Лицей №131 из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

27.08.2019 Задания вступительного экзамена по математике для поступающих в 10 класс

1. Найдите значение выражения \[ \frac{2 - 5n^2}{3n + 1} \quad\text{при }n = -0{,}4. \]
2. Решите уравнение \[ (16 - x^2)\,\sqrt{3 - x} = 0. \]
3. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} -x^2 + x + 6 \le 0,\\ 3x^2 - 4x - 20 \le 0. \end{cases} \]
4. Постройте график функции \[ y = -2x^2 + 4x - 1 \] и укажите координаты всех точек графика, равноудалённых от осей координат.
5. Две машинистки вместе напечатали 65 страниц текста, причём первая работала на 1 час больше второй. Однако вторая печатала в час на две страницы больше первой, поэтому, работая совместно с первой машинисткой над текстом, она напечатала на 5 страниц больше.
6. В трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) вдвое больше основания \(BC\) и вдвое больше боковой стороны \(CD\). Угол \(ADC\) равен \(60^\circ\), \(BD = 4\sqrt{3}\). Найдите площадь трапеции.
7. Решите неравенство \[ \frac{(4x^2 - 4x + 1)\,(2 - x - x^2)} {(x^2 - 4)\,(x + 3)} \ge 0. \]

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{2 - 5n^2}{3n + 1} \quad \text{при } n = -0{,}4. \] Решение: Подставим \( n = -0{,}4 \): \[ \frac{2 - 5(-0{,}4)^2}{3(-0{,}4) + 1} = \frac{2 - 5 \cdot 0{,}16}{-1{,}2 + 1} = \frac{2 - 0{,}8}{-0{,}2} = \frac{1{,}2}{-0{,}2} = -6. \] Ответ: \(-6\).
2. Решите уравнение \[ (16 - x^2)\,\sqrt{3 - x} = 0. \] Решение: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ 16 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm4, \] \[ \sqrt{3 - x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3. \] Проверим ОДЗ для корня: \( 3 - x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \le 3 \). Подходят \( x = -4 \) и \( x = 3 \).
   Ответ: \(-4\); \(3\).
3. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} -x^2 + x + 6 \le 0,\\ 3x^2 - 4x - 20 \le 0. \end{cases} \] Решение: Первое неравенство: \[ -x^2 + x + 6 \le 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 6 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 3)(x + 2) \ge 0. \] Решение: \( x \le -2 \) или \( x \ge 3 \). Второе неравенство: \[ 3x^2 - 4x - 20 \le 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{4 \pm 16}{6} \quad \Rightarrow \quad x \in \left[-2; \frac{10}{3}\right]. \] Пересечение решений: \[ x \in \{-2\} \cup \left[3; \frac{10}{3}\right]. \] Ответ: \(-2\); \(\left[3; \frac{10}{3}\right]\).
4. Постройте график функции \[ y = -2x^2 + 4x - 1 \] и укажите координаты всех точек графика, равноудалённых от осей координат. Решение: Вершина параболы: \( x = 1 \), \( y = 1 \). Точки пересечения с осями: \[ x = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -1; \quad y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}. \] Точки, равноудалённые от осей (\( |x| = |y| \)): \[ y = x \quad \Rightarrow \quad x = -2x^2 + 4x - 1 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 3x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1; \quad x = 0{,}5. \] Получаем точки \((1; 1)\) и \((0{,}5; 0{,}5)\).
   Ответ: \((0{,}5; 0{,}5)\); \((1; 1)\).
5. Две машинистки вместе напечатали 65 страниц текста. Первая работала на 1 час больше второй, но вторая печатала на 2 страницы в час больше. Вторая напечатала на 5 страниц больше. Найдите скорости машинисток. Решение: Пусть скорость первой \( x \) стр/ч, второй \( x + 2 \) стр/ч. Время второй \( t \) часов, первой \( t + 1 \): \[ x(t + 1) + (x + 2)t = 65, \quad (x + 2)t - x(t + 1) = 5. \] Решая систему, получаем \( x = 5 \), \( t = 5 \).
   Ответ: \(5\) стр/ч; \(7\) стр/ч.
6. В трапеции \(ABCD\) основание \(AD = 2BC = 2CD\), угол \(ADC = 60^\circ\), \(BD = 4\sqrt{3}\). Найдите площадь трапеции. Решение: Пусть \( BC = x \), тогда \( AD = 2x \), \( CD = x \). Из треугольника \( BCD \): \[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos 120^\circ \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 48 \quad \Rightarrow \quad x = 4. \] Высота трапеции \( h = CD \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt{3} \). Площадь: \[ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}. \] Ответ: \(12\sqrt{3}\).
7. Решите неравенство \[ \frac{(4x^2 - 4x + 1)\,(2 - x - x^2)}{(x^2 - 4)\,(x + 3)} \ge 0. \] Решение: Разложим множители: \[ (2x - 1)^2 \cdot (-(x + 2)(x - 1)) \div ((x - 2)(x + 2)(x + 3)). \] Метод интервалов даёт решение: \[ x \in (-3; -2) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right] \cup (2; +\infty). \] Ответ: \((-3; -2) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right] \cup (2; +\infty)\).