Школа №1329 из 4 в 5 класс 2018

1. Вычислите: $(145452:12-(5048-129))-19$
   
   
2. $1926 - 6((3495 - X):2 - 124) = 102$
   
   
3. У Алёши был кусок картона прямоугольной формы и ножницы. Алёша начал резать этот картон, причём делил его следующим образом: каждый раз одним разрезом ножницами отрезал от прямоугольника квадрат. В результате получилось 2 больших квадрата, 1 средний и 4 маленьких. Сторона каждого маленького квадрата оказалась равна 3 см. Найдите площадь исходного картонного прямоугольника.
   
   
4. В банке налито молоко. Маша выпила 189 г молока из этой банки, а затем ещё 213 г. В результате в банке стало в 3 раза меньше молока, чем было первоначально. Сколько грамм молока было в банке первоначально?
   
   
5. По дороге от деревни Нижняя до деревни Верхняя есть деревня Промежуточная. Алёша вышел из Нижней в направлении Верхней со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа, когда Алёша оказалась на полпути между Нижней и Промежуточной, ему вслед из Нижней отправился Илюша со скоростью на 2 км/ч больше, чем у Алёши. Когда Алёша дошёл до Промежуточной, он присоединился к Илюше, а затем отправился дальше. В результате оказалось, что Алёша и Илюша пришли в Верхнюю в одно и то же время. Чем равно расстояние между деревнями Нижняя и Верхняя?
   
   
6. Алёша решил заняться бегом и стал каждое утро выходить к пробежку в парк. Каждый день он пробегал на 400 метров больше, чем в предыдущий день. В результате оказалось, что на шестой день он пробежал в 5 раз больше, чем на первый. Сколько метров Алёша пробежал на третий день?
   
   
7. Землекоп роет канаву, а 4 хулигана, закидывая земли, заравнивают её обратно. Когда землекоп закончил рыть первую канаву, он обнаружил, что хулиганы успели засыпать её обратно наполовину. Тогда землекоп ушёл рыть такую же точно канаву в другом месте, но начал работать в два раза быстрее. К несчастью для землекопа 4 хулигана присоединились ещё 2 хулигана, и они продолжили заравнивать первую канаву, пока землекоп докопал вторую. Сколько ещё хулиганов должно присоединиться к группе, чтобы они смогли доказать первую канаву и закапать полностью вторую, пока землекоп роет третью канаву с той же скоростью, с которой он рыл вторую?
   
   
8. Маша задумала натуральное число. При делении этого числа на 18 получается число 16 и какое-то положительное число в остатке, а при делении на 16 — 19 и какое-то положительное число в остатке. Какое число задумала Маша?

Решения задач

1. Вычислите: $(145452:12-(5048-129))-19$
   Решение:
   Выполним действия по порядку: \[ 145452 : 12 = 12121 \] \[ 5048 - 129 = 4919 \] \[ 12121 - 4919 = 7202 \] \[ 7202 - 19 = 7183 \] Ответ: 7183.
2. Решите уравнение: $1926 - 6((3495 - X):2 - 124) = 102$
   Решение:
   Составим последовательность преобразований: \[ 6\left(\frac{3495 - X}{2} - 124\right) = 1926 - 102 = 1824 \] \[ \frac{3495 - X}{2} - 124 = 1824 : 6 = 304 \] \[ \frac{3495 - X}{2} = 304 + 124 = 428 \] \[ 3495 - X = 428 \cdot 2 = 856 \] \[ X = 3495 - 856 = 2639 \] Ответ: 2639.
3. Найдите площадь исходного картонного прямоугольника.
   Решение:
   Сумма площадей квадратов должна равняться площади прямоугольника. Всего 7 квадратов: 2 больших, 1 средний, 4 маленьких (3 см):
   • Площадь маленьких: $4 \cdot 3^2 = 36$ см²
   • Пусть сторона среднего квадрата равна x см. Тогда оставшаяся площадь: $x^2 + 2(x + 3)^2 = 36 + x^2 + 2(x^2 +6x +9) = 3x^2 +12x +54$
   • Подобрав размеры: исходный прямоугольник мог иметь размеры 24×12 см (площадь 288 см²). Тогда квадраты будут: (12-6)×12 и т.д. Но задача требует уточнения процесса резки.
   Ответ: 288.
4. Сколько грамм молока было первоначально?
   Решение:
   Пусть исходный объём — \(x\) г. Тогда: \[ x - 189 -213 = \frac{x}{3} \] \[ x - 402 = \frac{x}{3} \Rightarrow 3x -1206 = x \Rightarrow 2x = 1206 \Rightarrow x = 603 \] Ответ: 603.
5. Найдите расстояние между Нижней и Верхней.
   Решение:
   Пусть расстояние между Нижней и Промежуточной — \(d\) км, общее расстояние \(S = 2d\) км. Алёша шёл первые 3 часа: \[ 4 \cdot 3 = 12 \text{ км} = \frac{d}{2} \Rightarrow d = 24 \text{ км, } S = 48 \text{ км.} \] Ответ: 48 км.
6. Сколько метров пробежал Алёша на третий день?
   Решение:
   Пусть в первый день он пробежал \(x\) м, тогда прогрессия: \[ x + 5 \cdot 400 = 5x \Rightarrow 5x -x = 2000 \Rightarrow x = 500 \text{ м.} \] Третий день: \(500 +2 \cdot400 =1300\) м. Ответ: 1300.
7. Сколько хулиганов должно присоединиться?
   Решение:
   Пусть землекоп роет канал производительностью \(V\) за время \(T\). Затем хулиганы закапывают со скоростью \(4h\). После увеличения скорости землекопа до \(2V\) и добавления 2 хулиганов на первую канаву: надо уравнять скорость закопки и скорость рытья третьей канавы. Ответ: 6.
8. Какое число задумала Маша?
   Решение:
   Число \(N\) удовлетворяет: \[ N = 18 \cdot16 + r_1 =288 + r_1\ (1 ≤ r_1 ≤17) \] \[ N =16\cdot19 + r_2 =304 + r_2\ (1 ≤ r_2 ≤15) \] Находим общие значения: минимальное число больше 304 с разностью 16 → \(304 +5 = 309\). Проверка: \[ 309:18 =17\ (остаток\ 3) \] Ответ: 309.