Лицей №131 из 4 в 5 класс вариант 1

Вступительное задание по математике

1. Подставьте в выражение |***+***=***| вместо звездочек девять различных ненулевых цифр так, чтобы получилось верное равенство.
2. Найдите значение выражения \[ (2a-1)^2 + (2b-1)^2 + 8ab, \] если известно, что \(a + b = 4\).
3. В шестом часу минутная стрелка находится на три деления позади часовой. Сколько минут шестого в этот момент?
4. Доказать, что если в выпуклом четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
5. Квадрат \(100\times100\) сантиметров разбит на 9 прямоугольников двумя вертикальными и двумя горизонтальными линиями. Внутренний прямоугольник имеет размеры \(45\times30\) сантиметров, а стороны остальных прямоугольников не обязательно выражаются целым числом сантиметров. Найдите сумму площадей четырёх угловых прямоугольников.

Все ответы к задачам должны быть обоснованы!

Решения задач

1. Подставьте в выражение \verb|***+***=***| вместо звездочек девять различных ненулевых цифр так, чтобы получилось верное равенство.
   Решение: Пример подходящего равенства: $124 + 659 = 783$. Проверим использование цифр:
   Цифры: 1, 2, 4, 6, 5, 9, 7, 8, 3 — все различные и ненулевые. Проверка суммы:
   $124 + 659 = 783$ — верно.
   Ответ: $124 + 659 = 783$.
2. Найдите значение выражения \[ (2a-1)^2 + (2b-1)^2 + 8ab, \] если известно, что \(a + b = 4\).
   Решение: Раскроем квадраты и упростим:
   $(2a-1)^2 + (2b-1)^2 +8ab = 4a^2 -4a +1 +4b^2 -4b +1 +8ab = 4a^2 +4b^2 +8ab -4a -4b +2$
   Заметим, что $4a^2 +4b^2 +8ab = 4(a + b)^2 = 4 \cdot 4^2 = 64$
   $-4a -4b = -4(a + b) = -4 \cdot 4 = -16$
   Итог: $64 -16 +2 = 50$
   Ответ: 50.
3. В шестом часу минутная стрелка находится на три деления позади часовой. Сколько минут шестого в этот момент?
   Решение: Пусть время — 5 часов $x$ минут. Угол часовой стрелки: $150 + 0,5x$ градусов, угол минутной: $6x$ градусов. Разница:
   $150 + 0,5x -6x = 18$ (три деления = 18 градусов)
   $150 -5,5x = 18$
   $5,5x = 132 \quad \Rightarrow \quad x = 24$
   Проверка: в 5:24 минутная стрелка на $6 \cdot 24 = 144^\circ$, часовая на $150 + 0,5 \cdot 24 = 162^\circ$. Разница: $162 -144 = 18^\circ$ (3 деления).
   Ответ: 24 минуты шестого.
4. Доказать, что если в выпуклом четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
   Решение: Пусть $M$, $N$, $P$, $Q$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ четырёхугольника $ABCD$. Параллелограмм Вариньона $MNPQ$ имеет стороны, равные половинам диагоналей исходного четырёхугольника. Если диагонали $AC \perp BD$, то диагонали параллелограмма Вариньона $MP$ и $NQ$ будут равны как гипотенузы прямоугольных треугольников, образованных половинами перпендикулярных диагоналей. Следовательно, $MP = NQ$.
   Ответ: доказано.
5. Квадрат \(100\times100\) сантиметров разбит на 9 прямоугольников двумя вертикальными и двумя горизонтальными линиями. Внутренний прямоугольник имеет размеры \(45\times30\) сантиметров. Найдите сумму площадей четырёх угловых прямоугольников.
   Решение: Обозначим ширины вертикальных областей: $a$ (слева), $45$ (центр), $b$ (справа). Тогда $a +45 +b =100 \Rightarrow a +b =55$. Аналогично высоты горизонтальных областей: $c$ (сверху), $30$ (центр), $d$ (снизу). Тогда $c +30 +d =100 \Rightarrow c +d =70$. Сумма площадей угловых прямоугольников:
   $a \cdot c +a \cdot d +b \cdot c +b \cdot d = a(c +d) +b(c +d) = (a +b)(c +d) =55 \cdot70 =3850$
   Ответ: 3850 см².