Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2020 год вариант 1

1. Выполни действия (все вычисления должны быть в чистовике):
   1. $5304:51 - 19\cdot3$ (макс. – 5 баллов);
   2. $(289\cdot405 - 86118):183 + 8\cdot225$ (макс. – 10 баллов);
   
   
   
2. Реши уравнение (проверку делать необязательно):
   1. $x:4 + 18 = 15\cdot6$ (макс. – 5 баллов);
   2. $(y\cdot5 - 30):(4\cdot25 - 97) = 30$ (макс. – 10 баллов);
   
   
   
3. Реши задачу (с пояснениями): Бассейн прямоугольной формы имеет периметр 80 м. Длина на 100 дм больше ширины.
   1. Найдите площадь бассейна (макс. – 5 баллов);
   2. Дно бассейна выложили квадратной плиткой. Сколько потребуется плиток, если сторона каждой плитки 2 дм 5 см? (макс. – 10 баллов)?
   
   
   
4. Реши задачу (с пояснениями): Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 360 км, в 8 часов утра выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через час из пункта A в пункт B выехал автомобиль, который догнал автобус на середине пути между A и B.
   1. Найдите скорость автомобиля. (макс. – 10 баллов);
   2. Автомобиль, доехав до пункта B, сразу повернул обратно и поехал в A. Какое расстояние будет между автобусом и автомобилем в 13:30? (макс. – 15 баллов);
   
   
   
5. Реши задачу (с пояснениями): Задумано трёхзначное число, у которого с каждым из трёх чисел 751, 158 и 241 совпадает цифра ровно в одном разряде, а две другие не совпадают. Какое число задумано? (макс. – 15 баллов)
   
   
6. Реши задачу (с пояснениями): Семь гномов решили подарить Белоснежке ягоды. Первый подарил ей 7 ягод. Каждый следующий гном, если он был в шапочке, то дарил ей на одну ягоду больше предыдущего. Если же без шапочки — то столько же ягод, сколько и предыдущий гном. Всего Белоснежка получила 68 ягод, причём каждый гном дарил ягоды ровно один раз. Сколько гномов было без шапочки, если первый гном был в шапочке? (макс. – 20 баллов)
   
   

Решения задач

1. 1. Вычислить: $5304:51 - 19\cdot3$
      Решение: \[ 5304 : 51 = 104 \quad (51 \cdot 104 = 5304) \] \[ 19 \cdot 3 = 57 \] \[ 104 - 57 = 47 \] Ответ: 47.
   2. Вычислить: $(289\cdot405 - 86118):183 + 8\cdot225$
      Решение: \[ 289 \cdot 405 = 289 \cdot 400 + 289 \cdot 5 = 115600 + 1445 = 117045 \] \[ 117045 - 86118 = 30927 \] \[ 30927 : 183 = 169 \quad (183 \cdot 169 = 30927) \] \[ 8 \cdot 225 = 1800 \] \[ 169 + 1800 = 1969 \] Ответ: 1969.
2. 1. Решить уравнение: $x:4 + 18 = 15\cdot6$
      Решение: \[ 15 \cdot 6 = 90 \] \[ \frac{x}{4} = 90 - 18 = 72 \] \[ x = 72 \cdot 4 = 288 \] Ответ: 288.
   2. Решить уравнение: $(y\cdot5 - 30):(4\cdot25 - 97) = 30$
      Решение: \[ 4 \cdot 25 - 97 = 100 - 97 = 3 \] \[ \frac{5y - 30}{3} = 30 \] \[ 5y - 30 = 90 \] \[ 5y = 120 \quad \Rightarrow \quad y = 24 \] Ответ: 24.
3. 1. Периметр бассейна: \[ 2(a + b) = 80 \quad \Rightarrow \quad a + b = 40\ \text{м} \] Разность длины и ширины: \[ a - b = 10\ \text{дм} = 1\ \text{м} \] Составим систему: \[ \begin{cases} a + b = 40 \\ a - b = 1 \end{cases} \Rightarrow 2a = 41 \quad \Rightarrow \quad a = 20.5\ \text{м},\ b = 19.5\ \text{м} \] Площадь: \[ 20.5 \times 19.5 = 399.75\ \text{м}^2 \] Ответ: 399.75 $м^2$.
   2. Размер плитки: \[ 2\ \text{дм}\ 5\ \text{см} = 0.25\ \text{м} \] Площадь плитки: \[ 0.25 \times 0.25 = 0.0625\ \text{м}^2 \] Количество плиток: \[ \frac{399.75}{0.0625} = 6396 \] Ответ: 6396.
4. 1. Середина пути: \[ 360 : 2 = 180\ \text{км} \] Время автобуса до середины: \[ 180 : 60 = 3\ \text{ч} \] Время автомобиля: \[ 3 - 1 = 2\ \text{ч} \] Скорость автомобиля: \[ 180 : 2 = 90\ \text{км/ч} \] Ответ: 90 км/ч.
   2. Время движения автомобиля до B: \[ 180 : 90 = 2\ \text{ч} \quad (\text{прибыл в}\ 8+1+2=11:00) \] Время до 13:30: \[ 3.5\ \text{ч}\ \text{автобус}\ \text{и}\ 2.5\ \text{ч}\ \text{автомобиль обратно} \] Путь автобуса: \[ 60 \times 3.5 = 210\ \text{км}\ (\text{всего}\ 8+5.5=13:30,\ 5.5\ \text{ч}\ \text{в пути}) \] Путь автомобиля: \[ 180 + (90 \times 2.5) = 180 - 225 = -45\ (\text{вернётся}\ 45\ \text{км}\ \text{назад}\ \text{от}\ B) \] Расстояние между ними: \[ 210 - (360 - 45) = 210 - 315 = -105\ (\text{модуль}\ 105\ \text{км}) \] Ответ: 105 км.
5. Анализ совпадений разрядов:
   • С числом 751: совпадает одна цифра
   • С числом 158: совпадает одна цифра
   • С числом 241: совпадает одна цифра
   Методом исключения получаем число 258:
   • 258 и 751: совпадение в разряде десятков (5)
   • 258 и 158: совпадение в разряде единиц (8)
   • 258 и 241: совпадение в разряде сотен (2)
   Ответ: 258.
6. Последовательность ягод: \[ 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 70 \quad (\text{все в шапочках}) \] Требуется уменьшить сумму на 2 ягоды. Замена одного шапочного гнома на без шапочки уменьшает сумму на 1 (пример: вместо 8 → 7). Нужно 2 замены.
   Ответ: 2.