Школа № 2007 из 7 в 8 класс 2024 год

Школа 2007 - 22.08.2024

Из 7 в 8

1. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{17}{15} - \frac{1}{12} \right) \cdot \frac{20}{3} \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{3x - 5}{3} - 2x = \frac{2}{3} \]
   
   
3. Постройте график \( y = \frac{1}{5}x + 4 \). Найдите координаты точек пересечения графика с осями абсцисс и ординат.
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} -5x + 5y = 2 \\ -5x + 9y = 4 \end{cases} \]
   
   
5. Представьте выражение в виде многочлена: \[ (a - b)^2(a + b) \]
   
   
6. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, вторую треть — со скоростью 75 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
   
   
7. Разложите на множители многочлен: \[ xy + 3bx - 2ay - 6ab \]
   
   
8. Два равных отрезка \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке так, что \( AO = CO \). Найдите, чему равен отрезок \( AD \), если \( BC = 8 \).
   
   
9. Через вершину \( B \) треугольника \( ABC \) проведена прямая, параллельная прямой \( AC \). Образовавшиеся при этом три угла с вершиной \( B \) относятся как \( 3 : 10 : 5 \). Найдите углы треугольника \( ABC \).

Школа 2007 – 22.08.2024
Вступительная работа, из 7 в 8 класс

1. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{17}{15} - \frac{1}{12} \right) \times \frac{20}{3} = \left( \frac{68}{60} - \frac{5}{60} \right) \times \frac{20}{3} = \frac{63}{60} \times \frac{20}{3} = \frac{21}{20} \times \frac{20}{3} = \frac{7}{1} = 7 \] Ответ: \(7\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{3x-5}{3} - 2x = \frac{2}{3} \] Умножим всё на 3: \[ 3x-5 - 6x = 2 \] \[ -3x - 5 = 2 \] \[ -3x = 7 \] \[ x = -\frac{7}{3} \]
3. Постройте график $y = \frac{1}{5}x + 4$ и найдите пересечения с осями:
   
   Пересечение с осью \(y\) (подставляем \(x=0\)): \[ y = 4 \quad \Rightarrow\quad (0,4) \] Пересечение с осью \(x\) (подставляем \(y=0\)): \[ 0 = \frac{1}{5}x + 4 \quad \Rightarrow\quad x = -20 \quad \Rightarrow\quad (-20,0) \]
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} -5x + 5y = 2\\ -5x + 9y = 4 \end{cases} \] Вычитаем первое уравнение из второго: \[ (5y - 9y) = (2 - 4) \quad \Rightarrow\quad -4y = -2 \quad \Rightarrow\quad y = \frac{1}{2} \] Подставляем в первое уравнение: \[ -5x + 5 \times \frac{1}{2} = 2 \quad \Rightarrow\quad -5x + \frac{5}{2} = 2 \quad \Rightarrow\quad -5x = 2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow\quad x = \frac{1}{10} \]
5. Представьте выражение в виде многочлена: \[ (a-b)^2(a+b) \] Раскрываем: \[ (a^2 - 2ab + b^2)(a+b) \] Умножаем: \[ = a^3 + a^2b - 2a^2b - 2ab^2 + ab^2 + b^3 \] \[ = a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 \]
6. Найдите среднюю скорость автомобиля:
   
   Пусть длина пути = \(S\). Тогда время, затраченное автомобилем на первую, вторую и третьью трети пути соответственно: $\frac{S}{3 \cdot 100}$, $\frac{S}{3 \cdot 75}$ и $\frac{S}{3 \cdot 60}$. Общее время: \[ \frac{S}{300} + \frac{S}{225} + \frac{S}{180} \] Приводя к общему знаменателю, получаем: \[ \frac{24S}{1800} = \frac{2S}{150} \] Тогда находим среднюю скорость, как общий путь, поделённый на общее время: \[ \frac{S}{2S/150} = 75\ \text{км/ч} \]
7. Разложите на множители: \[ xy + 3bx - 2ay - 6ab \] Разложим на множители методом группировки: \[ x(y+3b) - 2a(y+3b) = (y+3b)(x-2a) \]
8. Найдите отрезок AD:
   
   Так как $AO = CO$, то и $OB = OD$, так как отрезки $AB$ и $CD$ равны по условию.
   
   Рассмотрим $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$. Они равны по двум сторонам и углу, так как $\angle BOC = \angle AOD$ как накрест лежащие.
   
   Следовательно $AD = BC$.
   
   
9. Найдите углы треугольника ABC:
   
   Отношение углов: \[ 3:10:5 \quad \Rightarrow\quad 3x, 10x, 5x \] Развернутый угол равен 180 градусам, поэтому: \[ 3x + 10x + 5x = 18x = 180^\circ \quad \Rightarrow\quad x = 10^\circ \] При этом данные углы совпадают с углами $\triangle ABC$, как внутренние накрест лежащие, то есть равны: \[ 30^\circ,\quad 100^\circ,\quad 50^\circ. \]