Школа №1525 из 6 в 7 класс

1. 1. Радиолампа имеет 8 контактов, расположенных по кругу через равные промежутки. Лампа втыкается в штепсель, имеющий 8 отверстий, расположенных аналогично. Можно ли так нумеровать контакты лампы и отверстия штепселя, чтобы при любом включении лампы хотя бы один контакт попал в отверстие с тем же номером?
   2. А если в лампе 7 контактов, а в штепселе 7 отверстий?
   
   
   
2. Имеется много ширл, мырл и дырл. Ширла состоит из 6 шушек, мырла — из 7 мушек, дырла — из 9 душек. Все шушки одинаковы, мушки тоже, и душки — тоже. Как с помощью чашечных весов узнать за одно взвешивание, что тяжелее: две шушки или мушка с душкой, если все изделия неразборные?
   
   
3. В семействе кенгуру двое самых лёгких весят 25%, а трое самых тяжёлых — 60%. Сколько всего кенгуру в этом семействе?
   
   
4. Автомобиль едет по прямой дороге с постоянной скоростью 72 км/ч. После поста ГАИ автомобилист, на всякий случай, начинает двигаться с постоянным ускорением 1 м/с\(^2\). Через 8 с автомобилиста остановили на следующем посту ГАИ за превышение. Какое расстояние между этими постами?

Решения задач

1. 1. Для лампы с 8 контактами можно использовать зеркальную нумерацию. Пронумеруем контакты лампы по часовой стрелке от 1 до 8, а отверстия штепселя - против часовой стрелки. При любом повороте лампы позиции будут иметь разные смещения. Рассмотрим циклический сдвиг на $k$ позиций: если контакт $i$ лампы попадает в отверстие $(i+k) \mod 8$ штепселя, то существует $k$ где $i \equiv (i+k) \mod 8 \implies k \equiv 0 \mod 8$. Однако при нашей нумерации после любого поворота хотя бы один контакт совпадет из-за разных направлений нумерации. Ответ: Можно (например, при зеркальной нумерации).
   2. Для нечетного 7 аналогичное зеркальное решение работает. Циклические сдвиги на 7 контактов гарантируют совпадение хотя бы одной позиции. Проверим через принцип Дирихле: количество положений лампы равно 7. Суммарное количество совпадающих пар контактов для всех положений равно 7*7=49. Среднее число совпадений на положение 49/7 = 7. Значит хотя бы одно положение имеет совпадение. Ответ: Можно (за счет нечетности количества контактов).
2. Сравним 21 ширлу (21*6=126 шушек) с 9 мырлами (9*7=63 мушки) и 7 дырлами (7*9=63 душки). 126 шушек = 63*(мушка + душка). Тогда $2$ шушки $\equiv$ мушка + душка. Если весы уравновесятся - равны; перевесит левая чаша - шушки тяжелее; правая - мушки с душками. Ответ: Сравнить 21 ширлу с комбинацией из 9 мырл и 7 дырл.
3. Пусть N - количество кенгуру. Два самых легких весят: $$\frac{25}{100} = 0.25$$ Три самых тяжелых: $$\frac{60}{100} = 0.6$$ Тогда сумма оставшихся: $$1 - 0.25 - 0.6 = 0.15$$ Предположим N=6. Тогда между легкими и тяжелыми остается 1 кенгуру: $0.15 0.125$ (максимум легких). При N=7 оставшиеся 2 кенгуру суммарно 15% $\implies$ каждый около 7.5% $\leq 12.5\%$ (легкие) - невозможно. Следовательно: Ответ: 6.
4. Переведем скорость: $$72 \, \text{км/ч} = 20 \, \text{м/с}$$ Путь при равноускоренном движении: $$S = v_0t + \frac{at^2}{2} = 20 \cdot 8 + \frac{1 \cdot 8^2}{2} = 160 + 32 = 192 \, \text{м}$$ Ответ: 192 м.