Лицей №131 из 7 в 8 класс вариант 1

Задание вступительного экзамена по математике в 8 класс

1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac{18}{25} - 9,12 + 7\tfrac{2}{5}\cdot0,23\bigr)\colon(-0,77) + 0,45\cdot\Bigl(-\tfrac{4}{15}\Bigr). \]
2. Упростите выражение: \[ \frac{(-45)^{2n+1}} {(-15)^{2n}\cdot 9^{\,n-1}\cdot 25}. \]
3. Решите уравнения:
   1. \(x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0;\)
   2. \(\displaystyle \Bigl(\frac{2x+9}{3}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{12 - x}{4}\Bigr)^2 = 0. \)
4. Задайте линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку \(A(3; -1)\) и не имеет общих точек с графиком функции \[ y = \tfrac{1}{3}x + 3. \] Найдите точки пересечения полученной функции с осями координат и постройте эту прямую.
5. Сумма двух чисел равна 96, а 25% их разности равно меньшему числу. Найдите число, которое на 35% больше большего из этих чисел.
6. Вовочка спускается по движущемуся вниз эскалатору за 30 секунд, а по неподвижному эскалатору он спускается с той же скоростью за 48 секунд. За сколько секунд он спускается, стоя на ступеньках движущегося вниз эскалатора? Ответ дайте в секундах.
7. В треугольнике \(ABC\) из прямого угла \(C\) провели биссектрису \(CM\) и высоту \(CH\) так, что угол \(MCH\) равен \(15^\circ\). Найдите меньший катет \(AC\) и отрезок \(AH\), если гипотенуза \(AB\) равна 10.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac{18}{25} - 9,12 + 7\tfrac{2}{5}\cdot0,23\bigr)\colon(-0,77) + 0,45\cdot\Bigl(-\tfrac{4}{15}\Bigr). \]
   Решение: \[ 1\tfrac{18}{25} = \tfrac{43}{25} = 1,72; \quad 7\tfrac{2}{5} = \tfrac{37}{5} = 7,4 \] \[ 7,4 \cdot 0,23 = 1,702 \] \[ 1,72 - 9,12 + 1,702 = -5,698 \] \[ -5,698 : (-0,77) = 7,4 \] \[ 0,45 \cdot (-\tfrac{4}{15}) = -0,12 \] \[ 7,4 + (-0,12) = 7,28 \] Ответ: 7,28.
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{(-45)^{2n+1}} {(-15)^{2n}\cdot 9^{\,n-1}\cdot 25}. \]
   Решение: \[ (-45)^{2n+1} = (-15 \cdot 3)^{2n+1} = (-15)^{2n+1} \cdot 3^{2n+1} \] \[ 9^{n-1} = (3^2)^{n-1} = 3^{2n-2} \] \[ \frac{(-15)^{2n+1} \cdot 3^{2n+1}}{(-15)^{2n} \cdot 3^{2n-2} \cdot 25} = \frac{-15 \cdot 3^{3}}{25} = \frac{-15 \cdot 27}{25} = -\frac{405}{25} = -16,2 \] Ответ: $-16,2$.
   
   
3. Решите уравнения:
   1. \(x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0;\)
      Решение: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = x^2(x - 2) - 9(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 9) = (x - 2)(x - 3)(x + 3) \] Корни: $x = 2; 3; -3$. Ответ: $2; 3; -3$.
      
      
   2. \(\displaystyle \Bigl(\frac{2x+9}{3}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{12 - x}{4}\Bigr)^2 = 0. \)
      Решение: \[ \left(\frac{2x+9}{3} - \frac{12-x}{4}\right)\left(\frac{2x+9}{3} + \frac{12-x}{4}\right) = 0 \] Первое уравнение: \[ \frac{8x + 36 - 36 + 3x}{12} = 0 \Rightarrow 11x = 0 \Rightarrow x = 0 \] Второе уравнение: \[ \frac{8x + 36 + 36 - 3x}{12} = 0 \Rightarrow 5x + 72 = 0 \Rightarrow x = -14,4 \] Ответ: $0; -14,4$.
   
   
   
4. Задайте линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку \(A(3; -1)\) и не имеет общих точек с графиком функции \[ y = \tfrac{1}{3}x + 3. \]
   Решение: Угловой коэффициент параллельной прямой $k = \tfrac{1}{3}$: \[ y = \tfrac{1}{3}x + b \quad \Rightarrow \quad -1 = \tfrac{1}{3} \cdot 3 + b \quad \Rightarrow \quad b = -2 \] Уравнение: $y = \tfrac{1}{3}x - 2$.
   Пересечение с осями:
   С осью $Y$: $x=0 \Rightarrow y=-2$; С осью $X$: $y=0 \Rightarrow x=6$. Ответ: $y = \tfrac{1}{3}x - 2$; точки пересечения $(0; -2)$ и $(6; 0)$.
   
   
5. Сумма двух чисел равна 96, а 25% их разности равно меньшему числу. Найдите число, которое на 35% больше большего из этих чисел.
   Решение: Пусть большее число $x$, меньшее $y$: \[ \begin{cases} x + y = 96 \\ 0,25(x - y) = y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 5y \\ 6y = 96 \Rightarrow y = 16; \quad x = 80 \end{cases} \] \[ 80 \cdot 1,35 = 108 \] Ответ: 108.
   
   
6. Вовочка спускается по движущемуся вниз эскалатору за 30 секунд, а по неподвижному эскалатору он спускается с той же скоростью за 48 секунд. За сколько секунд он спускается, стоя на ступеньках движущегося вниз эскалатора?
   Решение: Пусть длина эскалатора $L$, скорость Вовочки $v$, скорость эскалатора $u$: \[ \begin{cases} \frac{L}{v + u} = 30 \\ \frac{L}{v} = 48 \Rightarrow v = \frac{L}{48} \end{cases} \] \[ \frac{L}{\frac{L}{48} + u} = 30 \Rightarrow u = \frac{L}{80} \] Время спуска стоя: $\frac{L}{u} = 80$ секунд. Ответ: 80.
   
   
7. В треугольнике \(ABC\) из прямого угла \(C\) провели биссектрису \(CM\) и высоту \(CH\) так, что угол \(MCH\) равен \(15^\circ\). Найдите меньший катет \(AC\) и отрезок \(AH\), если гипотенуза \(AB\) равна 10.
   Решение: В прямоугольном треугольнике $ABC$: \[ CM \text{ — биссектриса} \Rightarrow \angle ACM = 45^\circ \] \[ \angle MCH = 15^\circ \Rightarrow \angle HCM = 30^\circ \] Из $\triangle CHM$: \[ CH = CM \cdot \cos 30^\circ \] Биссектриса в прямоугольном треугольнике: \[ CM = \frac{AC \cdot BC}{AC + BC} \cdot \sqrt{2} \] Высота: \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{AC \cdot BC}{10} \] Решая систему уравнений, находим: \[ AC = 5(\sqrt{3} - 1); \quad AH = 5 \] Ответ: $AC = 5(\sqrt{3} - 1)$; $AH = 5$.