Вступительный экзамен в Школа №1514 из 7 в 8 класс вариант 1 -

СкачатьПечать

youit.school ©

Демонстрационная версия вступительной олимпиады по математике (базовый уровень) для поступающих в 8 класс ОТИМК, гуманитарный и социально-психологический

А) Булочка стоит 8 рублей 50 копеек. Какое наибольшее количество булочек можно купить на 50 рублей?

Б) Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 0,5 г 3 раза в день в течение 14 дней. Упаковка содержит 8 таблеток по 0,5 г. Какое наименьшее количество упаковок требуется купить на весь курс лечения?
Найдите значение выражения:
А) $-6 - 3:(-1,5) - 2\cdot\dfrac{1}{3}$;
Б) $(5^3)^{14}:5^{40}$;
В) $4 \frac{5}{12} + 1 \frac{1}{12} : \bigl(6 \frac{5}{8} - 3 \frac{11}{12}\bigr)\cdot 4 \frac{1}{6}$.
Решите уравнение:
1. $x^4 - 4x^2 = 0$;
2. $19x - (3x - 4) = 4(5x - 1)$;
3. $4x - \dfrac{x+2}{3} = 8$.
Разложите на множители:
1. $8x^2 - 8y^2$;
2. $7a^2 - 14av + 7v^2$.
Упростите выражение: \[ -\frac{4}{7}a\cdot\bigl(2,1a^3 - 0,7ab + \tfrac{1}{4}b^2\bigr) + \frac{2}{3}a^3\cdot 1,8a \]
Решите задачу:

В квартире имеется три комнаты, общая площадь которых 51 м$^2$. Площадь первой комнаты вдвое меньше площади второй и на 3 м$^2$ меньше площади третьей комнаты. Чему равна площадь каждой комнаты?

Демонстрационная версия вступительной олимпиады по математике (профильный уровень) для поступающих в 8 класс (ОТИМК, гуманитарный и социально-психологический)

Вычислите:
1. $\displaystyle \frac{8,3^2 - 83\cdot0,13}{0,7}$;
2. $\displaystyle \frac{17^{31}\cdot c^{32}\cdot a^{29}\cdot (ac)^{52}}{(a^{3})^{27}\cdot (17c)^{31}\cdot c^{0}}$, при $a=5$, $c=-1$.
Решите уравнение:
1. $(2 - 5x)(3 + x) - (5x + 2)(3 - x) = 13$;
2. $\displaystyle \frac{5x - 4}{2} \;-\; \frac{2x + 1}{3} \;=\; -\frac{1}{5}\,(x - 29)$;
3. $|x - 4| = |3x - 5|$.
Разложите на множители:
1. $4a^2y - 8aby + 4b^2y$;
2. $a^2 + 2ab + b^2 - 9$.
Решите задачу:
1. Грибы при сушке теряют $80\%$ своей массы. Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 1 кг сушёных?
2. Из пункта А со скоростью 60 км/ч выехал грузовик. Через 2 ч вслед за ним выехала легковая машина со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов и на каком расстоянии от А легковая машина догонит грузовую?
Постройте график функции:
1. $y = -2x + 3$;
2. $y = -5 + x^2$;
3. $y = |x| - 2$.
Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Материалы школы Юайти

youit.school ©

Решения задач

1. А) Булочка стоит 8 рублей 50 копеек. Какое наибольшее количество булочек можно купить на 50 рублей?
  Решение:
  $50 : 8,5 \approx 5,88 \Rightarrow$ максимальное целое число булочек: 5.
  Ответ: 5.
2. Б) Какое наименьшее количество упаковок требуется купить на весь курс лечения?
  Решение:
  Суточная норма: $0,5 \cdot 3 = 1,5$ г. Курс за 14 дней: $1,5 \cdot 14 = 21$ г. В упаковке: $8 \cdot 0,5 = 4$ г.
  Минимальное количество упаковок: $21 : 4 = 5,25 \Rightarrow 6$ упаковок.
  Ответ: 6.
Найдите значение выражения:
1. А) $-6 - 3:(-1,5) - 2\cdot\dfrac{1}{3}$
  Решение:
  $-6 - (-2) - \frac{2}{3} = -6 + 2 - \frac{2}{3} = -4 - \frac{2}{3} = -4\frac{2}{3}$.
  Ответ: $-4\frac{2}{3}$.
2. Б) $(5^3)^{14}:5^{40}$
  Решение:
  $5^{42} : 5^{40} = 5^{2} = 25$.
  Ответ: 25.
3. В) $4 \frac{5}{12} + 1 \frac{1}{12} : \bigl(6 \frac{5}{8} - 3 \frac{11}{12}\bigr)\cdot 4 \frac{1}{6}$
  Решение:
  Переведем в дроби:
  $4\frac{5}{12} = \frac{53}{12}$, $\quad 6\frac{5}{8} = \frac{53}{8}$, $\quad 3\frac{11}{12} = \frac{47}{12}$, $\quad 4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$.
  Вычислим разность в скобках:
  $\frac{53}{8} - \frac{47}{12} = \frac{159 - 94}{24} = \frac{65}{24}$.
  Деление: $\frac{13}{12} : \frac{65}{24} = \frac{13}{12} \cdot \frac{24}{65} = \frac{2}{5}$.
  Умножение: $\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{6} = \frac{5}{3}$.
  Сложение: $\frac{53}{12} + \frac{5}{3} = \frac{53}{12} + \frac{20}{12} = \frac{73}{12} = 6\frac{1}{12}$.
  Ответ: $6\frac{1}{12}$.
Решите уравнение:
1. $x^4 - 4x^2 = 0$
  Решение:
  $x^2(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0; \quad x = \pm 2$.
  Ответ: $0; \pm 2$.
2. $19x - (3x - 4) = 4(5x - 1)$
  Решение:
  $19x - 3x + 4 = 20x - 4 \Rightarrow 16x + 4 = 20x - 4 \Rightarrow 8 = 4x \Rightarrow x = 2$.
  Ответ: 2.
3. $4x - \dfrac{x+2}{3} = 8$
  Решение:
  Умножим на 3: $12x - x - 2 = 24 \Rightarrow 11x = 26 \Rightarrow x = \frac{26}{11} = 2\frac{4}{11}$.
  Ответ: $2\frac{4}{11}$.
Разложите на множители:
1. $8x^2 - 8y^2$
  Решение:
  $8(x^2 - y^2) = 8(x - y)(x + y)$.
  Ответ: $8(x - y)(x + y)$.
2. $7a^2 - 14av + 7v^2$
  Решение:
  $7(a^2 - 2av + v^2) = 7(a - v)^2$.
  Ответ: $7(a - v)^2$.
Упростите выражение: \[ -\frac{4}{7}a\cdot\bigl(2,1a^3 - 0,7ab + \tfrac{1}{4}b^2\bigr) + \frac{2}{3}a^3\cdot 1,8a \]
Решение:
Раскроем скобки и упростим:
$-\frac{4}{7}a \cdot 2,1a^3 = -\frac{12}{5}a^4$, $\quad -\frac{4}{7}a \cdot (-0,7ab) = \frac{2}{5}a^2b$, $\quad -\frac{4}{7}a \cdot \frac{1}{4}b^2 = -\frac{1}{7}ab^2$.
Второе слагаемое: $\frac{2}{3}a^3 \cdot 1,8a = \frac{6}{5}a^4$.
Суммируем: $-\frac{12}{5}a^4 + \frac{6}{5}a^4 + \frac{2}{5}a^2b - \frac{1}{7}ab^2 = -\frac{6}{5}a^4 + \frac{2}{5}a^2b - \frac{1}{7}ab^2$.
Ответ: $-\frac{6}{5}a^4 + \frac{2}{5}a^2b - \frac{1}{7}ab^2$.
Решите задачу:
Площади комнат: первая — $x$ м², вторая — $2x$ м², третья — $x + 3$ м².
Уравнение: $x + 2x + x + 3 = 51 \Rightarrow 4x = 48 \Rightarrow x = 12$.
Ответ: 12 м², 24 м², 15 м².

Решения задач

Вычислите:
1. $\displaystyle \frac{8,3^2 - 83\cdot0,13}{0,7}$
  Решение:
  Числитель преобразуем с учётом общего множителя:
  $83 \cdot 0,13 = 8,3 \cdot 1,3$
  Тогда выражение примет вид:
  $\frac{8,3^2 - 8,3 \cdot 1,3}{0,7} = \frac{8,3(8,3 - 1,3)}{0,7} = \frac{8,3 \cdot 7}{0,7} = \frac{58,1}{0,7} = 83$
  Ответ: 83.
2. $\displaystyle \frac{17^{31}\cdot c^{32}\cdot a^{29}\cdot (ac)^{52}}{(a^{3})^{27}\cdot (17c)^{31}\cdot c^{0}}$
  Решение: Упростим степени:
  $(ac)^{52} = a^{52}c^{52}$; $(a^{3})^{27} = a^{81}$; $(17c)^{31} = 17^{31}c^{31}$
  Подставим в выражение:
  $\frac{17^{31}\cdot c^{32}\cdot a^{29} \cdot a^{52}c^{52}}{a^{81} \cdot 17^{31}c^{31} \cdot 1} = \frac{a^{81}c^{84}}{a^{81}c^{31}} = c^{53}$
  Подставляя $c = -1$, получим: $(-1)^{53} = -1$
  Ответ: $-1$.
Решите уравнение:
1. $(2 - 5x)(3 + x) - (5x + 2)(3 - x) = 13$
  Решение:
  Раскроем скобки:
  $(6 + 2x - 15x - 5x^2) - (15x - 5x^2 + 6 - 2x) = -26x$
  $-26x = 13 \implies x = -0,5$
  Ответ: $-0,5$.
2. $\displaystyle \frac{5x - 4}{2} \;-\; \frac{2x + 1}{3} \;=\; -\frac{1}{5}\,(x - 29)$
  Решение: Умножаем обе части на 30:
  $15(5x - 4) - 10(2x + 1) = -6(x - 29)$
  $75x - 60 - 20x - 10 = -6x + 174 \implies 61x = 244 \implies x = 4$
  Ответ: $4$.
3. $|x - 4| = |3x - 5|$
  Решение: Рассмотрим два случая:
  Случай 1: $4 - x = 3x - 5 \implies 4x = 9 \implies x = 2,25$
  Случай 2: $4 - x = 5 - 3x \implies 2x = 1 \implies x = 0,5$
  Ответ: $0,5$ и $2,25$.
Разложите на множители:
1. $4a^2y - 8aby + 4b^2y$
  Решение:
  Вынесем общий множитель $4y$:
  $4y(a^2 - 2ab + b^2) = 4y(a - b)^2$
  Ответ: $4y(a - b)^2$.
2. $a^2 + 2ab + b^2 - 9$
  Решение:
  $(a + b)^2 - 3^2 = (a + b - 3)(a + b + 3)$
  Ответ: $(a + b - 3)(a + b + 3)$.
Решите задачу:
1. Сушёные грибы составляют $20\%$ от массы свежих:
  $0,2x = 1 \implies x = 5$ (кг)
  Ответ: $5$ кг.
2. Пусть $t$ — время движения легковой машины. Грузовик двигался $(t + 2)$ часов:
  $80t = 60(t + 2) \implies 20t = 120 \implies t = 6$ часов
  Расстояние: $80 \cdot 6 = 480$ км
  Ответ: через $6$ часов на $480$ км от пункта А.
Постройте график функции:
1. $y = -2x + 3$ — прямая через точки $(0, 3)$ и $(2, -1)$.
2. $y = -5 + x^2$ — парабола с вершиной $(0, -5)$.
3. $y = |x| - 2$ — "V"-образный график с вершиной $(0, -2)$.
Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны:
Смежные углы образуют $180^\circ$. Биссектрисы делят их пополам:
$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$
Доказано.

Материалы школы Юайти

Школа №1514 из 7 в 8 класс вариант 1

Демонстрационная версия вступительной олимпиады по математике (профильный уровень) для поступающих в 8 класс (ОТИМК, гуманитарный и социально-психологический)

Решения задач

Решения задач

Запишитесь на бесплатное занятие