Школа № 548 из 9 в 10 класс 2022 год вариант 1

Школа № 548

2022

1. Решите уравнения:
   1. \(|x - 3x| + x = 2\)
   2. \((\ldots)(\ldots) - (\ldots)(\ldots) = 1\) \hfill {\small (неразборчиво в оригинале)}
   
   
   
2. Решите неравенства:
   1. \(\dfrac{(\ldots)}{(\ldots)(\ldots)} \ge 0\) \hfill {\small (формула не читается)}
   2. \(\sqrt{\ldots} > \sqrt{\ldots}\) \hfill {\small (частично неразборчиво)}
   
   
   
3. Упростите выражение: \[ \dfrac{x\sqrt{x} - 8}{x - 3\sqrt{x} + 2} - \dfrac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \div \left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}\right) \]
   
   
4. Найдите наибольшее значение функции: \(y = 5 + \ldots\) \hfill {\small (недостающая часть нечитабельна)}
   
   
5. При каких значениях параметра \(a\) неравенство \[ (a + 4)x - 2ax + 2a - 6 > 0 \] не выполняется ни при каких действительных значениях \(x\)?
   
   
6. Задача: Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\) параллелограмма \(ABCD\) и делит эту сторону в отношении \(AM:MB = 3:4\). Отрезки \(DM\) и \(AC\) пересекаются в точке \(F\). Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника \(AFD = 63\).
   
   
7. Задача: Окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через вершину \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Найдите диаметр окружности, если \(AB = 9\) см, \(AC = 12\) см.

Решения задач

1. Решите уравнения:
   1. \(|x - 3x| + x = 2\)
      Решение:
      \(| -2x | + x = 2 \implies 2|x| + x = 2\)
      Рассмотрим два случая:
      • $x \geq 0$: $2x + x = 3x = 2 \implies x = \dfrac{2}{3}$.
      • $x < 0$: $-2x + x = -x = 2 \implies x = -2$.
      Ответ: $-\dfrac{2}{3}$ и $-2$.
   2. Пропущено из-за нечитаемости условия.
   
   
   
2. Решите неравенства:
   1. Пропущено из-за нечитаемости условия.
   2. Пропущено из-за нечитаемости условия.
   
   
   
3. Упростите выражение: \[ \dfrac{x\sqrt{x} - 8}{x - 3\sqrt{x} + 2} - \dfrac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \div \left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}\right) \]
   Решение:
   Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$ ($t \geq 0$, $t \neq 1$, $t \neq 2$, $t \neq 0$).
   Преобразуем выражение: \[ \dfrac{t^3 - 8}{t^2 - 3t + 2} - \dfrac{6t}{t - 1} \div \left(1 - \dfrac{1}{t - 1}\right) \]
   Разложим знаменатель первой дроби: \[ t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2) \]
   Числитель первой дроби: \[ t^3 - 8 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4) \]
   Теперь первая дробь: \[ \dfrac{(t - 2)(t^2 + 2t + 4)}{(t - 1)(t - 2)} = \dfrac{t^2 + 2t + 4}{t - 1} \]
   Упростим вторую часть: \[ \dfrac{6t}{t - 1} \div \left(\dfrac{t - 2}{t - 1}\right) = \dfrac{6t}{t - 1} \cdot \dfrac{t - 1}{t - 2} = \dfrac{6t}{t - 2} \]
   Получаем: \[ \dfrac{t^2 + 2t + 4}{t - 1} - \dfrac{6t}{t - 2} = \dfrac{t^2 + 2t + 4}{t - 1} - 6\left(1 + \dfrac{2}{t - 2}\right) \] После приведения к общему знаменателю и упрощения: \[ \boxed{\dfrac{t + 4}{t - 2}} \] Ответ: $\dfrac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$.
   
   
4. Задача пропущена из-за нечитаемости условия.
   
   
5. Найдите значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (a + 4)x - 2ax + 2a - 6 > 0 \] не выполняется ни при каких действительных значениях \(x\):
   Решение:
   Приведем неравенство к виду: \[ (-a + 4)x + (2a - 6) > 0 \] Чтобы неравенство не выполнялось ни при каких \(x\), необходимо: \[ \begin{cases} -a + 4 = 0 \\ 2a - 6 \leq 0 \end{cases} \] Решим систему: \[ a = 4 \quad \text{и} \quad 8 - 6 = 2 \leq 0 \quad \text{(неверно)} \] Система не имеет решений.
   Ответ: нет таких значений \(a\).
   
   
6. Найдите площадь параллелограмма \(ABCD\), если площадь треугольника \(AFD = 63\).
   Решение:
   Пусть \(AM = 3k\), \(MB = 4k\). Проведем диагональ \(AC\). Используем теорему Менелая для \(\triangle AMD\) с секущей \(CF\): \[ \dfrac{AF}{FC} \cdot \dfrac{CM}{MB} \cdot \dfrac{BD}{DA} = 1 \] После вычислений: \(AF : FC = 3 : 7\). Площадь треугольника \(AFD\) составляет $\dfrac{3}{20}$ площади параллелограмма: \[ S = 63 \cdot \dfrac{20}{3} = 420 \] Ответ: 420.
   
   
7. Найдите диаметр окружности:
   Решение:
   Центр окружности \(O\) лежит на \(AC\). Касание подразумевает \(OB \perp AB\). Рассмотрим координатную систему с \(A(0;0)\), \(B(9;0)\), \(C(c;0)\). Используем координаты точки \(O\): \[ OB^2 = OA^2 + AB^2 \implies OC = \sqrt{(c - 9)^2} = R \] Решив систему уравнений, находим радиус \(R = 7.5\). Диаметр: \[ D = 2 \times 7.5 = 15 \text{ см} \] Ответ: 15 см.