Школа №130 из 6 в 7 класс вариант 1

Пример контрольной работы по математике для отбора в 7 класс

1. Вычислите: \[ 8 - 4,2 : \bigl(2\tfrac{5}{14} - 1\tfrac{4}{21}\bigr). \]
2. В трёх цехах фабрики работают 480 человек. Число людей, работающих во втором цехе, составляет 36% числа людей первого цеха, а число людей, работающих в третьем цехе, составляет $\tfrac{2}{3}$ числа людей второго цеха. Сколько человек работает в каждом из этих цехов?
3. Решите уравнение: \[ 1,2 + \frac{3}{10}y = \frac{8}{15}y + 0,78. \]
4. Найдите неизвестный член пропорции: \[ 2\tfrac{2}{3} : 3\tfrac{1}{3} = x : 3,5. \]
5. Натуральное число имеет ровно 8 различных делителей. Два из них – 15 и 21. Найдите это число.
6. В темной комнате в верхнем ящике комода лежат галстуки: 8 белых и 4 чёрных, а в нижнем ящике – носовые платки: 7 белых и 3 чёрных, но один из чёрных платков в этом ящике испачкан. Какое наименьшее суммарное количество предметов нужно взять наугад в темноте из этих ящиков, чтобы после выхода из комнаты среди взятых предметов непременно обнаружился хотя бы один комплект: галстук и чистый платок одного цвета?

Решения задач

1. Вычислите: \[ 8 - 4,2 : \bigl(2\tfrac{5}{14} - 1\tfrac{4}{21}\bigr). \] Решение:
   Найдем разность в скобках:
   $2\tfrac{5}{14} - 1\tfrac{4}{21} = \frac{33}{14} - \frac{25}{21} = \frac{33 \cdot 3 - 25 \cdot 2}{42} = \frac{99 - 50}{42} = \frac{49}{42} = \frac{7}{6}$
   Выполним деление:
   $4,2 : \frac{7}{6} = \frac{42}{10} \cdot \frac{6}{7} = \frac{252}{70} = 3,6$
   Итоговый результат:
   $8 - 3,6 = 4,4$
   Ответ: 4,4.
   
   
2. В трёх цехах фабрики работают 480 человек. Число людей, работающих во втором цехе, составляет 36% числа людей первого цеха, а число людей третьего цеха составляет $\tfrac{2}{3}$ числа людей второго цеха. Сколько человек работает в каждом из этих цехов?
   Решение: Пусть в первом цехе работает $x$ человек, тогда во втором цехе $0,36x$ человек, а в третьем цехе $0,36x \cdot \frac{2}{3} = 0,24x$ человек.
   Составим уравнение:
   $x + 0,36x + 0,24x = 480$
   $1,6x = 480 \quad \Rightarrow \quad x = 300$
   В первом цехе: $300$ человек, во втором: $0,36 \cdot 300 = 108$ человек, в третьем: $0,24 \cdot 300 = 72$ человека.
   Ответ: 300, 108, 72.
   
   
3. Решите уравнение: \[ 1,2 + \frac{3}{10}y = \frac{8}{15}y + 0,78. \] Решение: Умножим обе части уравнения на 100:
   $120 + 30y = \frac{800}{15}y + 78$
   Упростим коэффициенты:
   $120 - 78 = \frac{800}{15}y - 30y$
   $42 = (\frac{160}{3} - 30)y = \frac{70}{3}y$
   $y = \frac{42 \cdot 3}{70} = \frac{126}{70} = 1,8$
   Ответ: 1,8.
   
   
4. Найдите неизвестный член пропорции: \[ 2\tfrac{2}{3} : 3\tfrac{1}{3} = x : 3,5. \] Решение: Переведем смешанные числа в дроби:
   $\frac{8}{3} : \frac{10}{3} = x : \frac{7}{2}$
   Сократим левую часть пропорции:
   $\frac{8}{10} = \frac{4}{5} = \frac{x}{\frac{7}{2}}$
   Решаем уравнение:
   $x = \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{28}{10} = 2,8$
   Ответ: 2,8.
   
   
5. Натуральное число имеет ровно 8 различных делителей. Два из них – 15 и 21. Найдите это число.
   Решение: Так как 15 = 3 × 5 и 21 = 3 × 7, число должно содержать множители 3, 5 и 7. Проверим наименьшее возможное число:
   $N = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$
   Делители 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 – ровно 8 делителей.
   Ответ: 105.
   
   
6. Какое наименьшее суммарное количество предметов нужно взять наугад, чтобы гарантированно получить комплект галстук и чистый платок одного цвета?
   Решение: Рассмотрим наихудший случай:
   Взяли все 4 черных галстука, все 7 белых платков и испачканный платок (4 галстука +1 чистый грязный +7 белых платков = 12 предметов). Следующий предмет (13-й) гарантированно даст либо белый галстук с белым платком, либо чистый черный платок с черным галстуком.
   Ответ: 13.