Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2021 год вариант 1

1. Выполни действия:
   1. $31287 - 278\cdot104$
   2. $(26001:243 + 51\cdot14 -21):25 +18$
   
   
   
2. Реши уравнения:
   1. $(x:9+42)\cdot2=120$
   2. $200 -500:(y+36)=48\cdot4$
   
   
   
3. Реши задачу: В парке под детскую площадку планируется выделить участок прямоугольной формы. Длина участка на 500 дм меньше периметра этого участка.
   1. Найдите площадь участка, если его периметр 70 м.
   2. На площадке будет квадратная песочница, периметр которой 1200 см. На всей оставшейся части площадки (без песочницы) планируется настелить искусственное покрытие. Сколько придется заплатить за покрытие, если один квадратный метр покрытия стоит 850 руб?
   
   
   
4. Реши задачу: Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 270 км, выехал автобус. Одновременно навстречу ему из пункта B выехал автомобиль, скорость которого на 10 км/ч больше скорости автобуса.
   1. Найдите скорости автобуса и автомобиля, если они встретились через 3 часа после выезда.
   2. После встречи автобус продолжил свой путь в пункт B, а автомобиль сделал остановку на 30 минут, развернулся и стал возвращаться в пункт B. На каком расстоянии от пункта A автомобиль догонит автобус?
   
   
   
5. Реши задачу (с пояснением). Каждому из 4 детей предложили выбрать любые 3 числа от 0 до 9 и перемножить их. Числа могут повторяться. Ребята получили ответы: Аня – 648, Дима – 125, Юля – 39, Ира – 15. Известно, что только один из ребят ошибся. Кто сделал ошибку?
   
   
6. Реши задачу: Незнайка заявил, что бегает со скоростью 150 м/мин. Но он считает, что в метре 60 см, а в 1 мин – 100 секунд. С какой скоростью на самом деле бегает Незнайка?
   
   

Решения задач

1. 1. Вычислить: \(31287 - 278 \cdot 104\)
      Решение: \[ 278 \cdot 104 = 278 \cdot (100 + 4) = 27800 + 1112 = 28912 \] \[ 31287 - 28912 = 2375 \] Ответ: 2375.
   2. Вычислить: \((26001 : 243 + 51 \cdot 14 -21) : 25 + 18\)
      Решение: \[ 26001 : 243 = 107 \quad \left(243 \cdot 107 = 26001\right) \] \[ 51 \cdot 14 = 714 \] \[ 107 + 714 - 21 = 800 \] \[ 800 : 25 = 32 \] \[ 32 + 18 = 50 \] Ответ: 50.
2. 1. Решить уравнение: \( (x : 9 + 42) \cdot 2 = 120 \)
      Решение: \[ (x : 9 + 42) = 120 : 2 = 60 \] \[ x : 9 = 60 - 42 = 18 \] \[ x = 18 \cdot 9 = 162 \] Ответ: 162.
   2. Решить уравнение: \(200 - 500 : (y + 36) = 48 \cdot 4\)
      Решение: \[ 48 \cdot 4 = 192 \] \[ 200 - 500 : (y + 36) = 192 \] \[ 500 : (y + 36) = 200 - 192 = 8 \] \[ y + 36 = 500 : 8 = 62,5 \] \[ y = 62,5 - 36 = 26,5 \] Ответ: 26,5.
3. 1. Найти площадь участка с периметром 70 м.
      Решение: \[ 500\ \text{дм} = 50\ \text{м} \] \[ \text{Длина участка} = 70 - 50 = 20\ \text{м} \] \[ P = 2 \cdot (длина + ширина) \Rightarrow ширина = \frac{70}{2} - 20 = 15\ \text{м} \] \[ S = 20 \cdot 15 = 300\ \text{м}^2 \] Ответ: 300 м².
   2. Найти стоимость покрытия оставшейся площади.
      Решение: \[ \text{Периметр песочницы} = 1200\ \text{см} = 12\ \text{м} \Rightarrow сторона = 12 : 4 = 3\ \text{м} \] \[ S_{\text{песочницы}} = 3 \cdot 3 = 9\ \text{м}^2 \] \[ S_{\text{покрытия}} = 300 - 9 = 291\ \text{м}^2 \] \[ \text{Стоимость} = 291 \cdot 850 = 247350\ \text{руб.} \] Ответ: 247350 руб.
4. 1. Найти скорости автобуса и автомобиля.
      Решение: \[ v_{\text{автобуса}} = v \quad v_{\text{авто}} = v + 10 \] \[ (v + v + 10) \cdot 3 = 270 \Rightarrow 6v + 30 = 270 \Rightarrow v = 40 \] Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.
   2. Найти расстояние от пункта A при повторной встрече.
      Решение: \[ \text{Место первой встречи}: 40 \cdot 3 = 120\ \text{км от A} \] \[ \text{Свободный путь после встречи:} \] \[ \text{Автобус через 0,5 ч:} 40 \cdot 0,5 = 20\ \text{км от места встречи} \] \[ \text{Время догонки}\ t: 50t = 20 + 40t \Rightarrow t = 2\ \text{ч} \] \[ \text{Пройденное расстояние авто:} 50 \cdot 2 = 100\ \text{км от места встречи} \] Ответ: 120 + 100 = 220 км от A.
5. Определить, кто ошибся в вычислениях.
   Решение:
   648 = 8 · 9 · 9 (возможно), 125 = 5 · 5 · 5 (верно), 39 = 3 · 13 · 1 (невозможно, так как 13 > 9), 15 = 5 · 3 · 1 (верно).
   Ответ: Юля.
6. Найти реальную скорость Незнайки.
   Решение: \[ 150\ \text{его м/мин} = 150 \cdot 0,6\ \text{м/100 сек} = 90\ \text{м/100 сек} \] \[ \text{Реальная скорость:} \frac{90\ \text{м}}{100\ \text{сек}} \cdot 60 = 54\ \text{м/мин} \] Ответ: 54 м/мин.