Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2022 вариант 1

Экзаменационная работа по математике для поступающих в 5 класс школы №1514

• в задачах необходимо не только записать ответ, но и привести полное решение;
• задачи можно решать в любом порядке.

1. Вычислите (все вычисления должны быть в чистовике):
   1. $85008:924 = 24$
   2. $549 \cdot 308 - 8904:(33 \cdot 507 - 16647)$
   
   
   
2. Решите уравнения (проверку делать не обязательно):
   1. $415 - x:3 = 65 \cdot 5$
   2. $(225:y + 15)\cdot4 + 40 = 400$
   
   
   
3. Решите задачу с пояснениями.
   
   Ателье закупает куски ткани прямоугольной формы. Длина куска на 200 см больше ширины, а периметр равен 160 дм.
   1. Найдите площадь куска ткани.
   2. Портной раскраивает один кусок ткани за 12 минут. За 1 час работы он получает 640 рублей. Сколько кусков он раскроил, если ему заплатили 1920 рублей.
   
   
   
4. Решите задачу с пояснениями: В 8 часов утра из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 200 км, выехал грузовик со скоростью 40 км/ч. Спустя 2 часа из пункта A в пункт B выехал автомобиль, который догнал грузовик в 80 км от пункта B.
   1. Найдите скорость автомобиля.
   2. В тот момент, когда автомобиль догнал грузовик, из пункта B в пункт A выехал мотоциклист, который встретился с автомобилем через 30 минут после своего выезда. В котором часу мотоциклист встретится с грузовиком?
   
   
   
5. Решите задачу с пояснениями: На рисунке изображен квадрат, площадь которого 36 см$^2$. Найдите площадь закрашенной фигуры, если $x=2$ см. При решении перерисуйте рисунок в тетрадь.
   
   
   
   
6. Решите задачу с пояснениями: Малыш, Карлсон и фрекен Бок едят плюшки. Малыш съедает 2 плюшки за то же время, за которое фрекен Бок съедает 7. Пока она ест 3 плюшки, Карлсон съедает 5. Они начали есть плюшки одновременно. За некоторое время Малыш и фрекен Бок съели вместе 27 плюшек. Сколько плюшек за это время съел Карлсон?

Решения задач

1. 1. Вычислите: $85008:924$
      Решение:
      $\frac{85008}{924} = 92.$ Проверим деление умножением:
      $924 \cdot 92 = 924 \cdot (90 + 2) = 924 \cdot 90 + 924 \cdot 2 = 83160 + 1848 = 85008.$
      Ответ: 92.
   2. Вычислите: $549 \cdot 308 - 8904:(33 \cdot 507 - 16647)$
      Решение:
      Вычислим скобки:
      $33 \cdot 507 = 33 \cdot 500 + 33 \cdot 7 = 16500 + 231 = 16731$
      $16731 - 16647 = 84$
      Далее деление:
      $8904 : 84 = 106$
      Умножение:
      $549 \cdot 308 = 549 \cdot 300 + 549 \cdot 8 = 164700 + 4392 = 169092$
      Окончательно:
      $169092 - 106 = 168986$
      Ответ: 168986.
2. 1. Решите уравнение: $415 - x:3 = 65 \cdot 5$
      Решение:
      $65 \cdot 5 = 325$
      $415 - \frac{x}{3} = 325 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{3} = 415 - 325 = 90 \quad \Rightarrow \quad x = 90 \cdot 3 = 270$
      Ответ: 270.
   2. Решите уравнение: $(225:y + 15)\cdot4 + 40 = 400$
      Решение:
      $(225:y + 15) \cdot 4 = 360$
      $225:y + 15 = 90$
      $225:y = 75 \quad \Rightarrow \quad y = 225:75 = 3$
      Ответ: 3.
3. 1. Найдите площадь куска ткани.
      Решение:
      Пусть ширина ткани — $x$ дм, тогда длина — $(x + 20)$ дм (200 см = 20 дм).
      Периметр: $2(x + x + 20) = 160 \quad \Rightarrow \quad 4x + 40 = 160 \quad \Rightarrow \quad 4x = 120 \quad \Rightarrow \quad x = 30$ дм.
      Длина: $30 + 20 = 50$ дм.
      Площадь: $30 \cdot 50 = 1500$ дм².
      Ответ: 1500 дм².
   2. Сколько кусков он раскроил?
      Решение:
      Сумма выплаты: 1920 рублей при ставке 640 рублей/час.
      Количество часов: $\frac{1920}{640} = 3$ часа = 180 минут.
      Количество кусков: $\frac{180}{12} = 15$.
      Ответ: 15.
4. 1. Найдите скорость автомобиля.
      Решение:
      Грузовик проехал до встречи: $200 - 80 = 120$ км за $\frac{120}{40} = 3$ часа (выехал в 8:00, встреча в 11:00).
      Автомобиль ехал $120$ км за $1$ час (выехал в 10:00, прибыл в 11:00).
      Скорость автомобиля: $120$ км/ч.
      Ответ: 120 км/ч.
   2. Встреча мотоциклиста с грузовиком.
      Решение:
      Мотоциклист выехал в 11:00 из пункта B. Через 30 мин (в 11:30) встретился с автомобилем:
      Автомобиль за 0,5 ч: $120 \cdot 0,5 = 60$ км (расстояние от точки встречи: $80 - 60 = 20$ км от B).
      Скорость мотоциклиста: $\frac{20}{0,5} = 40$ км/ч.
      Расстояние между грузовиком и мотоциклистом в 11:00: 80 км.
      Скорость сближения: $40 + 40 = 80$ км/ч.
      Время до встречи: $\frac{80}{80} = 1$ час.
      Встреча произойдет в 12:00.
      Ответ: в 12:00.
5. Площадь закрашенной фигуры.
   Решение:
   Площадь квадрата: $36$ см² $\Rightarrow$ сторона: $6$ см.
   Предположим, закрашенная фигура — центральный прямоугольник со сторонами $2$ см и $6$ см. Тогда площадь: $2 \cdot 6 = 12$ см².
   Однако точное решение требует рисунка. Если часть удалена, необходимо вычесть площадь удаленной части из квадрата.
   Ответ: Зависит от условия изображения, предположение — 16 см² (необходимо уточнение по рисунку).
6. Плюшки Карлсона.
   Решение:
   Соотношение скоростей:
   Малыш : Фрекен Бок = 2 : 7
   Карлсон : Фрекен Бок = 5 : 3 за одинаковое время.
   Пусть скорости: $7k$ п./час (Фрекен Бок), $2k$ п./час (Малыш), $\frac{35k}{3}$ п./час (Карлсон).
   Совместная скорость Малыша и Фрекен Бок: $9k$ п./час.
   Время: $\frac{27}{9k} = \frac{3}{k}$ часов.
   Карлсон съест: $\frac{35k}{3} \cdot \frac{3}{k} = 35$ плюшек.
   Ответ: 35.