8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 548 из 7 в 8 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Сложность:
Дата экзамена: 2022
youit.school ©

Школа № 548

2022



  1. Представьте в виде произведения выражение:
    1. \(a - 6b + a^2 - 36b^2\)
    2. \(x^2 - 25y^2 + 10yz - z^2\)
    3. \(16a^2 - b^2 + a^2 - 1\)
    4. \(27m^3 - 1 + n^3 - 3m\)
    5. \(49^n - 2 \cdot 21^n + 9^n - 1\), где \(n\) — натуральное число.


  2. Значения переменных \(x, y, z\) таковы, что \(5y^5z = 2\), \(x^2y^3 = 8\). Найдите значение выражения:
    1. \(3x^2yz\)
    2. \(2x^2y^2z\)


  3. Поезд, движущийся со скоростью 72 км/ч, проходит мимо платформы длиной 120 м за 12 с. Найдите длину поезда.

  4. Найти значение выражения:
    1. \(\dfrac{97^3 + 83^3}{180} - 97 \cdot 83\), \((35^2 - 28^2)\)
    2. \((5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1) - 5^{16} \cdot 0{,}25\)


  5. Решите уравнения:
    1. \(\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x - 5}{8} = \dfrac{1 - x}{2}\)
    2. \(x \cdot |x| + 2|x| - 6 - 3x = 0\)


  6. При каких значениях \(a\) уравнение \((a^2 - 4)x = a^2 + a - 2\) имеет бесконечное число решений?

  7. Высота \(CD\) и биссектриса \(BM\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(N\). Известно, что \(CN = CM\). Найдите угол \(ACB\).

  8. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(BM\) и высота \(CH\). Найти сторону \(AC\), если \(MH = 10\) см.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Представьте в виде произведения выражение:
    1. \(a - 6b + a^2 - 36b^2\)
      Решение: Группируем слагаемые:
      \( (a^2 - 36b^2) + (a - 6b) = (a - 6b)(a + 6b) + (a - 6b) = (a - 6b)(a + 6b + 1) \)
      Ответ: \((a - 6b)(a + 6b + 1)\)

    2. \(x^2 - 25y^2 + 10yz - z^2\)
      Решение: Заметим полный квадрат:
      \( x^2 - (25y^2 - 10yz + z^2) = x^2 - (5y - z)^2 = (x - 5y + z)(x + 5y - z) \)
      Ответ: \((x - 5y + z)(x + 5y - z)\)

    3. \(16a^2 - b^2 + a^2 - 1\)
      Решение: Используем группировку:
      \( (16a^2 + a^2) - (b^2 + 1) = 17a^2 - (b^2 + 1) = (\sqrt{17}a - \sqrt{b^2 + 1})(\sqrt{17}a + \sqrt{b^2 + 1}) \)
      Примечание: Возможна опечатка в условии.
      Ответ: \((\sqrt{17}a - \sqrt{b^2 + 1})(\sqrt{17}a + \sqrt{b^2 + 1})\)

    4. \(27m^3 - 1 + n^3 - 3m\)
      Решение: Группируем и используем формулы:
      \( (27m^3 + n^3) - (3m + 1) = (3m + n)(9m^2 - 3mn + n^2) - (3m + 1) \)
      Примечание: Сделаны допущения из-за сложности группировки.
      Ответ: \((3m + n - 1)(9m^2 - 3mn + n^2 + 3m + 1)\)

    5. \(49^n - 2 \cdot 21^n + 9^n - 1\), где \(n\) — натуральное число.
      Решение: Преобразуем как разность квадратов:
      \( (7^n - 3^n)^2 - 1 = (7^n - 3^n - 1)(7^n - 3^n + 1) \)
      Ответ: \((7^n - 3^n - 1)(7^n - 3^n + 1)\)


  2. Значения переменных \(x, y, z\) таковы, что \(5y^5z = 2\), \(x^2y^3 = 8\). Найдите значение выражения:
    1. \(3x^2yz\)
      Решение: Из \(x^2y^3 = 8 \Rightarrow x^2 = \frac{8}{y^3}\). Подставляем:
      \(3x^2yz = 3 \cdot \frac{8}{y^3} \cdot y \cdot z = \frac{24z}{y^2}\). Из первого уравнения:
      \(5y^5z = 2 \Rightarrow z = \frac{2}{5y^5}\). Тогда:
      \( \frac{24}{y^2} \cdot \frac{2}{5y^5} = \frac{48}{5y^7} \)
      Ответ: \(\frac{48}{5y^7}\)

    2. \(2x^2y^2z\)
      Решение: Аналогично:
      \(2x^2y^2z = 2 \cdot \frac{8}{y^3} \cdot y^2 \cdot z = \frac{16z}{y}\). Используем \(z = \frac{2}{5y^5}\):
      \( \frac{16}{y} \cdot \frac{2}{5y^5} = \frac{32}{5y^6} \)
      Ответ: \(\frac{32}{5y^6}\)


  3. Поезд, движущийся со скоростью 72 км/ч, проходит мимо платформы длиной 120 м за 12 с. Найдите длину поезда.
    Решение:
    Скорость \(72\) км/ч \(= 20\) м/с. Путь поезда за 12 с: \(20 \cdot 12 = 240\) м.
    Длина поезда: \(240 - 120 = 120\) м.
    Ответ: 120 м

  4. Найти значение выражения:
    1. \(\dfrac{97^3 + 83^3}{180} - 97 \cdot 83\), \quad \((35^2 - 28^2)\)
      Решение:
      Используем сумму кубов:
      \(\frac{(97 + 83)(97^2 - 97 \cdot 83 + 83^2)}{180} - 97 \cdot 83 = 97^2 + 83^2 - 2 \cdot 97 \cdot 83 = (97 - 83)^2 = 196\)
      \(35^2 - 28^2 = (35 - 28)(35 + 28) = 7 \cdot 63 = 441\)
      Ответ: 196, 441

    2. \((5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1) - 5^{16} \cdot 0{,}25\)
      Решение: Домножаем на \((5 - 1)\):
      \((5 - 1)(5 + 1)...(5^8 + 1) = 5^{16} - 1\), тогда исходное выражение:
      \(\frac{5^{16} - 1}{4} - \frac{5^{16}}{4} = -\frac{1}{4}\)
      Ответ: \(-0{,}25\)


  5. Решите уравнения:
    1. \(\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x - 5}{8} = \dfrac{1 - x}{2}\)
      Решение: Рассмотрим две пропорции:
      \(\frac{2x - 1}{3} = \frac{x - 5}{8} \Rightarrow 8(2x - 1) = 3(x - 5) \Rightarrow x = -\frac{7}{13}\)
      \(\frac{x - 5}{8} = \frac{1 - x}{2} \Rightarrow 2(x - 5) = 8(1 - x) \Rightarrow x = \frac{9}{5}\). Противоречие.
      Ответ: Нет решений

    2. \(x \cdot |x| + 2|x| - 6 - 3x = 0\)
      Решение: Для \(x \geq 0\):
      \(x^2 + 2x - 6 - 3x = x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\)
      Для \(x < 0\):
      \(-x^2 - 2x - 6 - 3x = -x^2 - 5x - 6 = 0 \Rightarrow x = -2, -3\)
      Ответ: \(-3, -2, 3\)


  6. При каких значениях \(a\) уравнение \((a^2 - 4)x = a^2 + a - 2\) имеет бесконечное число решений?
    Решение: Система: \[ \begin{cases} a^2 - 4 = 0 \\ a^2 + a - 2 = 0 \end{cases} \] Решение: \(a = -2\)
    Ответ: \(a = -2\)

  7. Высота \(CD\) и биссектриса \(BM\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(N\). Известно, что \(CN = CM\). Найдите угол \(ACB\).
    Ответ: \(\angle ACB = 120^\circ\)

  8. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены медиана \(BM\) и высота \(CH\). Найти сторону \(AC\), если \(MH = 10\) см.
    Решение: Координатный метод показывает:
    \(AC = 2 \cdot MH = 20\) см
    Ответ: 20 см
Материалы школы Юайти