cdot5$.
Наименьшее общее кратное: Решение: НОК(a, b) = 2²·3²·5·7 = 1260 ⇒ вариант 1). Ответ: 1) $2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$.
Взаимно простые числа: Решение: НОД(9, 20)=1 ⇒ взаимно простые. Ответ: 2) 9 и 20.
Координаты точек пересечения отрезков AC и BD: Решение: Диагонали прямоугольника пересекаются в середине. Середина AC: $\left(-1, 1\right)$. Ответ: (-1, 1).
Расположение чисел в порядке убывания: Ответ: 4) $2{,}5; 0; -7{,}5; -13{,}7$.
Вычисление $-6{,}7 + 3{,}4$: Ответ: $-3{,}3$.
Вычисление $4 \div (-59)$: Ответ: $-\frac{4}{59}$.
Произведение $-0{,}4 \cdot -0{,}7$: Ответ: 0.28.
Значение выражения $\frac{-10}{-7} - \frac{-2}{-3}$: Решение: $\frac{10}{7} - \frac{2}{3} = \frac{30}{21} - \frac{14}{21} = \frac{16}{21}$. Ответ: $\frac{16}{21}$.
Решение уравнения $|2x + 3| = 10$: Решение: Раскроем модуль: 1) $2x + 3 = 10$ ⇒ $x = \frac{7}{2} = 3.5$ 2) $2x + 3 = -10$ ⇒ $x = -6.5$ Ответ: $x = 3.5$ и $x = -6.5$.
Значение выражения $\frac{x-y}{y}$ при $x = -a$, $y = \frac{1}{a}$: Решение: Подставим значения: $\frac{-a - \frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = \frac{-\frac{a² + 1}{a}}{\frac{1}{a}} = -(a² + 1)$. Ответ: $-a² - 1$.
Построение прямоугольника и координаты пересечения диагоналей: Ответ: a) $D(-5, 2)$ b) Середина диагоналей: $(-1, 1)$.
Найдите отношение длин отрезков AD и BM: Ответ: 1) 11:7.
Крайние члены пропорции $3:\tfrac{9}{2}:\;?$: Ответ: 4) 3 и 15.
Верная пропорция: Ответ: 2) $2:3 = 2:3$.
Неизвестный член пропорции $x:2 = 1:5$: Решение: $x = \frac{2 \cdot 1}{5} = \frac{2}{5}$. Ответ: $\frac{2}{5}$.
Масса семян на 1 сотку: Решение: На 8 участков — 240 г. Соотношение 3:2 между сотками и участками ⇒ участков 5, значит масштаб: $\frac{240}{8} = 30$ г на участок ⇒ на 1 сотку: $30 \cdot \frac{3}{2} = 45$ г ⇒ на все сотки: $45 \cdot (3+2) = 225$ г. Возможно, ошибка в условиях задач. Ответ: Не однозначно из данных вариантов.
Варенье в 8 банках: Решение: В 1 банке $12 \div 3 = 4$ кг. В 8 банках: $4 \cdot 8 = 32$ кг. Ответ: 32.
Упрощение выражения: Решение: $(-3x)(-x)(-3x)(-x) = 9x⁴$ $(b^{-6})(-b^{-9}) = -b^{-15}$ Итог: $-9x⁴b^{-15}$. Ответ: $-9x⁴/b^{15}$.
Подобные слагаемые $-3x + x = -2x$ ⇒ $-2x - 3$. Ответ: $-2x - 3$.
Разность выражений: Решение: $(17a - 13y) - (20a + 6y) = -3a - 19y$. Ответ: $-3a - 19y$.
Значение выражения $2x - y$ при $x=2$, $y=-3$: Ответ: $4 - (-3) = 7$ ⇒ нет варианта, ошибка в задании.
Решение уравнения $12 - 7x = 4$: Решение: $-7x = -8$ ⇒ $x = \frac{8}{7} ≈ 1.142$. Ответ: 2) $x=1$ (приближённо).
Решение уравнения $8(x - 3) = 7(x + 1)$: Решение: $8x - 24 = 7x + 7$ ⇒ $x = 31$. Ответ: 31.
Марок у Миши: Решение: Пусть у Миши $x$, у Коли $2x$. После передачи: $2x - 6 = x + 6$ ⇒ $x = 12$. Ответ: 12 марок.
Распределение яблок: Решение: Пусть в третьей корзине $x$, тогда во второй $2x$, в первой $2x - 20$. Сумма: $(2x - 20) + 2x + x = 150$ ⇒ $5x = 170$ ⇒ $x=34$. Корзины: 48, 68, 34. Ответ: Первая — 48, вторая — 68, третья — 34.
Формула площади круга: Ответ: $S = πr² = π·6² = 36π$ см².
Обратный числовой ряд: Ответ: 5, 41, 43 → неясное условие задачи.
Произведение $-0.4$ и $-0.7$: Ответ: 0.28.
Значение выражения $\frac{-10}{-7} - \frac{-2}{-3}$: Ответ: $\frac{16}{21}$.
Решение неравенства $2x + 3 > 10$: Решение: $2x > 7$ ⇒ $x > 3.5$. Ответ: $x > 3.5$.
Значение выражения $\frac{a}{a} - \frac{1}{a}$: Решение: $\frac{a}{a} = 1 ⇒ 1 - \frac{1}{a} = \frac{a - 1}{a}$. Ответ: $\frac{a - 1}{a}$.
Координаты пересечения диагоналей: Ответ: середина диагонали: $(\frac{p}{2}, \frac{q}{2})$.

Материалы школы Юайти

Школа №1529 из 6 в 7 класс демовариант

Демонстрационный вариант по МАТЕМАТИКЕ для поступающих в 7 класс

Решения задач

Запишитесь на бесплатное занятие