Школа №130 из 7 в 8 класс вариант 1

Вступительная работа по математике в 8 класс

1. Упростите выражения: \[ \text{a)}\;(y-10)(y-2)-(y+4)(y-5); \quad \text{б)}\;(3a^4b^7c^5)^2\cdot(a^2b^4c)^3. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{(3x+4)^2}{36} \;+\;\frac{3x(1-x)}{18} \;=\;\frac{(x-4)(x+4)}{12}. \]
3. Сократите дробь: \[ \text{a)}\;\frac{5x^2-15xy}{21y-7x}; \quad \text{б)}\;\frac{(y+3)^2+(y-2)^2-11}{y^3-1}. \]
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + 3y = 2,\\ x - 4y = -9. \end{cases} \]
5. Решите задачу.
   
   Из городов \(A\) и \(B\), расстояние между которыми \(450\) км, одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Через \(3\) ч после начала движения расстояние между ними было \(60\) км. Найти скорости мотоциклистов, если скорость одного на \(10\) км/ч меньше скорости другого.
6. Простым или составным является число \(3599\)?
7. Какой цифрой заканчивается значение выражения: \[ 3^{13} + 10^{13} + 18^{13}? \]
8. Внутри квадрата \(ABCD\) отмечена точка \(M\) так, что треугольник \(ABM\) равносторонний. Найдите \(\angle CMD\).

Решения задач

1. Упростите выражения:
   1. [а)] $(y-10)(y-2)-(y+4)(y-5)$
      Решение: \[ (y^2 - 12y + 20) - (y^2 - y - 20) = -11y + 40 \] Ответ: $-11y + 40$.
   2. [б)] $(3a^4b^7c^5)^2 \cdot (a^2b^4c)^3$
      Решение: \[ 9a^8b^{14}c^{10} \cdot a^6b^{12}c^3 = 9a^{14}b^{26}c^{13} \] Ответ: $9a^{14}b^{26}c^{13}$.
2. Решите уравнение: \[ \frac{(3x+4)^2}{36} + \frac{3x(1-x)}{18} = \frac{(x-4)(x+4)}{12} \] Решение: Умножаем на общий знаменатель 36: \[ (3x+4)^2 + 6x(1-x) = 3(x^2 - 16) \] Раскрываем скобки: \[ 9x^2 + 24x + 16 + 6x - 6x^2 = 3x^2 - 48 \] Упрощаем: \[ 3x^2 + 30x + 64 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 900 - 768 = 132 \Rightarrow x = \frac{-30 \pm \sqrt{132}}{6} = -5 \pm \frac{\sqrt{33}}{3} \] Ответ: $-5 \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$.
3. Сократите дробь:
   1. [а)] $\frac{5x^2 - 15xy}{21y - 7x}$
      Решение: \[ \frac{5x(x-3y)}{-7(x-3y)} = -\frac{5x}{7} \] Ответ: $-\frac{5x}{7}$.
   2. [б)] $\frac{(y+3)^2 + (y-2)^2 - 11}{y^3 - 1}$
      Решение: Раскрываем числитель: \[ 2y^2 + 2y + 2 = 2(y^2 + y + 1) \] Знаменатель: \[ (y-1)(y^2 + y + 1) \] Сокращаем: \[ \frac{2}{y-1} \] Ответ: $\frac{2}{y-1}$.
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + 3y = 2 \\ x - 4y = -9 \end{cases} \] Решение: Выразим $x$ из второго уравнения: \[ x = 4y - 9 \] Подставим в первое: \[ 4(4y - 9) + 3y = 2 \Rightarrow y = 2, \quad x = -1 \] Ответ: $(-1; 2)$.
5. Решите задачу о мотоциклистах:
   Решение: Пусть скорости мотоциклистов $v$ и $v-10$ км/ч. За 3 часа они проехали: \[ 3(v + v-10) = 390 \Rightarrow v = 70 \] Ответ: 70 км/ч и 60 км/ч.
6. Простым или составным является число 3599?
   Решение: \[ 3599 = 59 \times 61 \quad \text{(составное)} \] Ответ: составное.
7. Последняя цифра выражения $3^{13} + 10^{13} + 18^{13}$:
   Решение: Последние цифры слагаемых: $3^{13} \rightarrow 3$, $10^{13} \rightarrow 0$, $18^{13} \rightarrow 8$. Сумма: $3 + 0 + 8 = 11$ (последняя цифра 1). Ответ: 1.
8. Найдите $\angle CMD$ в квадрате:
   Решение: Из построения равностороннего треугольника ABM следует, что угол BAM равен $60^\circ$. Точка M находится внутри квадрата. Треугольник CDM равнобедренный с углом при вершине M: \[ \angle CMD = 150^\circ \] Ответ: $150^\circ$.