Лицей №131 из 6 в 7 класс вариант 1

Задание вступительного экзамена по математике в 7 класс

1. Вычислите: \[ \frac{\bigl|-5,3\colon2\frac{2}{5}+1\frac{1}{12}\bigr|} {0,415-0,702\colon1,3}. \]
2. Решите уравнения:
   1. \(2,4 + 4\bigl(-0,1x + 0,8\bigr) = 1,7x - 5\bigl(0,3x - 1\bigr);\)
   2. \(\frac{1}{3}\colon\bigl(1,4|x|-4,2\bigr) = \frac{5}{7}\colon\bigl(1,8-0,6|x|\bigr).\)
3. Дана точка \(A(-1;2)\). Координаты точки \(B\) противоположны координатам точки \(A\). Ордината точки \(C\) совпадает с ординатой точки \(A\), а абсцисса точки \(C\) в 3 раза больше абсциссы точки \(B\). Постройте треугольник \(ABC\). Из точки \(A\) опустите перпендикуляр на прямую \(BC\). Через точку \(C\) проведите прямую, параллельную \(AB\). Укажите точки пересечения этой прямой с осями координат.
4. Коровы у кота Матроскина дают в день 80 килограммов молока, жирность которого 5%. Сколько кг. сметаны жирностью 25% может получить кот Матроскин из этого количества молока.
5. Катер проходит за 4 часа по течению реки такое же расстояние, как за 5 часов против течения. Найдите скорость течения, если она меньше собственной скорости катера на 40 км/ч, и вычислите его среднюю скорость.
6. В стандартный набор входят 2 сладника, 2 кислика и 2 мнямника. Если число сладников увеличить втрое, то стоимость набора вырастет на 118%. Если вместо двух мнямников взять один, то стоимость первоначального набора уменьшится на 7%. Сколько от общей стоимости набора составляет стоимость двух кисликов?
7. В первый день на репетиции хора число отсутствующих девочек составило \(\frac{1}{13}\) от числа присутствующих девочек, а на другой день число отсутствующих девочек уменьшилось на одну и составило \(\frac{1}{20}\) от числа присутствующих девочек. Сколько мальчиков в хоре, если общее число участников 80 человек.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{\bigl|-5,3\colon2\frac{2}{5}+1\frac{1}{12}\bigr|} {0,415-0,702\colon1,3}. \]
   Решение: \[ \text{Числитель: } \left| -\frac{53}{10} \div \frac{12}{5} + \frac{13}{12} \right| = \left| -\frac{53}{10} \cdot \frac{5}{12} + \frac{13}{12} \right| = \left| -\frac{53}{24} + \frac{26}{24} \right| = \left| -\frac{27}{24} \right| = \frac{9}{8} \] \[ \text{Знаменатель: } 0,415 - \frac{0,702}{1,3} = 0,415 - 0,54 = -0,125 = -\frac{1}{8} \] \[ \frac{\frac{9}{8}}{-\frac{1}{8}} = -9 \]
   Ответ: $-9$.
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(2,4 + 4\bigl(-0,1x + 0,8\bigr) = 1,7x - 5\bigl(0,3x - 1\bigr)\)
      Решение: \[ 2,4 - 0,4x + 3,2 = 1,7x - 1,5x + 5 \quad \Rightarrow \quad 5,6 - 0,4x = 0,2x + 5 \] \[ 0,6x = 0,6 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
      Ответ: $1$.
      
      
   2. \(\frac{1}{3}\colon\bigl(1,4|x|-4,2\bigr) = \frac{5}{7}\colon\bigl(1,8-0,6|x|\bigr)\)
      Решение: \[ \frac{1}{3} \cdot (1,8 - 0,6|x|) = \frac{5}{7} \cdot (1,4|x| - 4,2) \] \[ 0,6 - 0,2|x| = |x| - 3 \quad \Rightarrow \quad 1,2|x| = 3,6 \quad \Rightarrow \quad |x| = 3 \]
      Ответ: $x = \pm3$.
   
   
   
3. Дана точка \(A(-1;2)\). Координаты точки \(B\) противоположны координатам точки \(A\). Ордината точки \(C\) совпадает с ординатой точки \(A\), а абсцисса точки \(C\) в 3 раза больше абсциссы точки \(B\). Постройте треугольник \(ABC\). Из точки \(A\) опустите перпендикуляр на прямую \(BC\). Через точку \(C\) проведите прямую, параллельную \(AB\). Укажите точки пересечения этой прямой с осями координат.
   Решение: \[ B(1; -2), \quad C(3; 2) \] Уравнение прямой $BC$: $y = 2x - 4$. Перпендикуляр из $A$: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Параллельная $AB$ прямая через $C$: $y = -2x + 8$. Точки пересечения с осями: $(0; 8)$ и $(4; 0)$.
   Ответ: $(0; 8)$ и $(4; 0)$.
   
   
4. Коровы у кота Матроскина дают в день 80 килограммов молока, жирность которого 5\%. Сколько кг. сметаны жирностью 25% может получить кот Матроскин из этого количества молока.
   Решение: \[ \text{Масса жира: } 80 \cdot 0,05 = 4 \text{ кг} \] \[ \text{Масса сметаны: } \frac{4}{0,25} = 16 \text{ кг} \]
   Ответ: $16$ кг.
   
   
5. Катер проходит за 4 часа по течению реки такое же расстояние, как за 5 часов против течения. Найдите скорость течения, если она меньше собственной скорости катера на 40 км/ч, и вычислите его среднюю скорость.
   Решение: \[ \text{Пусть } v \text{ — скорость катера, } u = v - 40 \text{ — скорость течения} \] \[ 4(v + u) = 5(v - u) \quad \Rightarrow \quad 4(2v - 40) = 5 \cdot 40 \quad \Rightarrow \quad v = 45 \text{ км/ч} \] \[ u = 5 \text{ км/ч}, \quad \text{Средняя скорость: } \frac{(45 + 5) + (45 - 5)}{2} = 45 \text{ км/ч} \]
   Ответ: скорость течения $5$ км/ч, средняя скорость $45$ км/ч.
   
   
6. В стандартный набор входят 2 сладника, 2 кислика и 2 мнямника. Если число сладников увеличить втрое, то стоимость набора вырастет на 118\%. Если вместо двух мнямников взять один, то стоимость первоначального набора уменьшится на 7\%. Сколько от общей стоимости набора составляет стоимость двух кисликов?
   Решение: \[ \text{Пусть } S, K, M \text{ — стоимости сладника, кислика, мнямника} \] \[ \begin{cases} 6S + 2K + 2M = 2,18(2S + 2K + 2M) \\ 2S + 2K + M = 0,93(2S + 2K + 2M) \end{cases} \] Решение системы: $K \approx 1,928M$, $S \approx 4,213M$. Доля кисликов: \[ \frac{2K}{2S + 2K + 2M} \approx 27\% \]
   Ответ: $27\%$.
   
   
7. В первый день на репетиции хора число отсутствующих девочек составило \(\frac{1}{13}\) от числа присутствующих девочек, а на другой день число отсутствующих девочек уменьшилось на одну и составило \(\frac{1}{20}\) от числа присутствующих девочек. Сколько мальчиков в хоре, если общее число участников 80 человек.
   Решение: \[ \text{Пусть } G \text{ — присутствующие девочки в первый день} \] \[ \frac{G}{13} - 1 = \frac{G + 1}{20} \quad \Rightarrow \quad G = 39 \] \[ \text{Всего девочек: } 39 + 3 = 42 \quad \Rightarrow \quad \text{Мальчиков: } 80 - 42 = 38 \]
   Ответ: $38$.