Школа №1502 из 6 в 7 класс
Печать
youit.school ©
Задание из демоварианта межпредметной олимпиады для 7 класса
«Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел больше наибольшего общего делителя в 6 раз. Найдите эти числа, если известно, что разность чисел равна 12.»
«Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел больше наибольшего общего делителя в 6 раз. Найдите эти числа, если известно, что разность чисел равна 12.»
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Задание из демоварианта межпредметной олимпиады для 7 класса
«Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел больше наибольшего общего делителя в 6 раз. Найдите эти числа, если известно, что разность чисел равна 12.»
Пусть большее из этих чисел равно \(a\), а меньшее равно \(b\). Обозначим наибольший общий делитель этих чисел буквой \(d\), а наименьшее общее кратное — буквой \(k\). Тогда \(k = 6d\). Каждое из этих чисел делится на \(d\), то есть \[ a = d n,\quad b = d m, \] где \(n\) и \(m\) — натуральные числа, которые не имеют общих делителей, кроме 1 (взаимно простые). Также, используя взаимосвязь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным, получаем \[ a b = k d = 6 d^2. \] Но тогда \[ (dn)\,(dm) = 6d^2, \] то есть \[ n m = 6. \] Перечислим все возможные пары значений \(n\) и \(m\): \[ 1)\; n=6,\; m=1; \qquad 2)\; n=3,\; m=2. \] Из условия известно, что \(a - b = 12\). Тогда для первого случая получаем \[ 6d - d = 12, \] то есть \(5d = 12\), и это уравнение не имеет целочисленных решений. Для второго случая получаем \[ 3d - 2d = 12, \] то есть \(d = 12\). Значит, \[ a = 3\cdot12 = 36, \qquad b = 2\cdot12 = 24. \] Это единственный подходящий вариант.
Ответ: \(36\) и \(24\).
«Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел больше наибольшего общего делителя в 6 раз. Найдите эти числа, если известно, что разность чисел равна 12.»
Пусть большее из этих чисел равно \(a\), а меньшее равно \(b\). Обозначим наибольший общий делитель этих чисел буквой \(d\), а наименьшее общее кратное — буквой \(k\). Тогда \(k = 6d\). Каждое из этих чисел делится на \(d\), то есть \[ a = d n,\quad b = d m, \] где \(n\) и \(m\) — натуральные числа, которые не имеют общих делителей, кроме 1 (взаимно простые). Также, используя взаимосвязь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным, получаем \[ a b = k d = 6 d^2. \] Но тогда \[ (dn)\,(dm) = 6d^2, \] то есть \[ n m = 6. \] Перечислим все возможные пары значений \(n\) и \(m\): \[ 1)\; n=6,\; m=1; \qquad 2)\; n=3,\; m=2. \] Из условия известно, что \(a - b = 12\). Тогда для первого случая получаем \[ 6d - d = 12, \] то есть \(5d = 12\), и это уравнение не имеет целочисленных решений. Для второго случая получаем \[ 3d - 2d = 12, \] то есть \(d = 12\). Значит, \[ a = 3\cdot12 = 36, \qquad b = 2\cdot12 = 24. \] Это единственный подходящий вариант.
Ответ: \(36\) и \(24\).
Материалы школы Юайти